Системы уравнений в школе

полученное  выражение подставить в другое уравнение  системы, получится одно уравнение  с одним неизвестным;

решив это  уравнение, найти значение неизвестного;

подставив найденное значение в первое уравнение, найти значение другого неизвестного

Рассмотрим  примеры на применение этого метода.

 

Пример 1.

Решить  систему уравнений 

Решение: Неизвестное х уже выражено через у в первом уравнении. Подставив во второе уравнение 2 + у вместо х, получим 3(2 + у) – 2у = 9. Решим это уравнение: 6 + 3у – 2у = 9, у = 3

Подставляя  у = 3 в равенство х = 2 + у, находим  х = 5

Ответ: (5;3)

 

Пример 2.

Решить  систему уравнений:

Решение: Из первого уравнения находим –2у = 16 – 3х, у = –8 + 1,5х. Подставляя это значение у во второе уравнение системы, получим уравнение:

5х + 3(-8 + 1,5) = -5. Решая его, найдем х  = 2. Подставляя значение х = 2 в  равенство у = -8 + 1,5х, находим  у  = -5 .

Ответ: (2; -5).

 

Пример 3.

Решить  систему уравнений 

Решение:  Упростим уравнения системы:

          (3)

Из первого  уравнения системы (3) х = 12 – 2у. Подставив  его во второе уравнение системы (3) и решив его, получим у = 6. Откуда х = 0.

Ответ: (0;6).

 

Пример 4.

Длина прямоугольника на 5 см больше его ширины, а периметр прямоугольника равен 22см. Найти длину  и ширину прямоугольника.

Данную  задачу можно решить двумя способами: с помощью одной переменной и  с помощью введения двух переменных.

Рассмотрим  решение задачи вторым способом.

Схема решения задачи с помощью  системы уравнений:

вводим  обозначения неизвестных и составляем систему уравнений;

решаем  систему уравнений;

возвращаясь к условию задачи и использованным обозначениям, записываем ответ.

Решение:

Пусть длина  прямоугольника х см, а ширина у  см. Так как длина на 5 см больше ширины, составим первое уравнение: х  – у = 5.

Так как  периметр прямоугольника 22см, составим второе уравнение:

2(х + у) = 22.

Зная, что  эти условия выполняются одновременно, составим и решим систему уравнений:

Решим систему  методом подстановки. Из первого  уравнения выразим 

х = у + 5. Подставим  это значение во второе уравнение, найдем у = 3.Откуда х = 8.

Длина прямоугольника равна 8 см, ширина – 3 см.

Ответ: 8см и 3см.

 

Пример 5.

После деления  некоторого двузначного числа на сумму его цифр в частном получается 7 и в остатке 6. После деления  этого же двузначного числа на произведение его цифр в частном  получается 3 и в остатке 11. Найти  это двузначное число.

Решение: Обозначим через х и у соответственно число десятков и число единиц искомого двузначного числа. Тогда для нахождения х и у из условия задачи имеем следующую систему уравнений:

        (5)

Из первого  уравнения этой системы находим, что х = 2у + 2. Подставив 2у + 2 вместо х во второе уравнение системы (5), получим уравнение

,

которое имеет корня  . Итак, система (5) имеет два решения: . Так как у есть значение числа единиц двузначного числа, то остается единственная возможность . Проверкой убеждаемся, что двузначное число 83 удовлетворяет условию задачи.

Ответ: 83

 

P Метод линейного преобразования

При решении  систем линейных уравнений применяется  также метод линейного преобразования.

Правило применения способа алгебраического  сложения:

уравнять  модули коэффициентов при одном  из неизвестных;

складывая или вычитая полученные уравнения, найти одно неизвестное;

подставляя  найденное значение в одно из уравнений  исходной системы, найти второе неизвестное.

Рассмотрим  решение системы уравнений этим методом.

 

Пример1.

Решить  систему уравнений:

Решение: Складывая два уравнения, получим 5х = 20, откуда х = 4.

Подставляя  х = 4 в первое уравнение, найдем у = 3.

Ответ: (4;3).

 

Пример 2.

Решить  систему уравнений:

Решение: Раскрывая скобки, преобразуем систему к виду

Из первого  уравнения, умноженного на 3, вычтем второе уравнение, домноженное на 5. Получим у = 2. из первого уравнения  найдем х = 1.

Ответ: (1;2).

 

Пример 3.

Моторная  лодка прошла путь по течению реки 12 км и обратно за 2,5 часа. В другой раз та же лодка за 1ч 20мин прошла по течению реки 4 км, а против течения  реки 8 км. Найти скорость моторной лодки  в стоячей воде и скорость течения  реки.

