Системы уравнений в школе

На закрепление  решаются системы уравнений, содержащие линейное уравнение.

На  втором и третьем уроках учитель показывает решение более сложных систем:

 

Далее на этих уроках закрепляются и углубляются  полученные знания при решении более  сложных систем.

Первый  из трех уроков по теме «Различные способы  решения систем уравнений» можно  начать с проверки знаний по предыдущему  материалу.

Цель  этого урока: рассмотреть примеры  нахождения действительных решений  систем уравнений, в которых одно из уравнений рациональное. Рассмотрев в учебнике решение задачи:

P решить систему уравнений:

продолжить  решение подобных систем на доске.

На следующих  двух уроках продолжаем развивать умения решать системы уравнений, содержащие уравнения более высоких степеней, а также системы уравнений  с корнями, системы трех уравнений  с тремя неизвестными, системы  уравнений с параметрами. В ходе решения данных систем учащиеся знакомятся с новым для них способом –  способом введения новой переменной.

На тему «Решение задач с помощью систем уравнений» отводится 3 часа.

Учащиеся  из 8 класса умеют уже решать задачи на составление систем уравнений, поэтому  целью этих уроков является закрепление  данного навыка.

Кроме того, на этих уроках продолжается отработка  навыков решения различных систем уравнений, в том числе и при  устных работах, например:

P Сколько решений может иметь система вида:

P Решить систему уравнений:

,  ,    

,  

На третьем  уроке проводится самостоятельная  работа с целью проверки знаний по данной теме.

Особое  значение для систематизации знаний по теме «Системы уравнений» имеют  уроки итогового повторения в  конце 9 класса. В сборнике заданий  для проведения письменного экзамена по алгебре за курс основной школы  авторов Кузнецова Л.В., Бунимовича Е.А. и др. как в первой части, требующей  базового уровня знаний, так и во второй части, дается  значительное количество примеров на системы линейных и нелинейных уравнений. Тем более, что решение систем уравнений  является одной из трудных для  усвоения учащимися.

В 10 классе в учебнике тех же авторов в  главе «Показательная функция» 3 часа отводится на тему «Системы показательных  уравнений и неравенств». Цель этих уроков: научить решать системы показательных  уравнений и неравенств. Перед  изучением нового материала необходимо повторить способы подстановки, сложения, графический и введения новой переменной, которые будут  применяться в новой теме. Учитель  показывает ряд примеров на решение  систем показательных уравнений  различными способами, в том числе  обращает внимание учащихся на новый  способ: умножение (деление) уравнений  данной системы. Отработку навыков  решения систем можно проводить  через работу в группах.

Несмотря  на то, что при изучении тем «Логарифмическая функция» и «Тригонометрические  уравнения» отдельными параграфами  не выделено решение систем, содержащих логарифмические и тригонометрические уравнения, в текстах учебника приведены примеры решения систем, содержащих данные уравнения. В связи с тем, что в учебнике авторов Ш.А. Алимова, Ю.М. Колягина, Ю.В. Сидорова и др. очень маленький набор задач, а данная тема важна для сдачи учащимися ЕГЭ, необходимо усилить набор задач из других источников.

Структура изучение темы «Системы уравнений» по учебникам других авторов незначительно  отличается от структуры, рассмотренной  в учебнике Ш.А. Алимова и др.

Так, в  учебнике под редакцией Г.В. Дорофеева  изучение данной темы начинается только в 8 классе. На тему отводится 19 часов, основная цель которой – познакомить учащихся со способами решения систем уравнений, научить решать их и использовать составление систем при решении  текстовых задач. Основное содержание главы связано с рассмотрением  линейного уравнения и решением систем линейных уравнений. Значительное место в главе отводится обучению аналитическим приемам решения  систем линейных уравнений. В то же время в главе приводятся примеры  и нелинейных уравнений, рассматриваются  их графики, решаются системы, в которых  одно уравнение не является линейным. Продолжается решение текстовых  задач алгебраическим методом, но теперь их математической моделью оказывается  система уравнений. Идейное продвижение  здесь состоит не только в использовании  алгебраического аппарата, но также  и в том, что в явном виде формируется следующая мысль: при  переводе текстовой задачи на математический язык удобно вводить столько переменных, сколько неизвестных содержится в условии. Задания группы Б вводят учащихся в круг некоторых новых  идей. Прежде всего,  это решение  систем, содержащих три уравнения  с тремя переменными, а также  решение систем методом замены переменных. Кроме того, в классах с хорошей  математической подготовкой рассматривается  тема: «Задачи на  координатной плоскости», что подготавливает учащихся к восприятию данного материала в учебнике 9 класса.

