Параметрически заданные функции и их графики

     Решение. Найдем пределы (4):

     

     Следовательно, k = 1.

     

     Следовательно, b = 0.

     Таким образом, функция  имеет наклонную асимптоту у = kx + b = 1 · х + 0 = х.

     Ответ: у = х – наклонная асимптота.

     Пример. Найти асимптоты функции .

     Решение.

     а) функция неопределенна в точках  х₁ = –1, х₂ = 1. Следовательно, прямые  х₁ = –1, х₂ = 1 – вертикальные асимптоты данной функции.

     Действительно, .

      ;

     б) у = kx + b.

     

     

     Следовательно, у = 2х + 1 – наклонная асимптота данной функции.

     Ответ: х₁ = –1, х₂ = 1 – вертикальные, у = 2х + 1 – наклонная асимптоты. 
 
 
 

1.4. Общая схема построения графика функции 

     Для исследования графика функции целесообразно  использовать следующую схему:

     1. Найти область определения функции.

     2. Исследовать функцию на периодичность, четность или нечетность.

     3. Исследовать функцию на монотонность и экстремум.

     4. Найти промежутки выпуклости и точки перегиба.

     5. Найти асимптоты графика функции.

     6. Найти точки пересечения графика функции с осями координат.

     7. Построить график.

     Прежде  чем перейти к примерам, напомним определения четности и нечетности функции.

     Функция у = f (х) называется четной, если для любого значения х, взятого из области определения функции, значение (–х) также принад-лежит области определения и выполняется равенство f (х) = f (–х). График четной функции симметричен относительно оси ординат.

     Функция у = f (х) называется нечетной для любого значения х, взятого из области определения функции, значение (–х) также принадлежит об-ласти определения, и выполняется равенство f (–х) = –f (х). График не-четной функции симметричен относительно начала координат.

     Рассмотрим  пример. Построить график .

     Решение. Мы используем данные, полученные для этой функции в других примерах.

     1. D (у) = (–¥; 0) È (0; +¥).

     2.

     Следовательно, функция нечетная. Ее график будет симметричен относительно начала координат.

     3. Исследуем функцию на монотонность  и экстремум:

х	(–¥; –1)	–1	(–1; 0)	0	(0; 1)	1	(1; +¥)
у'	+	0	–	–	–	0	+
у		–2		–		2

                               max                                                     min

     4. Исследуем функцию на выпуклость  и найдем точки перегиба.

х	(–¥; 0)	0	(0; +¥)
у''	–	–	+
у	выпукла вверх	–	выпукла вниз
		функция не определена

     Несмотря  на то, что функция поменяла характер выпуклости при переходе через точку  х = 0, но в ней нет перегиба, так как в этой точке функция не определена.

     5. Найдем асимптоты функции:

     а) х = 0 – вертикальная асимптота;

     б) у = х – наклонная асимптота.

     6. Точек пересечения с осями  координат у данной функции  нет, так как  , при любых х Î ú, а х = 0 Ï D(у).

     7. По полученным данным строим  график функции:

     

     Рис.1.9. График функции

     Рассмотрим  еще один пример. Построить график функции .

     Решение.

     1. D(у) = (–¥; –1) È (–1; 1) È (1; +¥).

     2.

     – функция нечетная. Следовательно, график функции будет симметричен относительно начала координат.

     3. Исследуем функцию на монотонность  и экстремум:

     

     3х² – х⁴ = 0, х² · (3 – х²) = 0, х₁ = 0, х₂ = , х₃ = .

х	(–¥; )		( ; 0)	–1	(–1; 0)	0	(0; 1)	1	(1; )		( ; +¥)
у'	–	0	+	–	+	0	+	–	+	0	–
у		2,6		–		0		–		–2,6

     4. Исследуем функцию на выпуклость  и точки перегиба:

     

     

     х = 0 – точка, подозрительная на перегиб. 
 
 
 

х	(–¥; –1)	–1	(–1; 0)	0	(0; 1)	1	(0; +¥)
у''	+	–	–	0	+	–	–
у	выпукла   вниз	–	выпукла   вверх	0	выпукла вниз	–	выпукла   вниз
			перегиб

     5. Найдем асимптоты функции:

     а) х = –1, х = 1 – вертикальные асимптоты.

     Действительно:

     

     

     б) у = kx + b.

      ,

     

     Þ у = –1х + 0 = – х – наклонная асимптота.

     6. Найдем точки пересечения с  осями координат:

     х = 0  Þ  у = 0  Þ  (0; 0) – точка пересечения с осями координат.

     7. Строим график:

     

     Рис.1.10. График функции

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

ГЛАВА 2. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ, ЗАДАННОЙ ПАРАМЕТРИЧЕСКИ 

     2.1. Параметрическое задание функции 

     Параметрическое представление функции представляет собой выражение функциональной зависимости между несколькими переменными посредством вспомогательных переменных – параметров. В случае двух переменных х и у зависимость между ними F (х, у) = 0 может быть геометрически истолкована как уравнение некоторой плоской кривой. Любую величину t, определяющую положение точки (х, у) на этой кривой (например, длину дуги, отсчитываемой со знаком «+» или «–» от некоторой точки кривой, принятой за начало отсчёта, или момент времени в некотором заданном движении точки, описывающей кривую), можно принять за параметр, в функции которого выразятся х и у:

     x = φ(t), у = ψ(t). (2.1)

     Последние функции и дадут параметрическое представление функциональной зависимости между х и у, уравнения (2.1) называют параметрическими уравнениями соответствующей кривой. Так, для случая зависимости имеем параметрическое представление , (0 ≤ t < 2π) (параметрическое представление уравнения окружности); для случая зависимости имеем параметр t ≠ 0) или также ( - π < t < π, t ≠ 0) (параметрические уравнения гиперболы). Если параметр t можно выбрать так, что функции (2.1) рациональны, то кривую называют уникурсальной; такой является, например, гипербола. Особенно важно параметрическое представление пространственных кривых, т. е. задание их уравнениями вида:

     

     Так, прямая в пространстве допускает  параметрическое представление Винтовая линия – параметрическое представление .

     Для случая трёх переменных х, у и z, связанных  зависимостью                      F (x, y, z) = 0 (одну из них, например, z, можно рассматривать как неявную функцию двух других), геометрическим образом служит поверхность. Для того чтобы определить положение точки на ней, нужны два параметра u и υ (например, широта и долгота на поверхности шара), так что параметрическое представление имеет вид: х = φ(u, υ), у = ψ (u, υ); z = χ (u, υ). Например, для зависимости имеем параметрическое представление

     

     Важнейшими  преимуществами параметрических представлений являются:

     1) то, что они дают возможность изучать неявные функции и в тех случаях, когда переход к их явному заданию без посредства параметров затруднителен;