Лекции по "Алгебре"

 

1. Исключим  из рассмотрения те наборы, на которых  (по условию задачи одна из & - истинна, следовательно, ) 1, 3, 8
2. Исключим случай 5, т.к. в нем две & истинны, что противоречит условию задачи.
3. В случаях 4, 6, 7 у нас в начальном наборе две 1 , т.е. 2 преступника, а по условию задачи он один.

Остается  только случай 2 , т.е. преступник Смит, и оба его высказывания ложны.

 следовательно   – ложно и - истинно

= 1 – Джон уважаемый старик

Остается, что Браун чиновник, и поскольку  – ложно , то – истинно.

Пользуясь законами и тождествами булевой  алгебры можно упрощать логические выражения.

Пример:

Упражнение:

(X&Y&Z)ÚØ(X&Y&Z)ÚØX&Y

    Тема 1.8. Релейно-контактные схемы.

    В самом начале нашего курса мы говорили, что значения, которые может принимать  логическая переменная, могут быть интерпретированы, как "включено", "выключено". Это связано с возможностью использования аппарата булевой алгебры для описания и использования релейно-контактных схем. На это указал еще в 1910 году физик Эренфест. Однако его идеи стали реализовываться значительно позже. Использование булевой алгебры в конструировании РКС оказалось возможным в связи с тем, что каждой схеме можно поставить в соответствие некоторую формулу булевой алгебры, и каждая формула булевой алгебры реализовывается с помощью некоторой схемы. Это обстоятельство позволяет выявить возможность заданной схемы, анализируя соответствующую формулу, а упрощение схемы свести к упрощению формулы.

    Рассмотрим, как устанавливается связь между  формулами булевой алгебры и  переключательными схемами.

    Под переключательной схемой понимаем схематическое изображение некоторого устройства, состоящее из следующих элементов:

1. переключателей, которыми могут быть механически действующие устройства (выключатели, кнопочные устройства, электромагнитные реле, электролампы, полупроводниковые элементы и т.д.)
2. Соединяющих их проводов
3. входов и выходов в схему (клемм на которые подается электрическое напряжение)

     Сопротивления, конденсаторы на схеме не изображаются. Переключательной схемой принимается  в расчет только два состояния каждого переключателя "включено", "выключено".

     Рассмотрим  простую схему, содержащую единственный переключатель Р, имеющую один вход А и один выход В. Переключателю Р поставим в соответствие высказывание р:" Переключатель замкнут". Если р истинно, то импульс поступающий на вход А, можно снять на выходе В, без потерь напряжения. В этом случае будем говорить, что схема проводит ток. Если р ложно, то переключатель разомкнут и схема тока не проводит, или на полюсе В снимается минимальное напряжение при подаче на полюс А максимального напряжения. Если принять во внимание не смысл высказываний, а только его значение, то можно считать, что любому высказыванию может быть поставлена в соответствие схема.

    Формулам, включающим & и Ú также могут быть поставлены в соответствие переключательные схемы.

    & p и q представляется двуполюсной схемой с последовательным соединением двух переключателей P и Q. Эта схема пропускает ток тогда и только тогда, когда истинны р и q одновременно. p&q = 1

Ú p и q представляется двуполюсной схемой с параллельным соединением двух переключателей P и Q.

     Если  отрицание р - Øр, то тождественно истинная формула рÚØр изображается схемой, которая всегда проводит ток.

     А тождественно ложная р&Øр схемой, которая никогда не проводит ток.

     Мы  уже говорили, что любая формула  Булевой алгебры может быть представлена в виде формулы, содержащей только Ú,&,Ø.

     Следовательно, любая формула Булевой алгебры  может быть представлена схемой, и любая схема,  может быть представлена формулой Булевой алгебры.

    Тема 1.9 Обзор существующих недвоичных логик.

