Лекции по "Алгебре"

Например: между героем романа Тургенева «Рудин» и Пегасовым возник спор о существовании убеждений.

Вот часть их диалога

«- Прекрасно! – промолвил Рудин. – Стало быть, по-вашему, убеждений нет.

• Нет и не существует.
• Это Ваше убеждение?
• Да.
• Как же вы говорите, что их нет. Вот Вам уже одно, на первый случай.

Все в комнате улыбнулись и переглянулись.»

 

Теперь  выпишем законы Булевой алгебры:

Коммутативный закон.    Ассоциативный закон.

     

     

Дистрибутивный  закон.    Законы поглощения

  

  

На первый взгляд они не очевидны, докажем  законы поглощения: 

0	0	0	0	0	0
0	1	1	0	0	0
1	0	1	1	0	1
1	1	1	1	1	1

 

Выпишем приведенные  ранее выражения операций через &,Ú,Ø

    Тема 1.6. Составление формулы по заданной таблице истинности.

    Пример

0	0	0	0
0	0	1	0
0	1	0	0
0	1	1	1
1	0	0	0
1	0	1	1
1	1	0	1
1	1	1	1

    Выбираем  строки, где  и выписываем конъюнкции всех переменных, при чем, если переменная в этом наборе равна 1, то записываем ее саму, а если переменная = 0, то ее отрицание.

    Для данного примера

         

         

         

         

    коньюнкция  этих дизъюнкций и будет искомой  формулой:

    

   Определение: Конъюнкция называется элементарной, если все переменные, входящие в нее, различны. Количество букв, входящих в элементарную конъюнкцию или элементарную дизъюнкцию, называется рангом.

   Число 1 считается элементарной конъюнкцией  ранга 0. Переменная считается элементарной конъюнкцией или элементарной дизъюнкцией ранга 1. Число 0 считается элементарной дизъюнкцией ранга 0. Любую конъюнкцию переменных, не являющуюся тождественно ложной, можно привести к виду элементарной, а любую дизъюнкцию букв, не являющуюся тождественно истинной, также можно привести к виду элементарной. Для этого надо применить свойства коммутативности, идемпотентности и ассоциативности конъюнкции и дизъюнкции.

    Строго  доказано, что любую формулу булевой  алгебры можно выразить с помощью  операций Ú, &, Ø. Интуитивно этот факт очевиден, вспомним алгоритм составления формулы по таблице истинности. При этом мы используем только эти операции. Такая форма записи называется дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ). Это своеобразный механизм нормализации формул алгебры логики.

    Определение: ДНФ – это дизъюнкция различных элементарных конъюнкций (т.е. каждая конъюнкция состоит из элементарных высказываний или их отрицаний).

    Аналогично  определяется КНФ – коньюктивная нормальная форма.

    Определение: Если в ДНФ все элементарные конъюнкции имеют один и тот же ранг, равный числу переменных, от которых зависит ДНФ, то она называется совершенной (СДНФ).

    Теорема. Для любой функции, не являющейся тождественно ложной, существует и притом единственная СДНФ.

    Следствие. Любую булеву функцию, не являющуюся тождественно ложной можно представить в виде суперпозиции &,Ú,Ø, причем отрицание относится только к переменным.

    Определение: Система логических операций называется функционально полной, если с помощью этих операций и констант этой системы можно представить любую функцию булевой алгебры.

    Системы {&,Ú,Ø}; {Ú,Ø}; {&,Ø},{/} – являются функционально полными

    {&,Ú} – функционально неполная.

    Мы  примем эти факты без доказательства, и решая задачи, будем стараться  любую формулу представить с  помощью {&,Ú,Ø}. Позже мы более подробно обсудим вопрос функциональной полноты и неполноты системы операций.

    Тема 1.7. Методы упрощения логических выражений. Методы решения логических задач.

    Рассмотрим  пример решения логической задачи.

Пример:

После обсуждения состава участников экспедиции решено, что должны выполняться два  условия.

1. Если поедет Арбузов, то должны ехать Брюквин или Вишневский

2. Если поедут Арбузов и Вишневский то поедет Брюквин

    Составить логическую формулу принятия решения  в символической форме, упростить  полученную формулу и сформулировать по ней новое условие формирования экспедиции.

    Введём  переменные и соответствующие им элементарные высказывания.

     - поедет Арбузов

     - поедет Брюквин

     - поедет Вишневский

    Тогда выработанные условия формирования экспедиции будут выглядеть следующим образом:

    Составим  общую формулу и упростим выражение

    

    т.е. если поедет Арбузов, то поедет Брюквин.

    Пример:

    Если  завтра будет хорошая погода, то мы пойдем на пляж или поедем в лес. Составим формулу нашего поведения на завтра.

     – хорошая погода

      – мы пойдем на пляж

      – мы поедем в лес

    

    Теперь  построим отрицание этой фразы

    

    т.о. получим высказывание "Завтра будет  хорошая погода, и мы не пойдем в лес и на пляж.

    Желающие  могут построить таблицу истинности и проверить это утверждение.

    Пример:

    По  подозрению в совершенном преступлении, задержаны Браун, Джон и Смит. Один из них уважаемый в городе старик, второй чиновник, а третий известный  мошенник. В ходе следствия старик говорил правду, мошенник лгал, а третий задержанный в одном случае говорил правду, а в другом лгал.

    Вот что они говорили:

    Браун: Я совершил это. Джон не виноват.  (Б&ØД)

    Джон: Браун не виноват. Преступник Смит. (ØБ&С)

    Смит:  Я не виноват. Виноват Браун (ØС&Б)

    Опишем  эти высказывания формально:

     -  преступление совершил Браун

     - преступление совершил Джон

     - преступление совершил Смит

    Тогда их слова описываются следующими выражениями:

    Браун:

    Джон:

    Смит:

    Т.к. по условиям задачи две из этих & ложны и одна истинна, то

    

    Составим  таблицу истинности 

NN
1	0	0	0	0	0	0	0
2	0	0	1	0	1	0	1
3	0	1	0	0	0	0	0
4	0	1	1	0	1	0	1
5	1	0	0	1	0	1	1
6	1	0	1	1	0	0	1
7	1	1	0	0	0	1	1
8	1	1	1	0	0	0	0