Точные и приближенные методы вычисления определенных интегралов

МИНИСТЕРСТВО  ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН

Северо-Казахстанский государственный  университет

им. М.Козыбаева

 

Факультет Информационных Технологий

Кафедра «Математика»

 

 

Курсовая работа защищена с оценкой  «_____________» «___»____________ 2012  год зав. кафедрой_____________

 

 

 

 

 

КУРСОВАЯ работа

по математике

 

 

«ТОЧНЫЕ И ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ»

5В060200.DO.ИН(е)-10.

 

 

 

 

 

 

автор                    Шарипова Н.Е.                 ___________

                                                                ^{(фамилия, инициалы)                              (подпись, дата)}

 

РУКОВОДИТЕЛЬ   Дуткин М.А.                      ___________

                    ^{(фамилия, инициалы)                             (подпись, дата)}

 

 

 

 

 

 

Петропавловск, 2012

 

СОДЕРЖАНИЕ

 

 

ВВЕДЕНИЕ

 

Методы математики широко применяются при различных  исследованиях прикладного характера, особенно в технических науках. Сложные вычислительные задачи, возникающие при моделировании технических устройств и процессов можно разбить на ряд элементарных: вычисление интегралов, в том числе и неберущиеся, решение дифференциальных уравнений, определение экстремума функции и  так далее. Решая какую-либо задачу, исследователь часто оказывается в ситуации, когда определенную формулу применить довольно трудно и приходится прибегать к приближенным численным методам.

В данной работе рассматривается задача нахождения численного значения определённого интеграла и методы, которые позволяют приближённо вычислить интеграл при помощи конечного числа значений интегрируемой функции. Эти методы могут применяться там, где другие подходы к вычислению интегралов оказываются бессильными.

Вышесказанное обуславливает актуальность темы исследования.

Объект  исследования – определенный интеграл.

Предмет исследования – различные методы вычисления определённых интегралов, в том числе и с применением прикладных программ.

Целью работы является систематизация материала по данной теме и разработка шаблонов для вычисления определенных интегралов с помощью прикладных программ.

В достижении цели потребовалось решить следующие задачи:

1. рассмотреть понятие определённого интеграла;

2. изучить методы  его вычисления;

3. оценить погрешность приближенных методов;

4. продемонстрировать  приближенное вычисление определенных  интегралов с использованием прикладных программ MS Excel 2007 и Mathcad 14.

  Практическая значимость 

Описанные в работе точные приближенные методы вычисления определенных интегралов с помощью прикладных программ, что существенно упрощает и ускоряет процесс вычисления интегралов. Также курсовая работа может быть использована  в качестве учебно-методического пособия по теме «Численное интегрирование» при изучении дисциплины «Численные методы».

Структура работы: титульный лист, бланк задания на работу, аннотация, содержание, введение, основная часть, заключение, список использованных источников.

Основная часть  курсовой работы  состоит из двух глав. В первой главе рассматриваются основные формулы приближенных методов интегрирования, и оценивается погрешность этих методов, также приводятся примеры заданий с их применением. Во второй главе приведены примеры вычисления определенных интегралов с помощью сред Mathcad14 и  MS Office Excel 2007.

Объём работы – 41 страниц.

1 ТОЧНЫЕ И ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ. ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТЕЙ МЕТОДОВ

1. Понятие определённого интеграла

 

Пусть функция y=f(x) определена на отрезке [a,b], a<b, выполним следующие действия.

С помощью точек  разобьём отрезок [a,b] на n частичных отрезков (рисунок 1).

 

Рисунок 1. Геометрический смысл определённого интеграла

 

Далее на каждом частичном отрезке , i=1,2,…,n выберем произвольную точку и вычислим значение функций в ней, т.е. величину [1].

Умножив найденное значение функций на длину соответствующего частичного отрезка: , составим сумму S_n  всех таких произведений:

 

.             (1)

 

Сумма вида (1) называется интегральной суммой функции y=f(x) на отрезке [a,b]. Обозначим через длину наибольшего частичного отрезка. Для того что бы найти предел интегральной суммы (1), когда так, что :

 

.

 

Если при  этом интегральная сумма S_n имеет предел I, который не  зависит от способа разбиения отрезка [a,b] на частичные отрезки, ни от выбора точек в них, то I называется определённым интегралом от  функции y=f(x)  на отрезке [a,b] и обозначается  . Таким образом,

 

.

 

Далее сформулируем теорему существования определённого интеграла.

 

ТЕОРЕМА (Коши). Если функция y=f(x)  непрерывна на отрезке  [a,b] то определённый  интеграл существует [1].