    Развитие  традиционной логики обнаружило в ней  наличие непреодолимых противоречий (антиномий). Некоторые из них известны с глубокой древности: Парадокс лжеца, Парадокс брадобрея. Эти парадоксы неразрешимы в рамках данной теории. Вместе с этим ясно видно, что построенная модель хоть и нашла практическое применение (например, в РКС) не способна формализовать все приемы и навыки человеческого мышления. В начале двадцатого столетия независимо друг от друга стали развиваться новые концепции логики, позже объединенные в понятие нетрадиционной логики. Если говорить о каких-то их общих качествах, то в первую очередь это попытка преодолеть неоднозначность понимания операции отрицания. Действительно, в человеческом понимании отрицание даже очень простой фразы может иметь до десятка смысловых нагрузок.

    Например:

    Фраза: «Все программисты умные».

    Возможные варианты отрицания:

    «Не все программисты умные»

    «Все  программисты не умные»

    «Не все программисты не умные»

    «Некоторые  программисты не умные»

    А если не очень комплексовать, то:

    «Все  не программисты умные»

    «Не все не программисты умные»

    «Не все программисты не умные»

    «Не все не программисты не умные»

    «Некоторые не программисты не умные»

    Как видите, вариантов много, и каждый из них вполне можно рассматривать  в качестве отрицания заданной фразы.

    Делалось  много попыток создать новые  системы формальных логик, тем самым, расширив область ее применения. Каждая из созданных логик дает дополнительные возможности, в сравнении с традиционной логикой, но при этом сама имеет свои ограничения и противоречия.

    Самые известные из них:

1. Модальная логика. В этой логике введены и формализованы понятия необходимости и возможности. Т.е. в рамках этой логики можно формализовать выражение: «Возможно, что Атлантида существовала», и говорить о степени истинности этого высказывания. В рамках этой логики определены все уже знакомые нам логические операции, а понятия необходимости и возможности рассматриваются как модальные операторы. Но для этой логики остается открытым вопрос об интерпретации (т.е. о соответствующей неформальной системе, существующей по этим законам). Делаются пока ничем не подтвержденные предположения, о полезности этой логики для описания физического мира в процессе анализа причинности.
2. Вероятностная логика. В этой логике исследуются высказывания, принимающие значение не только истинно или ложно, но и множество степеней правдоподобия. Истинностное значение высказываний х находится между 0 и 1.

0 ≤ х ≤ 1

Все высказывания, значения истинности которых  отличны от 0 и 1, называются в вероятностной  логике гипотезой. Т.к. в общественных и естественных науках, в производственной практике и житейском обиходе гипотезы занимают очень важное место, становится очевидным значение вероятностной логики. Предметом исследования вероятностной логики становится степень приближения гипотезы к достоверности. В вероятностной логике вероятность рассматривается как функция от двух аргументов -  самой гипотезы и имеющегося знания, при чем отношение гипотезы к действительности не непосредственно, а через другие высказывания, выражающие наши знания. При этом надо понимать, что рассматривается математическая вероятность, которая является «объективной оценкой степени возможности появления определенного события в каких-то заранее заданных условиях, которые могут повторяться неограниченное число раз».

3. Временная логика. В этой логике истинностное значение высказываний связано с тем или иным определенным моментом или промежутком времени. В этой логике введены операторы прошедшего времени (было так, что), будущего времени (будет так, что), всегда прошедшего времени (всегда было так, что) всегда будущего времени (всегда будет так, что), и правила вывода с участием этих операторов. Временная логика связана с модальной логикой, и некоторые ее разделы нашли свое применение в кибернетике.
4. Индуктивная логика. В этой логике исследуются умозаключения, в которых мысль развивается от знания единичного и частного к знанию общего. В этой логике разрабатываются средства оценки степени логической связи высказываний - гипотез с другими высказываниями, истинность которых доказана; выясняется критерий степени вероятности суждений, составленных на основании данных неполной информации.

Дав такой краткий обзор современного развития логики, мы перейдем к разделу  тесно связанному с логикой.