Системы уравнений в школе

 

Пример 3.

Решить  систему уравнений 

Решение: Заменяя первое уравнение системы разностью уравнения системы и второго уравнения, получим, что исходная система уравнений равносильна системе

       (13)

Первое  уравнение этой системы имеет  два корня: Подставляя 2 вместо во второе уравнение системы (13), получаем, что оно удовлетворяется при любом значении . Следовательно, система (13), а значит, и исходная система имеют решение вида (2, ), где — любое действительное число. Подставляя ( ) вместо во второе уравнение системы (13), получаем, что . Следовательно, исходная система имеет еще одно решение .

 

 

P Графический способ

Одним из способов решения систем нелинейных уравнений является графический  метод, но применяется очень редко  по причине невозможности построить  графики функций. Покажем применение данного метода на конкретных примерах.

 

Пример1.

Решить  графически систему уравнений:

Решение: Выразим из первого и второго уравнений у и построим графики функций: и .

Гипербола и прямая пересекутся в двух точках.

Ответ: (-1;-3);(3;1).

 

Пример 2.

Решить  графически систему уравнений:

Решение: Выразим из первого и второго уравнений у и построим графики функций: и

Парабола  и прямая пересекутся в двух точках.

Ответ: (0;3);(-3;6).

 

 

P Метод введения новой переменной

Одним из новых способов решения систем нелинейных уравнений является метод введения новой переменной. Обозначив какие  –то выражения новыми переменными, данная система сводится к более  простой.

Покажем применение этого метода.

 

Пример1.

Решить  систему уравнений методом введения новой переменной:

Решение: Обозначим , тогда . Второе уравнение системы теперь запишется так: .Откуда а₁ = , а₂ = .

При . Подставляя это выражение х в первое уравнение системы, получаем  , откуда у = 16, х = 25.

При а = аналогично находим, что х = 16, у = 25.

Ответ: (25;16); (16;25).

 

Пример 2.

Решить  систему уравнений:

Решение: Вводя неизвестные и находим:

,

Так что  исходная система уравнений может  быть переписана

           (18)

Заменяя второе уравнение получившейся системы  суммой его и удвоенного первого  уравнения, приходим к системе

         (19)

Система уравнений (18) имеет решения: . Таким образом, исходная система уравнений равносильна совокупности двух систем уравнений:

         (19)

Первая  из систем (19) имеет два решения: , а вторая система решений не имеет.

Ответ: .

 

 

P Метод почленного умножения

Ещё одним  новым методом при решении  систем нелинейных уравнений является метод почленного умножения (деления) уравнений. Покажем применение этого  метода.

 

Пример 1.

Решить  систему уравнений:

Решение: Поделим первое уравнение на второе. Тогда

. Исходная система равносильна  совокупности двух систем:

  и  .

Первая  система имеет два решения: х₁ = 2,у₁ = 1 и х₂ = -2,у₂ = -1. Вторая система решений не имеет.

Ответ: (2;1); (-2;-1).

 

 

 

 

 

3. Неалгебраические системы уравнений.

 

3.1. Системы, содержащие показательные уравнения.

 

При решении  таких систем используются те же методы, что и при решении алгебраических систем (подстановки, алгебраического  сложения, графический, введения новой  переменной, умножения (деления) уравнений  системы). Поэтому на уроках не только изучается новая тема, но и  повторяется  материал 7, 8, 9 классов.

 

 

P Метод подстановки

Рассмотрим  применение метода подстановки при  решении систем, содержащих показательные  уравнения

 

Пример 1.

Решить  систему уравнений:

Решение: Выразим из первого уравнения х = 1 – у и подставим во второе. Получим . Тогда = 2.

Ответ: (2;-1).

 

Пример 2.

Решить  систему уравнений:

Решение: Из первого уравнения выразим и подставим во второе уравнение.

Получим , откуда ; у₁ = 3,у₂ = -1. Найдем значения х:  х₁ = -7, х₂ = 1.

Ответ: (-7;3);(1;-1).

 

Пример 3.

Решить  систему уравнений:

Решение: Система показательных уравнений сводится к системе нелинейных уравнений: , решая которую методом подстановки, получим у₁ = 2, у₂ = 5, х₁ = 5,у₂ = 2.

Ответ: (5;2);(2;5).

 

Пример 4.

Решить  систему уравнений:

Решение: Выразим из второго уравнения у = 2 + х и подставим во второе. Тогда

Ответ: (-2;0).

 

 

P Метод алгебраического сложения

Иногда  системы показательных уравнений  удобно решать методом алгебраического  сложения. Покажем применение этого  метода при решении упражнений.

 

 

Пример 1.

Решить  систему уравнений:

Решение: Сложив почленно уравнения, получим 2 • 2^х = 8, 2^х = 4, 2^х = 2², откуда х = 2. Вычитая почленно уравнения, имеем: 2 • 2^у = 4, 2^у = 2, 2^у = 2¹, откуда у = 1.

Ответ: (2;1).

 

 

P Графический метод

Очень редко  в данных системах применяется графический  метод.

 

Пример 1.

Решить  графически систему уравнений:

Решение: Выразим в каждом из уравнений через . Получим следующую систему:

Построим  графики функций.

Функция у = 2^х-1 монотонно возрастает на множестве действительных чисел, функция у = 8 – 3х монотонно убывает на этом же множестве, значит, других точек пересечения графики не имеют.

Ответ: (2;2)

 

Пример 2.