Решение: Пусть собственная скорость лодки х км/ч, а скорость течения реки у км/ч, тогда скорость лодки по течению реки (х + у) км/ч, а скорость лодки против течения (х – у) км/ч. По условию задачи составим систему:

         (7)

Вычтем  из первого уравнения второе, умноженное на 3. Получим 

, х – у = 8         (8)

Вычтем  из первого уравнения первоначальной системы(7) второе уравнение, умноженное на 3.

Получим , х = у = 12       (9)

Уравнения (8) и (9) образуют систему:

Ещё раз  применяя метод сложения, получаем х = 10, у = 2.

Ответ: 10 и 2 км/ч.

 

Пример 4.

Решить  систему уравнений:

Решение: Запишем систему в виде:

Вычитая из первого уравнения второе, получим: |у – 5| + у = 6

Рассмотрим  случаи:

1случай. Если у – 5 ≥ 0, значит у  ≥ 5

Тогда  уравнение примет вид  у – 5 + у = 6, откуда

2у = 11, у = 5,5. Следовательно, решая уравнение  

| х –  1| = 0,5 , находим, что х₁ = 1,5 или х₂ = 0,5.

2случай. Если у – 5 < 0, у <5, то 5 –  у + у = 6, откуда 0у = 1 и решений  нет.

Ответ: (1,5; 5,5); (0,5;5,5).

 

 

P Графический метод

При решении  систем линейных уравнений применяется  также графический 

метод.

Правило решения графическим способом:

построить графики каждого из уравнений  системы;

найти координаты точки пересечения построенных  прямых (если они пересекаются);

Рассмотрим  решение линейных систем таким способом.

 

Пример 1.

Решить  графически систему уравнений 

Решение:

Из первого  уравнения 2х – у = 1 находим у = 2х – 1; из уравнения 4х + 3у = 12 находим  у = -4/3х + 4. Построим в одной системе  координат эти прямые.

Они пересекутся  в точке (1,5; 2).Значит, система имеет  единственное решение.

Ответ: (1,5; 2).

 

При решении  системы двух линейных уравнений  первой степени возможны три ситуации:

система имеет единственное решение (графики  пересекаются в одной точке);

система имеет бесконечно много решений (прямые совпадают);

система решений не имеет (прямые параллельны).

 

Пример 2.

Решить  графически систему уравнений:

Решение: Из второго уравнения выразим и построим графики функций. Они пересекутся в двух точках.

Ответ: (3;2);(0;1).

 

 

Пример 3.

Показать  графически, что система не имеет  решений:

Решение: Выразим из второго уравнения у = 3х – 1,5. Построим графики функций у = 3х и у = 3х – 1,5.

 

Графики параллельны, поэтому система решений  не имеет.

Ответ: решений нет.

 

P Аналитический метод

Вопрос  о количестве решений системы  линейных уравнений  более удобно решать аналитическим методом.

 

Пример 4.

Определите  число решений системы:

а)  б)  в)

 

Решение:

а) Коэффициенты при х и у второго уравнения  системы не равны нулю и  , поэтому система имеет единственное решение.

б) Все  коэффициенты второго уравнения  не равны нулю и

, поэтому система имеет бесконечное  множество решений.

в) Все  коэффициенты второго уравнения  системы не равны нулю и  , поэтому система не имеет решений.

 

2.2. Нелинейные системы уравнений.

 

Основными методами решения систем нелинейных уравнений являются те же методы, которые  применялись при решении систем линейных уравнений. Это метод подстановки, метод линейного преобразования, графический метод. Но при решении  данных систем используется и новые  методы: метод введения новой переменной, метод деления (умножения) одного уравнения  на другое. Иногда  при решении  сложных систем применяются несколько  методов.

 

P Метод подстановки

Чаще  других при решении нелинейных систем учащиеся  применяют метод подстановки. Смысл данного метода был показан  при решении линейных систем уравнений. Покажем применение данного метода при решении нелинейных систем.

 

Пример 1.

Решить  систему уравнений:  

Решение: Выразим из первого уравнения х = 1 – у и подставим во второе. Получим (1 – у)² + у² = 25, у² – у – 12 = 0, откуда у₁ = 4,

у₂ = -3.Подставив эти значения в выражение х = 1 – у, получаем, что

 х₁ = -3, х₂ = 4.

Ответ: (-3;4);(4;-3).

 

Пример 2.

Решить  систему уравнений методом подстановки: .

Решение: Выразив из первого уравнения х = 4 + у и подставив его во второе уравнение после преобразований получим:у² + 4у – 5 = 0, тогда у₁ = -5, у₂ = 1, х₁ = -1,  х₂ = 5.

Ответ: (-5;1);(-1;5).

 

Пример 3.

