Логарифмические уравнения и неравенства

Задания.

1) Решить неравенство:  .

Решение: Так как 0<0,3<1, то решаем неравенство по второй системе:

.

                                      -1                  2               5                          Ответ:  .

2) Решить неравенство: .

Решение: Так как , то решаем данное неравенство по аналогии второй системы, только знак первого неравенства системы меняем.

.   

Ответ: .

3) Решить неравенство: .

Решение: Так как lg – логарифм по основанию 10 и 10>1,то данное неравенство решаем по аналогии первой системы, только знак первого неравенства системы меняем на противоположный.

.

                  

                7/3                   4

Ответ: .

   Покажем, как  используются логарифмические неравенства  для решения  задач на нахождение  области определения функции  или множества значений данной  функции.

Для нахождения области определения  логарифмической функции  необходимо найти множество значений при которых выполняется условие . Решение заданий с дополнительными требованиями «указать длину промежутка, на котором функция определена», «при каком целом значении х функция определена» сводится к двум этапам:

I этап – находят все значения х, при которых ;

II этап – делают выборку значений х из полученного промежутка согласно дополнительному требованию.

4) Укажите длину промежутка  области определения функции:

.

Решение:

а) Найдем значения х, при которых , .

б) Найдем область определения функции: .

Перепишем полученное неравенство  так: .

Так как основание логарифма , то решаем по системе 2).

в) Пересекая полученные промежутки, получаем .

Таким образом, длина  промежутка области определения  данной функции равна 1.                                                                                  

 Ответ: 1.

 При нахождении  области значений функции  необходимо,  прежде всего, найти множество значений функции , а затем на основании свойства логарифмической функции указать область значений . Если в задании есть дополнительные требования, то решение будет состоять из трех этапов:

I этап – находим область значений ;

II этап – находим область значений ;

III этап – выполняем дополнительные требования.

5) Указать наименьшее  значение функции:  .

Решение:

а) Определим множество значений функции: . Выделив полный квадрат, получим:

.

Так как  для всех действительных х, то  .

б) Таким образом, поскольку , а - возрастающая   функция, то .

в) Область значений функции представляет собой луч .

г) Наименьшее значение на этом луче равно 3.                 

  Ответ: 3.

6) Решить неравенство:  .

Решение:

Для наглядности решения  построим график функции  .

t			1	2	4	8
y	-2	-1	0	1	2	3

 

Из рисунка видно, что  функция принимает положительные  значения при  .

Далее, учитывая область  определения функции  , получим:

.

Ответ: .

Рассмотрим задачи на отыскание геометрических точек, координаты которых задаются неравенствами  с использованием логарифмических функций.

7) Изобразить на плоскости  (х;у) множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству .

Решение: Данное неравенство  равносильно совокупности двух систем:

.

Сделаем рисунки, отвечающие системам 1) и 2), (рис 1 – 2) .

 

 

                                         Рис 1.                                                                        Рис 2.

Ответ: Рис 3.

               

 

 

Рис 3

При решении логарифмических  неравенств, содержащих несколько различных функций под знаком логарифмов, рекомендуется сначала найти область определения исходного выражения, и лишь затем совершать преобразования, в ходе которых область определения может сужаться или расширяться.

8) Решить неравенство: .

Решение: Ключевым моментом в решении  данного неравенства является поиск  его области определения.

Выяснили, что область определения  неравенства состоит только из двух точек.

Осталось подстановкой выяснить, какие  из этих точек удовлетворяют неравенству.

При логарифмическое неравенство принимает вид:

  - истинно.

При логарифмическое неравенство принимает вид: - ложно.                                                                                   

Ответ: .

Метод подстановки

Ищем в неравенстве  некоторое повторяющееся выражение, которое обозначим новой переменной, тем самым, упрощая вид неравенства. В некоторых случаях, очевидно что удобно обозначить.

Задания.

