Показникова функція, її графік і властивості

 

• Робота, яку виконує газ при ізотермічному процесі

m – маса газу;

µ - молярна  маса газу;

R – універсальна газова стала;

Т  – температура  за Кельвіном;

V -  об’єм газу;

P – тиск газу.

• ємність циліндричного конденсатора:

L – висота циліндра;

R, r – радіуси внутрішнього та зовнішнього циліндра;

e – техн. характеристики конденсатора;

• Ємність дільниці одиничної довжини двох провідної лінії

r – радіус провідника

• Зв’язок між сталою розпадуl, середнім часом життя tі періодом піврозпаду Т

t – середній час життя;

Т – період піврозпаду;

• Рівень інтенсивності звуку

- умовно нульовий рівень

• Ентропія

S=klnW

К – стала Больцмана;

Ω - термодинамічна імовірність ;

S – ентропія;  

 

• Зміна ентропії при ізотермічному стисканні газу

R – універсальна газова стала

µ - молярна маса газу

m – маса газу;

V – об’єм газу

У техніці  часто застосовуються ножі, що обертаються. Сила, з якою вони тиснуть на матеріал, що розрізається, залежить від кута розрізання, тобто кута між лезом  ножа і напрямом швидкості обертання. Для того, щоб тиск був сталим, потрібно щоб залишався сталим кут  розрізання, а це буде у  тому випадку, коли леза ножів будуть окреслені  по дузі логарифмічної спіралі. Завдяки  цьому лезо ножа сточується рівномірно.

 

Якщо літак  буде летіти, дотримуючись весь час  одного курсу, тобто перетинаючи  всі меридіани під одним і  тим самим кутом, то його шлях зобразиться  на карті логарифмічною спіраллю.

У гідротехніці по логарифмічній спіралі вигинають  трубу, що підводить потік води до турбіни. Завдяки такій формі  труби втрати енергії при зміні  напряму течії в трубі виявляються  мінімальними і напір води використовується з максимальною продуктивністю.

 

Хімія

 

Розчини в  природі можуть мати різну реакцію  середовища: кислу, лужну, нейтральну,що характеризується різною концентрацією  йонів Гідрогену С( Н⁺).Для зручності датським біохіміком С.Сьоренсеном у 1909 році було введено термін «водневий показник» (рН), –це значно спростило роботу багатьом поколінням хіміків.

Водневий показник - це від'ємний  десятковий логарифм концентрації йонів Гідрогену

рН= - lg С( Н⁺)

Значення рН може змінюватись від 1 до 14

Наприклад, С( Н⁺)=10^-7,рН=7;

С( Н⁺)=10^-2 ,рН=2.

У нейтральному – рН=7.

У кислому середовищі рН<7, у лужному рН>7,

Показник рН в біологічних розчинах

Рідина	рН	Рідина	рН
Шлунковий сік	1,4	Сеча	6,0
Сік лимона	2,1	Слина,молоко	7,4-8
Сік яблук "Антонівка"	2,5	Слюзи	7,0
Томатний сік	4,1	Кров	7,4

З таблиці  видно, що різні розчини в людському  організмі мають різний рН, його відхилення від норми спричиняє захворювання і навіть загибель організму. Людям з підвищеною кислотністю шлункового соку рекомендується пити мінеральну воду з меншою концентрацією йонів Н⁺ (тобто з вищим рН),а зі зниженою кислотністю - "кислішу" воду(з нижчим рН).

Використовуючи  різні засоби особистої гігієни, креми для шкіри, ліки, необхідно  враховувати значення рН. Більшість рідких косметичних засобів має рН 5,5. Відповідний вміст у них катіонів Н⁺ оптимальний для нашої шкіри.

   

У сільському господарстві кислотність грунтового розчину є одним із головних чинників, що впливають на врожай. Так, картопля найкраще росте на слабокислих грунтах (рН≈5), а буряк на нейтральних (рН≈7).

 

БІОЛОГІЯ

 

Можна сказати, що спіраль є математичним символом співвідношення форми і зростання.

Великий німецький  поет Йоганн-Вольфганг Гете вважав її символом життя і духовного  розвитку.

Логарифмічна функція  виникає у зв'язку з найрізноманітнішими  природними формами. По логарифмічних  спіралях розташовуються квітки в суцвіттях соняшника, закручуються раковини молюска Nautilus, роги гірського барана і дзьоби папуг. Один з павуків, епейра, сплітаючи павутиння , закручує нитки навколо центра по логарифмічним спіралям.

       

 

Нічні метелики, які пролітають величезні  відстані, орієнтуючись по паралельним  промінням місяця, інстинктивно зберігають прямий кут між напрямом руху і  променем світла. Якщо вони орієнтуються на точкове джерело світла, інстинкт їх підводить, і метелики потрапляють  в полум’я по логарифмічної спіралі, що скручується.

 

 

МУЗИКА

 

Розкопуючи  одне з поселень кам’яного віку на території України, археологи  знайшли кілька кісток мамонта, призначення  яких було їм не зрозуміле. Лише уважний  аналіз показав, що на цих кістках  залишилися сліди ударів - це були залишки  шумового оркестру, під звуки якого  стародавні люди виконували магічні  танці. Пізніше помітили, що більш  приємні звуки можна отримати, зробивши барабан або просвердливши  шматок дерева, щоб вийшла сопілка. А звучання тятиви лука? Воно навело на думку про створення струнних інструментів.

Піфагор був  не тільки великим математиком, а  й хорошим музикантом. Він встановив, що приємні сполучення звуків відповідають певним співвідношенням між довжинами  струн, що коливаються, або відстаням  між дірочками сопілки. Саме він  створив першу математичну теорію музики, і хоча музиканти не дуже люблять перевіряти „алгеброю гармонію”, вони весь час мають справу з математикою, бо сучасна гама ґрунтується на логарифмах.

Будемо називати найнижчу октаву нульовою; а кількість  коливань ноти do цієї октави за 1 секунду приймаємо за 1.Тоді нота do першої октави буде робити в два рази більше коливань. Позначимо всі ноти хроматичної гами номерами р , приймаючи за нульовий перший тон кожної гами. Тоді тон sol буде 7-й, la -9-й, 12-й тон буде знову do, тільки октавою вище.

Тому кожен  наступний тон в  разів має більше коливань, ніж попередній.

Позначимо Npm – кількість коливань тону з номером р із m-ї октави.

Nmp=2

( ) =2 ·2 = 2 +

Про логарифмуємо обидві частини останньої нерівності:

log

Nmp= m+

Звідси видно, що номери клавіш рояля являють собою  логарифми кількості коливань відповідних  звуків. Номер октави – характеристика ( тобто ціла частина) логарифма, а  номер звука в даній октаві - його мантиса ( тобто дробова частина).

 

 

 

Література

 

1. Энциклопедический словарь юного математика/Сост. А.П.Савин. – М. : Педагогика, 1989.
2. Математична хрестоматія. Алгебра і початки аналізу. За ред. М.І.Кованцова. – К.: Радянська школа, 1977.
3. Виленкин Н.Я. Функции в природе и технике. – М.: Просвещениу, 1978.
4. Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике. – М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1962.