Пусть (х₀;у₀) – решение системы . Найдите сумму х₀ +у₀.

Решение: Построим графики функций: и .

Графики пересеклись в единственной точке (3;4).

Ответ: 7.

 

P Способ замены переменных

Одним из способов решения систем показательных  уравнений является способ замены переменных. Этот способ сводит системы к более  простым.

 

Пример 1.

Решить  систему уравнений:

Решение: Обозначим . Тогда система примет вид:

. Выразив значения  из первого уравнения и подставив во второе, получим: , откуда (посторонний корень). Тогда

Ответ: (3;-2).

 

Пример 2.

Решить  систему уравнений:

Решение: Положив , получим систему уравнений

 имеющую четыре решения:

Последние две пары не удовлетворяют условию  > 0, > 0.

Отсюда  и

Из первой системы находим: х₁ = 0,5 ,у₁ = 0,25, из второй: х₂ = 0,25, у₂ = 0,5.

Ответ: (0,5;0,25);(0,25;0,5).

 

 

P Метод почленного умножения

В некоторых  системах показательных уравнений  удобно применять метод почленного умножения (деления). Покажем применение данного метода.

 

Пример 1.

Решите  систему уравнений:

Анализ  системы показывает, что не удается  выразить одну переменную через другую. Однако сравнение показателей степеней множителей, входящих в левую часть  обоих уравнений, наводит на мысль  о необходимости умножения левых  и правых частей уравнений для  получения степени с одним  основанием: , то есть .

Решение:

Ответ: (3;1).

 

 

P Нестандартные методы

На факультативах  полезно рассмотреть решение  систем, содержащих показательные уравнения, нестандартными методами.

 

Пример 1.

Решить  систему уравнений:

Решение: Рассмотрим два случая.

1) Пусть  у > 0,у ≠  1. Тогда из первого  уравнения следует, что 

5х² – 51х + 10 = 0, откуда х₁ = 10, х₂ = 0,2. Из второго уравнения находим у₁ = 1,5, у₂ = 75.

2) Пусть  у = 1. Тогда первое уравнение  выполняется при любом действительном  х. Из второго уравнения следует,  что х = 15.

Ответ: (10; 1,5); (0,2; 75); (15;1).

 

Пример 2.

Решить  систему уравнений:

Решение: Умножив обе части второго уравнения на , получим систему

Разделим  почленно второе уравнение на первое: или , откуда или . Остается решить систему уравнений  или .

Эту систему  решаем методом алгебраического  сложения. Получим  , то есть , то есть .

Ответ: .

 

Пример 3.

Решить  систему уравнений:

Решение: Прологарифмируем обе части уравнений по основанию 2. Получим:

Разделим  первое уравнение этой системы на второе уравнение  ,

. Имеем:  _. Решая его, получим у = 3. Из первого уравнения х = 4.

Ответ: (4;3).

 

Пример 4.

Решить  систему уравнений:

Решение: Полагая, что , прологарифмируем оба уравнения по основанию 2:

Из равенства  левых частей уравнения следует, что 

Подставив в первое уравнение, получим .

Ответ: (2;2).

 

 

3.2. Системы, содержащие  логарифмические уравнения:

 

Пример 1.     

Решите систему уравнений   

 

Решение:  Данная система равносильна системе 

 

  Û  

Выразив y из первого уравнения полученной системы, подставим полученное выражение во второе уравнение:  

x2+(x-1)2-13=0 Û  2x2-2x-12=0 Û

Учитывая условие x-3 ¹ 0, находим единственное возможное решение: x-2.

Из первого уравнения системы найдем y: y-2-1-3.

Ответ: (-2;-3).

 

Пример 2.

Показать  решение системы уравнений

Решение: область определения системы  .

Так как  , то 1 уравнение системы примет вид  .

Из 2 уравнения системы по определению  логарифма получим   или  .

Имеем систему уравнений 

Решая ее, получим решение исходной системы.

Ответ: (3; 6), (6; 3).

 

 

 

 

 

 

Список литературы:

 

1. А.Г. Мордкович Алгебра 7класс М. «Мнемозина» 2002.

2. А.Г. Мордкович Алгебра 8класс М. «Мнемозина» 2002

3. А.Г. Мордкович Алгебра 9класс М. «Мнемозина» 2002

4. Математика. Арифметика, алгебра, анализ данных. 7 класс. Под редакцией Дорофеева Г.В. «Дрофа» 2004

5. Математика. Алгебра, функции, анализ данных. 8класс. Под редакцией Дорофеева Г.В. «Дрофа» 2004

6. Математика. Алгебра, функции, анализ данных. 9 класс. Под редакцией Дорофеева Г.В. «Дрофа» 2004

7.М.К. Потапов, С.Н. Олехник, Ю.В. Нестеренко. Конкурсные задачи по математике.М. АО «Столетие» 1995

8. Ш.А.  Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.в. Сидоров,  Н.Е. Федорова, М.И. Шабунин.  Алгебра  7 класс. М. «Просвещение» 2002.

9. Ш.А.  Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.в. Сидоров,  Н.Е. Федорова, М.И. Шабунин.  Алгебра  8 класс. М. «Просвещение» 2000.

10. Ш.А.  Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.в. Сидоров,  Н.Е. Федорова, М.И. Шабунин. Алгебра  9 класс. М. «Просвещение» 2000.

11.  Ш.А.  Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.в. Сидоров,  Н.Е. Федорова, М.И. Шабунин. Алгебра  и начала анализа 10-11 класс.  М. «Просвещение» 2004.