Краевые задачи для уравнения Лапласа
Курсовая работа, 17 Ноября 2011, автор: пользователь скрыл имя
Краткое описание
Рассмотрение понятия краевой задачи для уравнений эллиптического типа. Как частный случай - уравнение Лапласа (простейшее уравнение эллиптического типа). Для уравнения Лапласа краевая задача I рода - задача Дирихле; краевая задача II рода - задача Неймана. Краевое условие III рода - смешанная краевая задача. Рассматриваются также задача Дирихле в пространств/на плоскости, решение задачи Дирихле (первой краевой задачи) для уравнения Лапласа в круге, решение задачи Неймана (второй краевой задачи) для уравнения Лапласа в круге, решение задачи Дирихле для кольца.
Содержание
Введение
Понятие краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа
Уравнение Лапласа и понятие гармонической функции.
Корректность краевой задачи.
Первая и вторая краевые задачи для уравнения Лапласа.
Задача Дирихле в пространстве
Задача Дирихле на плоскости
Задача Неймана
Уравнение Лапласа в цилиндрических координатах.
Решение задачи Дирихле (первой краевой задачи) для уравнения Лапласа в круге.
Решение задачи Неймана для уравнения Лапласа в круге.
Примеры.
Решение задачи Дирихле для кольца.
Вложенные файлы: 1 файл
Понятие краевой з.doc
— 749.50 Кб (Скачать файл)Заменяя независимые переменные x, y, z на r, φ и z, придем к функции u(r,φ,z). Используя правило дифференцирования сложной функции нескольких переменных, можно доказать, что найденная функция u(r,φ,z) должна удовлетворять уравнению
Это и есть уравнение Лапласа в цилиндрических координатах.
Если функция u не зависит от z, а только от x и y, то функция u(r,φ) будет удовлетворять уравнению
, (1)
где r и φ – полярные координаты на плоскости.
Найдем решение уравнения Лапласа в области D, ограниченной окружностями L1: x2+y2=R12 и L2: x2+y2=R22 , если это решение принимает следующие граничные значения:
, (2)
где u1, u2 –постоянные.
Решим эту задачу в полярных координатах. Целесообразно искать решение, не зависящее от φ, так как граничные условия от φ не зависят. Уравнение (1) в этом случае примет вид
Получили обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка, допускающее понижение порядка. Интегрируя уравнение, найдем
. (3)
Постоянные С1 и С2 определяются из граничных условий (2)
Подставляя найденные значения С1 и С2 в формулу (3), окончательно получим
+Замечание.
Фактически мы решили следующую задачу: найти функцию u, удовлетворяющую уравнению Лапласа в области, ограниченной поверхностями (в цилиндрических координатах): r=R1, r=R2, z=0, z=H, и следующим граничным условиям:
(задача
Дирихле-Неймана).
ЛИТЕРАТУРА
- Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для ВТУЗОВ. М., 1964
- Араманович И.Г., Левин В.И. Уравнения математической физики. М., 1969.
- А. В. Бицадзе Уравнения математической физики. М., 1982.
- Ф. Д. Гахов Краевые задачи. М., 1958.
- Данко П.Е., Попов А.Г. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.2. М.: Высшая школа, 1986.