Параметрически заданные функции и их графики

     Рис.1.4.  Локальные экстремумы функции

     Теорема доказана.

     Проиллюстрируем данную теорему на конкретном примере. Исследовать на монотонность и локальный экстремум функцию с помощью производной первого порядка.

     Решение. Найдем стационарные точки функции:

     

     Þ х² –1 = 0  Þ  х₁ = –1, х₂ = 1.

     Заметим, что данная функция не определена в точке х = 0. Следовательно:

х	(–¥; –1)	–1	(–1; 0)	0	(0; 1)	1	(1; +¥)
у'	+	0	–	–	–	0	+
у		–2		–		2

                               max                                                     min

     То  есть функция  возрастает на интервалах (–¥; –1) и (1; +¥), убывает на интервалах (–1; 0), (0; 1), имеет локальный максимум в точке х₁ = –1, равный у_max (–1) = –2; имеет локальный минимум в точке х₂ = 1, у_min (1) = 2.

     Теорема 2 (второе достаточное условие экстремума). Пусть функция f (x) дважды непрерывно-дифференцируема. Если х₀ – стационарная точка   (f ' (х₀) = 0), в которой f '' (х₀) > 0, то в точке х₀ функция имеет локальный минимум. Если же f '' (х₀) < 0, то в точке х₀ функция имеет локальный максимум.

     Доказательство. Пусть для определенности f '' (х₀) > 0. Тогда

     

     Следовательно:

     при х < х₀,   f ' (х) < 0,

     при х > х₀,   f ' (х) > 0.

     Поэтому по теореме 1 в точке х₀ функция имеет локальный минимум.

     Теорема доказана.

     Рассмотрим  еще один пример. Исследовать на экстремум функцию с помощью второй производной.

     Решение. В примере 2 для данной функции мы нашли первую производную и стационарные точки х₁ = –1, х₂ = 1.

     Найдем  вторую производную данной функции:

     

     Найдем  значения второй производной в стационарных точках.

       Þ в точке х₁ = –1 функция имеет локальный максимум;

       Þ в точке х₂ = 1 функция имеет локальный минимум (по теореме 2).

     Заметим, что теорема 1 более универсальна. Теорема 2 позволяет проанализировать на экстремум лишь точки, в которых первая производная равна нулю, в то время как теорема 1 рассматривает три случая: равенство производной нулю, производная не существует, равна бесконечности в подозрительных на экстремум точках. 
 
 

1.2. Исследование функций на выпуклость и вогнутость. Точка перегиба 

     Пусть функция f (х) задана на интервале (a, b) и х₁, х₂ – любые различные точки этого интервала. Через точки А (х₁, f (х₁)) и В (х₂, f (х₂)) графика функции f (х) проведем прямую, отрезок АВ которой называется хордой. Уравнение этой прямой запишем в виде  у = у(х).

     Функция f (х) называется выпуклой вниз на интервале (a, b), если для любых точек х₁, х₂ Î (a, b), а £ х₁ <  х₂ £ b, хорда АВ лежит не ниже графика этой функции, т. е. если f (х) £ у (х), œ х Î [х₁, х₂] Ì (a, b):

     

     Рис.1.5. Исследование функции

на выпуклость и вогнутость

     Заметим, что выпуклую вниз функцию иногда называют вогнутой функцией. Аналогично определяется выпуклость функции вверх.

     Функция f (х) называется выпуклой вверх на интервале (a, b), если для любых точек х₁, х₂ Î (a, b), а £ х₁ <  х₂ £ b, хорда АВ лежит не выше графика этой функции, т. е. если f (х) ³ у (х), œ х Î [х₁, х₂] Ì (a, b): 

     

     Рис.1.6. Выпуклая вверх функция f (х)

     Теорема 3 (достаточное условие выпуклости). Если f (х) – дважды непрерывно дифференцируема на интервале (a, b) и

     1) f ''(х) > 0, œ х Î (a, b), то на (a, b) функция f (х) выпукла вниз;

     2) f ''(х) < 0, œ х Î (a, b), то на (a, b) функция f (х) выпукла вверх.

