Заменяя независимые переменные  x, y, z  на  r, φ и z,  придем к функции u(r,φ,z).  Используя правило дифференцирования сложной функции нескольких переменных, можно доказать, что найденная функция  u(r,φ,z)  должна удовлетворять уравнению

Это и  есть уравнение Лапласа в цилиндрических координатах.

Если  функция  u  не зависит от z, а только от  x  и y,  то функция u(r,φ) будет удовлетворять уравнению

,                                       (1)

где  r  и φ – полярные координаты на плоскости.

Найдем  решение уравнения Лапласа в  области  D,  ограниченной окружностями  L₁: x²+y²=R₁²  и L₂: x²+y²=R₂² ,  если это решение принимает следующие граничные значения:

,                                          (2)

где  u₁,  u₂ –постоянные.

Решим эту задачу в полярных координатах. Целесообразно искать решение, не зависящее от φ, так как граничные условия от φ  не зависят. Уравнение (1) в этом случае примет вид

Получили  обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка, допускающее понижение порядка. Интегрируя уравнение, найдем

.                                                  (3)

Постоянные  С₁  и С₂  определяются из граничных условий (2)

Подставляя  найденные значения  С₁  и С₂  в формулу (3), окончательно получим

+Замечание.

Фактически  мы решили следующую задачу: найти  функцию u, удовлетворяющую уравнению Лапласа в области, ограниченной поверхностями (в цилиндрических координатах): r=R₁,  r=R₂,  z=0,  z=H, и следующим граничным условиям:

(задача Дирихле-Неймана). 

ЛИТЕРАТУРА

1. Пискунов  Н.С.  Дифференциальное  и  интегральное  исчисления  для ВТУЗОВ.  М., 1964
2. Араманович И.Г., Левин В.И. Уравнения математической физики. М., 1969.
3. А. В. Бицадзе Уравнения математической физики. М., 1982.
4. Ф. Д. Гахов Краевые задачи. М., 1958.
5. Данко П.Е., Попов А.Г. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.2.   М.: Высшая школа, 1986.