В 9 классе в главе «Уравнения и системы» (25 часов) акцент делается на системы, в  которых одно уравнение первой, а  другое – второй степени. Рассматриваются  также примеры систем, в которых  оба уравнения второй степени. Значительная роль отводится графическому методу, который, в частности, используется для выяснения вопроса о числе  решений системы уравнений. Решаются текстовые задачи алгебраическим методом.

Структура темы «Системы уравнений» в учебнике авторов А.Г. Мордкович и С.М. Никольский и др. практически не отличается от структуры данной темы у автора Ш.А.Алимова и др. Она также  распределяется между курсами 7 и 9 классов  у первого автора, между курсами 7 и 8 классов у второго автора.

Особое  значение при работе по учебникам  любых авторов имеет итоговое повторение материала по курсу 10-11 классов.

Эти уроки  имеют своей целью не только восстановление в памяти учащихся основного учебного материала, но и обобщение, уточнение  и систематизацию их знаний по алгебре  и началам анализа за курс средней  школы. На уроках итогового повторения происходит расширение и углубление знаний.

Итоговые  уроки по данной теме необходимо начать с повторения теоретического материала: решение системы уравнений, что  значит решить систему, равносильные системы  уравнений, способы решения линейных и нелинейных систем, зависимость  количества решений системы линейных уравнений от соотношения между  коэффициентами этих уравнений. Далее  приступить к отработке решения  различных систем базового, продвинутого и высокого уровня. Учителю необходимо обратить внимание учащихся на то, что  при решении систем при сдаче  ЕГЭ можно использовать не только стандартные методы (подстановки, алгебраического  сложения, введения новой переменной и графического), но и нестандартные.

 

II. МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ РЕШЕНИЮ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ.

 

1). Основные определения.

 

При изучении темы у учащихся должны быть сформированы определенные понятия:

системы двух уравнений с двумя неизвестными, решения данной системы, что значит решить систему уравнений (7 класс);

системы двух уравнений, содержащих уравнение  второй степени(8 класс);

системы нелинейных уравнений (9 класс)

системы неалгебраических уравнений(10 класс).

При изучении как уравнений, так и систем уравнений  особое внимание уделяется понятию  равносильность. На обобщении занятий  по теме решение систем уравнений  обязательно должны систематизироваться  знания о равносильности.

P Понятие равносильности уравнений.

Определение 1: Уравнения, имеющие одно и то же множество корней, называются равносильными.

Например, уравнения 4х – 3 = 2х + 3 и 2х = 6 равносильны, так как каждое из них имеет  только один корень х = 3. Уравнения (х  – 2)(х + 5) = 0 и

 х² + 3х – 10 = 0 также равносильны, так как имеют одни и те же корни х₁ = 2, х₂ = -5.

Уравнения 2х = 4 и 3х² = 14 не равносильны, так как первое уравнение имеет корень х = 2, а второе – корни х₁ = 2 и х₂ = -2.

Из определения  равносильности уравнений следует, что два уравнения равносильны, если каждый корень первого уравнения  является корнем второго уравнения  и, наоборот, каждый корень второго  уравнения является корнем первого  уравнения.

Уравнения, не имеющие корней, также считают  равносильными.

 

Теоремы:

1) Уравнения  f (х) = g (х) и f (х) - g (х) = 0 равносильны.

2) Уравнения  f (х) = g (х) и f (х) +а = g (х) +а равносильны для любого числа а.

3) Уравнения  f (х) = g (х) и аf (х) = аg (х) равносильны для любого числа

а ≠ 0.

4) Уравнения  f (х) = g (х) и а ^{f (х)} = а ^{g (х)} равносильны для любого фиксированного положительного и не равного единице числа а.

5) Уравнения  f (х) = g (х) и f (х) = q(х) равносильны, если для любого действительного числа х₀ справедливо равенство g (х₀) = q(х₀).

 

Определение 2: Две функции у = f (х) и у = g (х) называются тождественно равными, если для любого действительного числа х₀ значения функций

у = f (х) и у = g (х) равны, то есть f (х₀) = g (х₀).

