Логарифмические уравнения и неравенства

2. Логарифмируют неравенство,  т.е. заменяют неравенство равносильным  ему на ОДЗ при a > 0, неравенством .

3. Решают полученное  неравенство. Его решения и  будут решениями исходного неравенства.

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава 2. Средства оценивания знаний и умений учащихся по теме                                              «Логарифмические уравнения и неравенства»

           Проверка и оценка знаний, умений и навыков учащихся является важным структурным компонентом процесса обучения и в соответствии с принципами систематичности, последовательности и прочности обучения должна осуществляться в течение всего периода обучения.

 

            Актуальность проблемы оценки связана с достижением в последнее время определённых успехов в реализации практической роли обучения, благодаря чему расширилась  сфера  приложения оценки, возросли  возможности положительного влияния на учебно-педагогический процесс, возникли  условия  для  рационализации оценки как составной  части  этого  процесса.

 

             Оценка знаний и умений учащихся является важным звеном учебного процесса, от правильной постановки которого во многом зависит успех обучения. В методической литературе принято считать, что оценка является так называемой “обратной связью” между учителем и учеником, тем этапом учебного процесса, когда учитель получает информацию об эффективности обучения предмету.

             Согласно этому выделяют следующие цели оценки знаний и умений учащихся:

-диагностирование и  корректирование знаний и умений  учащихся;

-учет результативности  отдельного этапа процесса обучения;

-определение итоговых  результатов обучения на разном  уровне.

Я предлагаю воспользоваться такими средствами оценивания как:

         

   1.Тренинг

      Метод активного обучения, направленный на развитие знаний, умений и навыков и социальных установок.

      Получение новой информации, но и применение полученных знаний на практике.

 

 

2.1. Тренинг

 

 

Базовый уровень

Задание 1 (время  выполнения -15 мин.)

 

1) Решите неравенство  .

1) (–1; 0); 2) (–1; –0,5); 3) (–0,5; 0); 4) (–∞; 0).

2) Решите неравенство .

1) (–2,5; –0,5]; 2) (–∞; –0,5];

3) (–2,5; –1,5]; 4) (–1,5; –0,5].

3) Решите уравнение

.

4) Решите уравнение

.

 

Проверьте ответы, если у вас:

4 верных ответа –  переходите к Заданию 4;

3 верных ответа –  переходите к Заданию 2.

В остальных случаях – посмотрите решения, и переходите к Заданию 3.

 

Повышенный  уровень

Задание 2(время  выполнения -45 минут)

 

5) Решите уравнение  .

6) Решите уравнение  .

7) Найдите произведение  корней уравнения

.

8) Найдите произведение  корней уравнения

.

9) Найдите количество  всех целых чисел, являющихся  решениями неравенства  .

10) Найдите отрицательное  число а, при котором число  х = 4 является корнем уравнения .

 

 

 

Проверьте ответы, если у вас:

б верных ответов –  тренинг закончен, Вы его успешно  прошли;

5 или 4 верных ответа  – переходите к Заданию 4;

3 или 2 верных ответа  – то переходите к Заданию  3.

В остальных случаях  – посмотрите решения и переходите к Заданию 3.

 

Базовый уровень

Задание 3 (время  выполнения-30 минут)

 

11) Решите неравенство  .

1) (0; 5]; 2) (1; 5]; 3) (0; 3]; 4) (0; ].

12) Решите неравенство  .

1) (1; 1,1); 2) (1; 1,01); 3) (1; 11); 4) (1; + ∞).

13) Решите неравенство  .

1) (8; 22); 2) (0; + ∞); 3) (12; +∞); 4) (8; 12).

14) Решите неравенство  .

1) (0; 2]; 2) (0; 1]; 3) (0; +∞); 4) [1; +∞).

15) Решите уравнение .

16) Решите уравнение  .

 

Проверьте ответы, если у вас:

б или 5 верных ответов  – переходите к Заданию 4;

4 или 3 верных ответа  – переходите к Заданию 2;

В остальных случаях  – тренинг закончен, но Вы не прошли его.

 

Базовый уровень

Задание 4 (время  выполнения-30 мин)

 

17) Найдите произведение  всех корней уравнения  .

18) Укажите количество  всех целых чисел, которые являются  решениями неравенства

.

19) Найдите сумму всех целых чисел, которые являются решениями неравенства

.

20) Найдите наименьшее  натуральное число, которое является  решением неравенства

.

 

Проверьте ответы, если у вас:

4 верных ответа –  тренинг закончен, Вы его

успешно прошли;

3 или 2 верных ответа  – переходите к Заданию 2;

В остальных случаях  – Вы прошли тренинг только на базовом  уровне.

2. Самостоятельная работа

Самостоятельная работа – это такая  работа,  которая  выполняется  без

непосредственного  участия  учителя,  но  по  его  заданию,   в   специально

предоставленное для  этого время, при этом  учащиеся,  сознательно  стремятся достигнуть поставленные цели, употребляя свои усилия и  выражая  в  той  или иной форме результат   умственных  или  физических

( либо тех  и других вместе) действий.

