Лекции по "Алгебре"

     Определение конъюнкции и дизъюнкции распространяется на любое число  высказываний. Так 

    

    4. "Исключающее или"

Операция "исключающего или" задается следующей таблицей истинности, она истинна, когда истинен только один из операндов. Эту операцию еще называют строгой дизъюнкцией или логическим неравенством. 

0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

    Эту операцию можно выразить через &,Ú,Ø.

    

    В языковом эквиваленте чаще всего  эта операция выражается сложным  союзом "либо, либо".

    Пример: возьмем из изумительной сказки Леонида Филатова "Про Федота –стрельца"

                        Или леший нынче рьян,

                            Или воздух нынче пьян,

                            Или в ухе приключился

                            У меня какой изъян.

                            Иль из царских, из окон,

                            Оглашен такой закон,

                            Чтобы птицы говорили

                            Человечьим  языком.

    Разобьем  на элементарные высказывания:

     - леший нынче рьян;     - воздух нынче пьян;

     - в ухе приключился изъян   – оглашён закон

    Но  поскольку Федот в своем роде "атеист" и готов допустить  достоверность одного из этих предположений, но никак не совпадение нескольких, то данная ситуация описывается следующей логической формулой

    

    Пример:  Еще один пример из армейского юмора:

                      Носки должны быть или  черными или синими.

     - носки чёрные;     - носки синие;

    

    5. Импликация

    Следующая логическая операция, которую мы рассмотрим – это операция импликации. Импликация ложна тогда и только тогда, когда – истинна, а – ложна. 

0	0	1
0	1	0
1	0	1
1	1	1

 

    Это выражение читается так: если , то . В таком виде часто формулируются математические теоремы. Если теорема сформулирована как-нибудь иначе, то ее можно перефразировать в указанном виде, не теряя её сущности.

    Пример: Теорема: «Вертикальные углы – конгруэнтны», будет выглядеть так: «Если углы вертикальны, то они конгруэнтны». В такой формулировке выявлены посылка – (углы вертикальны) и заключение (углы конгруэнтны). Истинность высказывания , исключает возможность существования таких углов, которые были бы вертикальны и неконгруэнтны.

  углы вертикальны и конгруэнтны

  углы вертикальны и неконгруэнтны

  невертикальные углы могут быть конгруэнтны

  углы могут быть невертикальные и неконгруэнтные

В математических терминах импликация еще обозначается фразами:

              – следствие 

              – достаточное условие 

Импликацию  тоже можно выразить через &,Ú,Ø

    6. Эквивалентность

    Она истинна только тогда, когда значения и совпадают. Эту операцию еще иногда называют логическим равенством. 

0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	1

 

    В математических терминах эта операция интерпретируется в качестве фраз "тогда и только тогда", "необходимо и достаточно". Такая форма тоже очень часто используется в формулировке теорем. Эквивалентность представляется в виде:

    

Т.е. из следует , и из следует .

Например: Признак сходимости бесконечного ряда. Ряд сходится тогда и только тогда

    7. Штрих Шеффера

    Эта операция обозначается знаком / и определяет несовместимость высказываний. Эта операция ложна тогда и только тогда, когда оба операнда истинны. Выражение «А/В» читается так: « и В несовместны». Приведем таблицу истинности этой операции. 

0	0	1
0	1	1
1	0	1
1	1	0

 

    Например: «2 * 2 = 4» и «2 * 2 = 5» несовместны – это истинное высказывание

          «2 * 3 = 6» и «3 * 2 = 6» несовместны – это ложное высказывание, т.к. вот эти то высказывания как раз совместны.

    Через базовые операции Штрих Шеффера  выражается так:

    

    Поэтому эту операцию еще часто называют антиконъюктивной.

    Эта операция интересна тем, что используя  ее одну, можно выразить все остальные  связки (операции) логики высказываний. Шеффер показал это, и используя эту единственную, связку построил свое исчисление высказываний. Покажем некоторые формулы перехода в это исчисление.

    

    

    Упражнение: Выразите через Штрих Шеффера оставшиеся  логические операции (дизъюнкцию, импликацию, эквивалентность, исключающее или).

    Ограничимся этим набором логических операций. Существует всего 16 двуместных операций. Выпишем их 

А	В	0	А&В	А Þ В	В ÞА	А Å В	А Ú В	А ¯ В	А «y	Ø В	В ® А	Ø А	А ® В	А/В	1
0	0	0	0	0	0	0	0	1	1	1	1	1	1	1	1
0	1	0	0	0	1	1	1	0	0	0	0	1	1	1	1
1	0	0	0	1	0	1	1	0	0	1	1	0	0	1	1
1	1	0	1	0	0	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1

    Все эти функции называют элементарными. Символы операций часто называют логическими связками.

    Теорема. Число всех различных –местных булевых функций равно

    Пример, в котором появляются булевы функции.

    Составным элементом нервной системы является нейрон. Это устройство предназначено  для того, чтобы не пропускать слабые возбуждения и передавать достаточно регулярные и сильные.

    Одна  из моделей нейрона. Нейрон имеет входов, по которым в некоторый момент времени могут поступать или не поступать возбуждения. Если в момент более входов возбуждены, на выход нейрона поступает возбуждение, в противном случае оно не поступает. Обозначим входы нейрона _. Будем говорить, что вход принимает значение 0 в момент , если он не возбужден в этот момент, и значение 1, если возбужден в момент . Состояние выхода однозначно определяется соотношением входов и числом .

    Будем считать, что , если среди значений более равняется 1;

     , если среди значений  не более равняется 1

    Для имеем таблицу истинности.

0	0	0	0
0	0	1	0
0	1	0	0
0	1	1	1
1	0	0	0
1	0	1	1
1	1	0	1
1	1	1	1