Решить  систему уравнений:

Решение: Разложим левую часть второго уравнения на множители по формуле разность кубов.

Тогда второе уравнение примет вид: (х – у)(х² + ху + у²) = 126,

(х –  у)² + 3ху = 21, откуда получим систему уравнений:

Следовательно, система имеет два решения:  

Ответ: .

 

Пример 4.

Решить  систему уравнений:

Решение: Если (х ; у) – решение этой системы, то х ≠ 0 и у ≠ 0. Запишем первое уравнение системы так: (х + у)/ху = 1.Подставляя значение х + у = 4 в полученное уравнение, находим ху = 4. Решение данной системы свелось к решению системы

.

Решая её с помощью теоремы, обратной теореме  Виета, получаем х = 2, у = 2.

Ответ: (2;2).

 

Пример 5.

Решить  систему уравнений:

Решение: Выразим из второго уравнения х = 16 + у и подставим во второе. Имеем . Возведем в квадрат левую и правую часть. Получим , . Ещё раз возведем в квадрат обе части, выполним тождественные преобразования и получим у = 9, х = 25.

Ответ: (25;9).

 

Пример 6.

Двое  рабочих закончили порученную им работу за 12 ч. Если бы сначала один выполнил половину этой работы, а другой – остальную, то на выполнение всей работы понадобилось бы 25 часов. За какое  время каждый их них закончил бы эту работу, работая один?

Решение: Обозначим всю работу за 1. пусть первый рабочий закончит работу за х часов, а второй – за у часов. Тогда за один час первый рабочий выполнил работы, а второй – работы. Работая вместе, за один час они выполнят ( + ) работы, и по условию задачи закончили работу за 12 часов. Поэтому составим первое уравнение: .

Половину  работы первый рабочий выполнил бы за х/2 часов, а второй – за у/2 часов. Поскольку им понадобилось бы на выполнение 25 часов, составим второе уравнение: . Теперь составим и решим систему уравнений(ОДЗ: х > 0, у > 0):

. Решая эту систему методом  подстановки, получим  х = 30, у = 20.

Ответ: 30 и 20 часов.

 

Пример 7.

Решить  систему уравнений:

Решение: Данная система равносильна системе

или, после  тождественных преобразований, системе

          (1)

Первое  уравнение системы (1) имеет два  корня  и

Поэтому система (1), а значит, и исходная система  имеет два решения  , , , .

Ответ: .

 

Пример 8.

Решить  систему уравнений:

Решение: Данная система равносильна системе

         (2)

Заменяя во втором и третьем уравнениях на , получим систему

          (3)

равносильную  исходной. Из третьего уравнения системы (3) следует, что

            (4)

Подставляя  вместо во второе уравнение системы (3),

получим уравнение  , которое имеет единственное решение . Подставляя вместо в уравнение (4) и в первое уравнение системы (3), находим, что .

Ответ: .

Пример 9.

Решить  систему уравнений

Решение: Возведя обе части каждого из уравнений данной системы в квадрат, получим систему

         (6)

Все решения  исходной системы являются решениями  системы (6), но не обязательно все  решения системы (6) будут решениями  исходной системы, поэтому после  нахождения решений системы (6) из них  надо отобрать те, которые будут  решениями исходной системы.

Из первого  уравнения системы (6) получаем . Подставим вместо х во второе уравнение. Получим квадратное уравнение

корни которого . Значит, система (6) имеет два решения: . Непосредственная проверка показывает, что единственным решением исходной системы является пара чисел .

Ответ:

 

 

P Метод линейного преобразования

При решении  систем нелинейных уравнений применяется  также метод алгебраического  сложения, а при решении некоторых  систем одновременно и с методом  подстановки.

Покажем применение данного метода при решении  систем.

Пример 1.

Решить  систему уравнений:

Решение: Складывая уравнения системы, получаем 2ху = 20, ху = 10.

Вычитая из второго уравнения первое, имеем 2х – 2у = 6. Данная система равносильна  системе уравнений: . Решая её методом подстановки, получим х₁ = -2, у₁ = -5 и х₂ = 5, у₂ = 2.

Ответ: (-2;-5); (5;2).

 

Пример 2.

Решить  систему уравнений:

Решение: Прибавим к первому уравнению системы второе, умноженное на 2: , откуда , или . Решение исходной системы свелось к решению двух систем уравнений: и

Решая каждую из этих систем, используя теорему, обратную теореме Виета, находим  четыре решения: х₁ = 1, у₁ = 3; х₂ = 3, у₂ = 1; х₃ = -1,

у₃ = -3; х₄ = -3; у₄ = -1.

Ответ: (1;3);(3;1);(-1;-3);(-3;-1).