     Точка х₀ называется точкой перегиба функции f (х), если $ d – окрест-ность точки х₀, что для всех х Î (х₀ – d, х₀) график функции находится с одной стороны касательной, а для всех х Î (х₀, х₀ + d) – с другой стороны каса-тельной, проведенной к графику функции f (х) в точке х₀, то есть точка х₀ – точка перегиба функции f (х), если при переходе через точку х₀ функция f (х) меняет характер выпуклости:

       
 
 
 
 

                                           х₀ – d          х₀          х₀ + d

     Рис.1.7. Точка перегиба функции f (х)

     Теорема 4 (необходимое условие существования точки перегиба). Если функция f (х) имеет непрерывную в точке х₀ производную f '' и х₀ – точка перегиба, то f '' (х₀) = 0.

     Доказательство.

     Если  бы f '' (х₀) < 0 или f '' (х₀) > 0, то по теореме 3 в точке х₀ функция f (х) была бы выпукла вверх или вниз. Следовательно, f ''(х₀) = 0.

     Теорема доказана.

     Теорема 5 (достаточное условие перегиба). Если функция f (х) дважды непрерывно дифференцируема в окрестности точки х₀ и при переходе через точку х₀ производная f ''(х) меняет знак, то точка х₀ является точкой перегиба функции f (х).

      Проиллюстрируем данное утверждение на примере. Исследуем на выпуклость и найдем точки перегиба функции у = х³. 
 
 
 
 
 
 

     Рис.1.8. Исследование графика функции у = х³

     Решение. у' = 3х², у'' = 6х = 0 Þ х₀ = 0 – точка, подозрительная на перегиб.

     В точке х₀ = 0 функция у = х³ имеет перегиб: 

х	(–¥; 0)	0	(0; +¥)
у''	–	0	+
у	выпукла вверх	0	выпукла вниз
		точка перегиба

     Рассмотрим  еще один пример: исследуем на выпуклость и найдем точки перегиба функции .

     Решение. В примере 3 мы уже находили вторую производную данной функции . Так как то точек подозрительных на перегиб нет. Рассмотрим промежутки выпуклости:

х	(–¥; 0)	0	(0; +¥)
у''	–	–	+
у	выпукла вверх	–	выпукла вниз
		функция не определена

 
 
 

1.3. Асимптоты графика функции 

     Асимптотой  будем называть прямую, к которой график функции неограниченно близко приближается. Различают вертикальные и наклонные асимптоты.

     Прямая  х = х₀ называется вертикальной асимптотой графика функции f (х), если хотя бы один из пределов f (х₀ – 0) или f (х₀ + 0) равен бесконечности.

     Рассмотрим  пример: найти вертикальные асимптоты функций:

     а)   б)   в)

     Решение. Вертикальными асимптотами функций будут прямые х = х₀, где х₀ – точки, в которых функция не определена.

     а) х = 3 – вертикальная асимптота функции .

     Действительно, ;

     б) х = 2, х = – 4 – вертикальные асимптоты функции .

     Действительно, ,

      ;

     в) х = 0 – вертикальная асимптота функции

     Действительно, .

     Прямая  у = kx + b называется наклонной асимптотой графика непрерывной функции f (х) при х ® +¥ или х ® – ¥, если  f (х) = kx + b + α(х), , то есть если наклонная асимптота для графика функции f (х) существует, то разность ординат функции f (х) и прямой у = kx + b в точке х стремится к 0  при х ® +¥ или при х ® – ¥.

     Теорема 6. Для того чтобы прямая у = kx + b являлась наклонной асимптотой графика функции f (х) при х ® +¥ или х ® – ¥, необходимо и достаточно существование конечных пределов:

        (4)

     Следовательно, если хотя бы один из данных пределов не существует или равен бесконечности, то функция не имеет наклонных  асимптот.

     Рассмотрим  еще один пример. Найти наклонные асимптоты функции