Параметрически заданные функции и их графики

и после  тождественных преобразований получаем:

     При значениях t, близких , все линейные множители в выражении отрицательны, т.е. разность у_кр – у_кас отрицательна. Поэтому соответствующая дуга кривой расположена под первой касательной.

     Аналогично, опуская промежуточные выкладки, получаем окончательный результат для второй касательной:

     При значениях t, близких к имеем: ; поэтому вторая дуга кривой также располагается под своей касательной.

     4)  Направление возрастания параметра.  В силу отрицательности функция x(t) при t=t₁ убывает, и большим значениям t соответствуют меньшие значения абсцисс точек на первой дуге. Поскольку , то функция х(t) при t₁ = t₂ возрастает, и на второй дуге большим значениям t соответствуют точки с большими абсциссами.

     5)  Другие точки пересечения касательных  в двойной точке с кривой. Условие  у_кр = у_кас для первой касательной выражается уравнением . Следовательно, имеется еще одна точка пересечения первой касательной с кривой при . Ее координаты: . Аналогично находим, что вторая касательная пересекает кривую при в точке . Заметим, что обе эти точки лежат на биссектрисе первого и третье го координатных углов.

     8.  Точки перегиба.

     Необходимое условие точки перегиба после упрощений сводится к уравнению 4-й степени:

     Можно искать корни этого уравнения, используя, например, метод Феррари. Однако в нашем случае нет необходимости заниматься этой работой столь углубленно. Возвращаясь к записанному выше уравнению, имеем:

     Так как  обращается в нуль при , то имеет два экстремума — максимум при t = t₁ и минимум при t = t₂. Поскольку , то уравнение имеет единственный корень, и следовательно, функция имеет единственный экстремум. А так как при , и вместе с тем существует область отрицательных значений многочлена (например, ), то уравнение имеет два действительных корня, которые, как нетрудно проверить, принадлежат интервалам и (4,5). Определяемые этими значениями I две точки перегиба легко «угадываются» по остальным свойствам кривой.

     Таблица 2.1

     Исследование  графика параметрически заданной функции  γ

     Остается  начертить кривую (рис. 2.1), свойства которой обнаружены в ходе проведенного в пунктах 1-8 исследования и отражены в таблице.

     Рис.2.1. Исследование кривой

     Таким образом, нами было проведено исследование параметрически заданной функции γ: определили область существования, ее границы, нашли точки пересечения с осями координат, определили интервалы постоянства знака координат точек кривой, исследовали поведение кривой на границе области существования, нашли вертикальные и горизонтальные касательные к графику исследуемой функции, определили координаты особой точки, точки самопересечения, а также точек перегиба. На основании полученных данных нами был построен график функции γ, заданной параметрически. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     ЗАКЛЮЧЕНИЕ 

     В ходе исследования нами была проанализирована научная литература по изучаемой  проблеме, раскрыт смысл понятия «параметрически заданная функция», а также рассмотрены основные положения исследования функций и построения графиков. В результате практической работы по исследованию конкретной параметрически заданной функции был построен ее график.

     Исследование  функции предполагает ее всестороннее изучение таким образом, чтобы в итоге весь комплекс рассмотренных свойств можно было отразить на графике. В данном исследовании под графиком функции понимаем (плоскую) кривую, координаты точек которой (в некоторой системе координат) соответствуют значениям аргумента и функции: (х, у). График представляет собой геометрический образ функции.

     Параметрическое задание играет важную роль не только в математике, но и в приложениях. В частности, в теоретической механике, если материальная точка М (х, у) перемещается в плоскости хОу, то ее координаты часто рассматриваются как функции времени t: х = x(t), у = у(t). Эти функции называются уравнениями движения, их определение и исследование является важной задачей в механике.

     Параметрическое задание кривой (или функции) является, вообще говоря, менее удобным по сравнению с явным или неявным заданием, так как при этом приходится исследовать два уравнения, а не одно (у = f(х) в случае явного задания и F(x,у) = 0 в случае неявного задания). Важно отметить, что такое исследование необходимо проводить совместно – разрозненные результаты, относящиеся лишь к одному из уравнений системы, особой ценности не представляют.

