Краевые задачи для уравнения Лапласа

на  .

Например, предположим, что тепловой поток на границе  круга изменяется по закону:

Тогда стационарное распределение температуры внутри круга является решением краевой  задачи:

Задача  Неймана (для уравнения Лапласа) имеет смысл только в том случае, когда полный поток тепла через  границу равен 0. Математически это  значит, что на границе должно выполняться  соотношение:

Иначе задача не будет иметь решения.

Например, задача Неймана:

Не имеет  физического смысла, поскольку постоянный единичный поток внутрь области  не может обеспечить стационарность решения.

Рассмотрим конечную область с границей и поставим для этой области внутреннюю задачу Неймана:

,

, когда

В частных  случаях однородного краевого условия  или однородного дифференциального  уравнения должно выполняться соответственно одно из двух равенств:

Еще одна особенность задачи Неймана – это не единственность решения.

Если  мы имеем одно из решений нашей  задачи Неймана, то, прибавляя к нему произвольную константу, получится  другое решение. По этой причине для  выделения единственного решения  нужно иметь дополнительную информацию (например, знать значение решения в одной точке). Если функция решает задачу Неймана, то, как

легко видеть, функция  , где С—произвольная постоянная, решает ту же задачу. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Уравнение Лапласа в цилиндрических координатах.

Решение задачи Дирихле (первой краевой задачи) для уравнения Лапласа в круге.

Решение краевых  задач в случае простейших областей (круг, круговое кольцо, прямоугольник  и др.) можно получить методом  разделения переменных. Изложим этот метод решения задачи Дирихле для круга: найти функцию , удовлетворяющую внутри круга уравнению Лапласа и принимающую заданные значения на границе круга.

Рассмотрим  на плоскости  xOy круг с центром в начале координат радиуса  R.  Пусть на его окружности задана некоторая функция r=f(φ), где φ – полярный угол. Найдем функцию u(r,φ), удовлетворяющую внутри круга уравнению Лапласа

                                        (1.1.)

и на окружности принимающую заданные значения

                      

                                                     

Решение задачи ищут методом разделения переменных, полагая

.

Подставляя эту функцию в уравнение (1.1), получим

,

или

.

Левая часть этого равенства не зависит  от  r,  а правая от  φ,  следовательно, они равны постоянному числу, которое обозначили через -k².  Таким образом, нашли два дифференциальных уравнения

,                                               (1.2)

.                                         (1.3)

Общее решение первого из этих уравнений  будет

.

Второе  уравнение является уравнением Эйлера. Его решение найдем в виде  . Подставив выписанную функцию в уравнение (1.3), найдем два частных линейно независимых решения r^k  и r^-k. Тогда общее решение уравнения (1.3) запишется в виде

.

    Итак,

.                                  (1.4)

Полученная  функция будет решением данного  уравнения при любом значении  k, отличном от нуля. Если k=0, то уравнения (1.2) и (1.3) принимают вид

.

Откуда  получаем

.

Так как  решение должно быть периодической  функцией от φ с наименьшим положительным периодом 2π, то в найденном выражении для u₀  B₀=0. Далее функция u(r,φ) должна быть непрерывной и конечной в круге, поэтому D₀=0  и D_k=0.

Решение исходной задачи будем составлять в виде суммы решений (1.4). Сумма должна быть периодической функцией от φ. Для этого k  должно принимать целые значения ( то и из (1.2) находим целое).

Итак,

.                                (1.5)

Постоянные  A_n  и B_n  находят так, чтобы выполнялось краевое условие задачи. Подставляя в выражение для u(r,φ) значение  r=R, получим

.

Найденная сумма является рядом Фурье для функции  f(φ) на интервале (-π, π). Следовательно, A_n  и B_n  должны определяться по формулам

,    ,    .      (1.6) 

Замечание.

В курсе математического  анализа в разделе «Тригонометрические ряды Фурье» существует следующая теорема:

Если функция  , заданная на ,  может быть представлена в виде суммы ряда Фурье , то коэффициенты ряда находятся по формулам: ; ; .

Допустим, что  функция разлагается в ряд Фурье, сходящийся при всех .

,

где  , 0, 1, 2, …

         

Таким образом, ряд (1.5) с коэффициентами, определенными по формулам (1.6), будет решением поставленной задачи, если он допускает почленное двукратное дифференцирование по   r и φ. 

Решение задачи Неймана (второй краевой задачи) для уравнения Лапласа в круге.

Задача  Неймана для круга  при краевом условии решается так. Разложим в ряд Фурье:

.

Но если решение  существует, то

    ( )

  .

.

Имея в виду, что для круга 

,

можно написать формальное решение задачи Неймана  в следующем виде:

;           ( )

С—произвольная постоянная. Ряд ( ) сходится и допускает почленное дифференцирование в замкнутом круге , если, например, функция удовлетворяет условиям, которые выше были наложены на функцию ; кроме того, конечно, функция должна удовлетворять равенству ( ).

В этих условиях ряд ( ) дает решение задачи Неймана для круга

Если функция  удовлетворяет всем только что сформулированным условиям, то задача Неймана для внешности круга при том же краевом условии   решается формулой

,

где С—по-прежнему произвольная постоянная. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Пример 1.

Решить задачу Дирихле для уравнения Лапласа в круге: 

  ,

где , полярные координаты точки :

Решение.

Это внутренняя задача Дирихле для уравнения  Лапласа

 в круге,  причем на границе круга радиуса  R=4 задано условие

,

где функция непрерывна и имеет период . Коэффициенты

Фурье ряда можно определить по формулам (1.6).

Однако в данном случае эти коэффициенты могут быть найдены более простым способом. Запишем функцию  в виде

и учтем, что  должно быть справедливо соотношение

Из единственности разложения функции в тригонометрический ряд следует, что отличны от нуля только коэффициенты  и . Они определяются равенствами

                        ,        ,

так что                 

Решение имеет  вид 

                     

или              

Ответ:

Пример 2.

Найти решение  задачи Дирихле для уравнения  Лапласа  Δu=0  в круге 0≤r<2, принимающее на границе круга значения  .

Решение задачи будем искать в виде

.

Найдем  коэффициенты Фурье:

.

.

.

Ответ: 

Пример 3.

На окружности круга температура распределяется по закону: Найти распределение температуры внутри круга, предполагая, что оно стационарно.

Решение.

Поставленная  задача – задача Дирихле для круга: требуется найти функцию, гармоническую  внутри круга и принимающую на границе круга заданные значения

Согласно  теории уравнения Лапласа искомая  функция внутри круга имеет вид

 При этом 

Из граничного условия получим

 

Откуда, сравнивая коэффициенты при  и получим: , Следовательно, , . Остальные коэффициенты равны нулю. Подставляя найденные коэффициенты в выражение для , получим решение задачи:

т.е.

Пример 4.

Решить  краевую задачу для уравнения  Лапласа Δu=0 внутри круга

со следующим  граничным условием:

Решение.

Поставленная  задача – задача Неймана для круга.

Запишем функцию  в виде

и учтем, что  должно быть справедливо соотношение 

Решение имеет  вид: 

Решение задачи Дирихле для  кольца.

Пусть  u(x,y,z) – гармоническая функция. Тогда

  или  Δu=0.

Рассмотрим  цилиндрические координаты

,

откуда