При преобразованиях 1-5 исходное уравнение заменяется на равносильное ему уравнение. Однако не при любом преобразовании уравнение  заменяется на равносильное.

Например, при возведении в квадрат обеих  частей уравнения  получается уравнение х = (х – 2)², не равносильное исходному: первое уравнение имеет только один корень х = 4, а второе – два корня х₁ = 4 и х₂ = 1. В этом случае второе уравнение называют следствием первого уравнения.

Если  при переходе от одного уравнения  к другому потери корней не происходит, то второе уравнение называют следствием первого уравнения.

 

Определение 3: Если все корни первого уравнения являются корнями второго уравнения, то второе уравнение называется следствием первого уравнения.

Рассмотрим  некоторые примеры.

Уравнение (х – 1)² = (2х + 1)² является следствием уравнения

х – 1 = 2х + 1, поскольку единственный корень второго  уравнения х = -2, является корнем первого  уравнения.

Уравнение х² + 2х = 6 + 3х является следствием уравнения log₂ (х² + 2х) = log₂ (6 + 3х), так как любой корень второго уравнения удовлетворяет первому уравнению.

Из этого  определения и определения равносильности уравнений следует, что:

Если  два уравнения равносильны, то каждое из них является следствием другого;

Если  каждое из двух уравнений является следствием другого, то эти уравнения  равносильны.

Теоремы:

1) Пусть  n – натуральное число, тогда уравнение fⁿ (х) = gⁿ(х) есть следствие уравнения f(х) = g(х).

2) Если  а > 0 и а ≠ 1, то уравнение  f(х) = g(х) есть следствие уравнения log _n f (х) = log _n g (х).

3) Уравнение  f (х) = g (х) q(х)   есть следствие уравнения f (х)/ g (х) = q(х).

4) Уравнение  f (х) = g (х) есть следствие уравнения f (х) = g (х)  + q(х) +(- q(х)).

 

Если  при решении уравнений применялись  теоремы 1 – 4, то в конце решения  необходима проверка: является ли корень уравнения – следствия корнем исходного  уравнения, так как  могли появиться посторонние  корни.

 

P Понятие системы уравнений и равносильности систем.

Определение 4: Системой уравнений называют совокупность нескольких уравнений с несколькими неизвестными.

Определение 5: Решением  системы уравнений называется совокупность значений этих неизвестных, обращающих каждое уравнение системы в тождество.

Определение 6: Две системы уравнений называются равносильными, если любое решение первой системы является решением второй системы и любое решение второй системы является решением первой системы.

Системы будут также являться равносильными, если каждая из них не имеет решений.

Теорема 1. Если изменить порядок уравнений системы, то полученная система равносильна исходной системе.

Теорема 2. Если одно из уравнений системы заменить другим, равносильным ему уравнением, то полученная система будет равносильна исходной.

 

Так, например, система

 равносильна системе 

 

Теорема 3. Если первое уравнение системы заменить уравнением, равным  сумме первого уравнения, умноженного на некоторое отличное от нуля число , и второго уравнения умноженного на некоторое число , то полученная система уравнений равносильна данной.

Так, системы   и  равносильны.

Теорема 4. Пусть в системе уравнений одно из уравнений записано в виде, где в левой части стоит одно из неизвестных, например в первой степени, а в правой части — многочлен относительно . Тогда говорят, что неизвестное выражено через неизвестное . Если неизвестное выражено из первого уравнения системы, то подставив во второе уравнение системы вместо этот многочлен от получим систему, равносильную данной системе.

Теорема 5. Если первое уравнение системы равносильно совокупности алгебраических уравнений, то система  равносильна совокупности систем уравнений.

 

При решении  систем уравнений в любом классе любым способом необходимо учить  учащихся отслеживать равносильность при переходе к следующей системе, так как одной из распространенных ошибок является неумение определить необходимость нахождения области  допустимых значений или проверки, что в последствии приводит к  записи постороннего корня.

 

2. Алгебраические системы уравнений.

 

2.1. Системы уравнений первой степени.

 

Системой  двух уравнений первой степени называется система вида

 

где   

Основными методами решения таких систем являются метод подстановки, метод линейного  преобразования и графический метод.

 

P Метод подстановки

Рассмотрим  решение систем уравнений методом  подстановки.

Правило применения способа подстановки:

из одного уравнения системы выразить одно неизвестное через другое;