 

 

                   Решение логарифмических уравнений и неравенств.

 

Часть А.

 

1. Решите уравнение:

а)          б)       в)

г)       д)

 

2. Решите неравенство  .

Часть В.

 

3. Решите неравенство:

а)                 б)

 

4. Решите уравнение 

 

5. Решите систему уравнений:

 

 

 

 

 

 

3. Контрольная работа

        Контро́льная рабо́та — промежуточный метод проверки знаний учащегося или студента.Обычно проходит в письменном виде и на уроке и этим отличается от домашней работы. В ходе контрольной работы ученики обычно не имеют права пользоваться учебниками и т.п.

 

                                                           1 вариант

                                                       Задания на «3»

 

 №1 Решите уравнение

№2 Решите неравенство

№3 Решите уравнение

№4 Решите неравенство

№5 Решите неравенство

№6 Решите неравенство

 

 

 

                                                           2 вариант

                                                      Задания на «3»

 

 №1 Решите  уравнение

№2 Решите неравенство

№3 Решите уравнение

№4 Решите неравенство

№5 Решите неравенство

№6 Решите неравенство     

 

 

 

Задания на«4»

Решите неравенства

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задания на«5»

 №1   Решите уравнение

     

 

№2 Решите неравенство

     

 

№3 Найдите  все значения  х, при  каждом из которых выражения       и

принимают равные значения.

 

№4 Найдите  все значения , при каждом из которых произведение значений выражений

  и          не положительно

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава 3. Приложение

Конспект урока по алгебре и началам анализа  в 11 классе

                 по теме: «Решение логарифмических уравнений».

 

Цели урока:

 

      Обучающие: закрепить основные понятия по заданной теме: определение

 и свойства логарифмов  и логарифмической функции, правила вычисления логарифмов, способы решения логарифмических уравнений.

 

     Развивающие: содействовать развитию логического мышления учащихся, Развивать умение рассуждать, сравнивать, осмысливать материал; развивать навыки исследовательской деятельности; развивать навыки общения.

 

    Воспитывающие: воспитание познавательного интереса, элементов культуры общения; побуждение учащихся к преодолению трудностей в процессе умственной деятельности; воспитании у учащихся уверенности в себе, веры в свои силы в нестандартной ситуации.

 

                                                  Ход урока.

1. Организационный момент: (сообщить учащимся тему урока, поставить перед ними задачи урока).

Изучив основные свойства логарифмической функции, правила  вычисления логарифмов и свойств  логарифмов, наша основная задача на сегодняшний  урок – научиться решать логарифмические уравнения.

 

2. Активизация знаний учащихся.

     Устная  работа.

На столах учащихся и  на интерактивной доске находится  шпаргалка, которая отображает весь изученный материал. По этому материалу  вспоминаем изученное.

 

Тренировочный тест.

 

  На каком из рисунков изображён график функции ?

  

 

 

На каком из рисунков изображён график функции     ?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Найдите область определения  функции   .

X<5                           0<x<5                         x>5

 

Найдите область определения  функции    

X<- 0.25               0<x<- 0.25               x> - 0.25

 

Определите характер монотонности функции    

 

Определите характер монотонности функции  

 

Вычислите :                              

                                                        8           25

 

Сравните числа                     

 

3. Объяснение нового материала.

 

Открыли тетради и  записали тему урока: Логарифмические  уравнения.

 

Уравнения вида   где a > 0,  a 1, называют логарифмическими уравнениями, если  , то решение

Переход от одного уравнения  к другому называют потенцированием (т. е. освобождение от знака логарифма  за счёт монотонности логарифмической  функции, т. к. монотонная функция принимает каждое своё значение один раз).

Теперь мы должны с  вами научиться решать логарифмические  уравнения.

На предыдущих уроках мы с вами рассмотрели один из методов  решения простейших логарифмических  уравнений – функционально-графический. Он заключается в построении графиков функций в одной системе координат и нахождении точки пересечения этих графиков, являющейся решением данного уравнения.

 

Методы решения:

1. Метод потенцирования (освобождения от знака логарифма).

        

Решение.

ОДЗ:     

              

Потенцируя получим: 

                                       

По формулам Виета  найдём корни: 4 и -3. Выполнив проверку, убедимся, что 4 не является корнем. Запишем ответ.

Ответ:-3.

2. Решение уравнений с использованием свойств логарифмов.

Решение.

ОДЗ:     х+4>0,

              2x+3>0,                          x (-4;-1,5).

              1+2x>0.

Вспомним свойства логарифмов – сумма логарифмов двух положительных  чисел равна логарифму произведения этих чисел.

Получим:      

Освобождаясь от знака  логарифма и решив квадратное уравнение получим корни: -5,5 и -1. Согласовав корни с ОДЗ. получим корень: -1.

Ответ: - 1.

3. Метод введения новой переменной.

         

Решение.

ОДЗ:    х>0,

             x 10.

Преобразуем

,

Введём замену      тогда      

ОДЗ:

.

Вернёмся к замене: 

                                   

                                   

Ответ: 100.

 

4. Закрепление.