1) Решить неравенство:  .

Решение: Сразу отметим, что x>0 .

Заменяем  . Тогда имеем , (t+2)(t-1) , т.е. .

Так как  и , то имеем:

 

С учетом ОДЗ (x>0), получаем .

Ответ: .

2) Решить неравенство:  .

Решение: Заменяем = . Тогда получим:   .

      

            +               -               +

                     -3              1             

С учетом ОДЗ (x>0), получаем .

Ответ: .

3) Решить неравенство:  .

Решение: Заменяем .

Тогда .

Введем новое обозначение: , так как , значит .

В итоге имеем: .

             +               -               +

                      -6              5                   .

Так как  , то .

, значит  .

Далее учитывая равенство  , получим .

Ответ: .

 

Обычно замену (подстановку) производят после некоторых преобразований данного неравенства.

4) Решить неравенство:  .

Решение: Неравенство  равносильно системе:

Заменяем  >0, получим неравенство:

.

             +              -                +

                    -2               3                .

Вернемся к замене. Так как t>0, то рассматриваем только положительные значения:

  .

Ответ: .

5) Решить неравенство:  .

Решение: Отметим, что x>0. Неравенство запишем в виде:

.

1. Если , то

         .

Заменяем  . Тогда имеем .

                +      -        +         

                   -3        1

Так как , то имеем:

                                 0                1    

                                                                                              2

В первом случае получили: (0; ).        

2. Если x>1,  то .

Заменяем  .

Тогда имеем: .

              +              -                +

                     -3               1

Так как  , то

                            1

                                             2 

Во втором случае получили: (1;2).

Ответ: (0; ) .

 Метод приведения  к одному основанию

Обычно условие примера  подсказывает, к какому основанию  следует перейти. Как правило, метод  приведения к одному основанию «работает» с методом подстановки.

Задания.

1) Решить неравенство:  .

Решение: Обозначим  , тогда данное неравенство примет вид:

.

Приведем логарифмы к одному основанию:

.

Заменяем  .

Тогда имеем  .

            +              -               +

                                                   .

1. Так как , то имеем ,

Поскольку основание  логарифма больше 1, то данное неравенство  равносильно системе двух неравенств:

2. .

   Так как , то имеем совокупность двух показательных неравенств:

Ответ: .

2) Решить неравенство:  .

Решение:

ОДЗ:

Приведем логарифмы к одному основанию:

.

Домножим обе части неравенства на .

Рассмотрим два случая: 1)   2)

Решим первый случай, когда  .

(*) (Знак неравенства не меняется, т.к.  ).

Основание логарифма больше 1, значит неравенство (*) равносильно системе  неравенств:

          +             -                +

                 -1               4                    .

                 -1      1              4             .

В первом случае получаем: .

Теперь рассмотрим второй случай, когда 

(**) (Знак неравенства изменился  на противоположный).

Неравенство (**) равносильно  системе неравенств

          -1        0      1          4             

Как мы видим решение  второго случая .

Во втором случае получили: .

Ответ: .

3) Решить неравенство:  .

Решение:

ОДЗ:

Все слагаемые приведем к одному основанию:

.

 

Воспользуемся свойствами логарифма  и получим:

, т.к.  , то .

, D<0, числитель дроби всегда >0, значит и знаменатель должен быть >0.

                        Ответ: .

4) Решить неравенство:  .

Решение:

Приведем обе части  неравенства к одному основанию

.

Так как основание  степени  , то имеем:

.

Функция определена при

Заменяем  .

Тогда имеем: .

        +             -             +

                1              5               .

Данное неравенство  равносильно совокупности двух неравенств:

Так как основание  логарифма больше 1, то:

Ответ: .

 Метод логарифмирования

При решении неравенств вида    обычно следуют следующей схеме:

1. Находят ОДЗ неравенства,  исходя из того, что на ОДЗ  функции f(x) и g(x) определены и положительны.