     При параметрическом задании в правых частях содержится параметр t, остальные члены имеют четко выраженный геометрический смысл: (x₀; y₀) – координаты некоторой («начальной») точки М₀ прямой l, ( ) – координаты направляющего вектора в базисе . Этим способом тоже можно задать любую прямую плоскости. Возможность выбирать начальную точку и направляющий вектор разными способами приводит к семейству различных параметрических уравнений одной и той же прямой в данной системе координат. Однако эта неопределенность не должна восприниматься как недостаток такое разнообразие нередко облегчает решение задачи. Координаты х и у при параметрическом задании равноправны.

     Рассмотренный в выпускной квалификационной работе пример исследования параметрически заданной функции наглядно подтверждает взаимосвязь между кривыми и уравнениями. Относительная простота и ограниченность алгебраических средств, которые используются для раскрытия хорошо известной геометрической природы прямой, не сохранится при исследовании более сложных кривых. Верно и обратное: сложные уравнения, требующие более трудоемкого анализа, приводят к новым или менее знакомым геометрическим образам. Богатство геометрического содержания, естественно, предопределяет и «непростоту» соответствующих уравнений. В связи с этим необходимо выработать такую методику исследования уравнений , которая, с одной стороны, учитывала бы их специфику, а с другой – была бы эффективна при встрече с примерами достаточно общего вида.    
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     СПИСОК  ЛИТЕРАТУРЫ

1. Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа / Г. Н. Берман. - М.: Наука, 1985. - 281 с.
2. Бохан К.А. Курс математического анализа / К. А. Бохан. - М.: Просвещение, 1972. - 216 с.
3. Виленкин Н.Я. Задачник по курсу математического анализа / Н.Я. Виленкин. - М.: Просвещение, 1971. - 268 с.
4. Виленкин Н.Я. Математический анализ (дифференциальное исчисление) / Н.Я. Виленкин, А.Г.Мордкович. - М.: Просвещение, 1973. - 160 с.
5. Виленкин, Н. Я. Функции в природе и технике / Н. Я. Виленкин.- М.: Просвещение, 1985. - 95 с.
6. Виноградова А. И. Задания и упражнения по курсу математического анализа / А. И. Виноградова. - М.: МГУ, 1988. - 259 с.
7. Гельфанд, И. М. Функции и графики / И. М. Гельфанд, Э.З. Шноль.- М.: Наука, 1973. - 120 с.
8. Дронов А.М. Графики функций / А.М. Дронов. - М., 1972. - 213 с.
9. Елин М. В. Функции двух переменных, предел, непрерывность / М. В. Елин. - КГПУ, 1995. - 164 с.
10. Зеель, Э. О. Элементарные функции / Э. О. Зеель. - Архангельск: ПГУ, 2005. - 180 с.
11. Канин, Е. С. Начала в изучении функций /  Е.С. Канин // Первое сентября, серия Математика. - 2005. - №5. - С. 19-24.
12. Колмогоров, А. Н. Что такое график функции / А. Н. Колмогоров // Квант. - 1970. - №2. - С. 36-38.
13. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике: Учеб. пособие для втузов / В.П. Минорский. – М., 2003. - 336 с.
14. Павлюченко Ю.В. Графики функций: параметрическое задание: Учеб. пособие / Ю.В. Павлюченко, В.В. Рыжков. - М.: Изд-во РУДН 1997. - 16 с.
15. Райхмист, Р. Б. Графики функций / Р. Б. Райхмист. - М.: Высшая школа, 1991. - 153 с.
16. Сивашинский И.Х. Элементарные функции графики / И.Х. Сивашинский. - М., 1965. - 138 с.
17. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.1 / Г.М. Фихтенгольц. - М.: ФИЗМАТЛИТ. 2001. - 680 с.
18. Шилов, Г. Е. Как строить графики / Г. Е. Шилов.- М. Наука, 1979. - 98 с.
19. Шипачев В. С. Сборник задач по высшей математике / В. С. Шипачев. - М.: Высшая школа, 1993. - 163 с.
20. Шоластер, Н. Н. О построении графиков сложных функций /                   Н. Н. Шоластер// Математика в школе. - 2000. - №5. - С. 23-25.