Отметим, что  непрерывность функции является достаточным условием ее интегрируемости. Однако определённый интеграл может существовать и для некоторых разрывных функций, имеющей на нем конечное число точек разрыва [1].

 

1.2 Точные методы  вычисления определенных интегралов

 

1.2.1 Формула Ньютона-Лейбница.

Если  для  непрерывной на отрезке [a;b] функции y=f(x) может быть найдена её первообразная F(x), то простым и удобным методом вычисления определённого интеграла является  формула Ньютона-Лейбница: [2]

 

.                                  (2)

 

Пример применения формулы Ньютона-Лейбница:

 

1.2.2 Формула интегрирования по частям

 

   Если  функции u=u(x) и v=v(x)имеют непрерывные производные на отрезке [a,b], то имеет место формула

 

                                           (3)

 

Доказательство. На отрезке [a,b] имеет место равенство . Следовательно, функция uv есть первообразная для непрерывной функции . Тогда по  формуле Ньютона-Лейбница имеем:

 

.

 

Следовательно,

 

 

Формула (3) называется формулой интегрирования по частям для определённого интеграла.[2]

 

Пример:

 

Положим

 

 

Применяя формулу (3), получаем

 

 

1.2.3 Замена переменной в определенном интеграле

 

Пусть для вычисления интеграла  от непрерывной функции сделана подстановка  .

Если:

1) функция  и ее производная непрерывны при ;

2) множеством значений  функции  при является отрезок [a,b];

3) .[2]

 

.                                (4)

 

Пусть F(x) есть первообразная для f(x) на отрезке [a,b]. Тогда по  формуле Ньютона-Лейбница . Так как , то  является первообразной для функции , Поэтому по формуле Ньютона-Лейбница имеем:

 

 

Формула (4)  называется формулой замены переменной в определенном интеграле.

 

Пример.

Положим x=2sint, тогда. Если x=0, то t=0; если  x=2, то 

 

 

1.3 Приближенные методы вычисления определённых интегралов

 

Нахождение первообразной функции иногда весьма сложно, кроме того как известно не для всякой непрерывной функции ее первообразная выражается через элементарные функции. В этих случаях прибегают к приближенным формулам, с помощью которых определённый интеграл находится с любой степенью точности.

Рассмотрим несколько  формул приближенного вычисления определённого интеграла, основанные на геометрическом смысле определённого интеграла [1].

1.3.1 Метод прямоугольников

 

Как говорилось выше, вычисление интеграла  равносильно вычислению площади некоторой фигуры – криволинейной трапеции с параллельными «основаниями» x = a, x = b и «боковыми сторонами»             y= 0, y=f(x) (рисунок 1).

Разобьём интервал интегрирования на n равных частей, каждая длиной

 

 

.

 

 

Приближенное значение интеграла  получается в виде суммы площадей n прямоугольников, высота которых равна значению f(x) на левом краю каждого подинтервала (рисунок 2):

 

.

 

То есть формула  численного интегрирования имеет вид:

 

                                         (5)

 

и называется формулой «левых» прямоугольников.[3]

 

Рисунок 2. Геометрическая интерпретация метода «левых» прямоугольников.

 

Если в качестве приближенного значения площади  для каждого подинтервала принять площадь прямоугольника, высота которого равна значению f(x) на правом краю подинтервала (рисунок 3), то формула численного интегрирования имеет вид:

 

                                       (6)

 

и называется формулой «правых» прямоугольников.

 

Рисунок 3. Геометрическая интерпретация метода «правых» прямоугольников.

 

Существует  третья модификация метода прямоугольников  – метод «средних» прямоугольников. В этом случае в качестве приближенного  значения площади для каждого  подинтервала принимается площадь  прямоугольника, высота которого равна значению f(x) в средней точке подинтервала (рисунок 5).[3]

 

Рисунок 5. Геометрическая интерпретация метода «средних» прямоугольников.

 

Тогда формула  численного интегрирования имеет вид:

 

                                     (7)

 

 

Абсолютная погрешность приближенных равенств оценивается с помощью следующей формулы:

 

,                                     (8)

 

где М₂ – наибольшее значение на отрезке [a,b],

 

.

 

Метод прямоугольников – это наиболее простой и вместе с тем наиболее грубый метод приближенного интегрирования. Очевидно, что чем больше будет число n отрезков разбиения, тем более точный результат дадут формулы (4-6). Однако увеличение числа отрезков разбиения промежутка интегрирования не всегда возможно. Поэтому большой интерес представляют формулы, дающие более точные результаты при том же числе точек разбиения [3].

 

Пример 1.

Вычислить приближенное значение определенного интеграла 

 

 

методом левых и правых прямоугольников при n=10.

 

Решение

 

 

Точки разбиения  отрезка [1;2] .определяем как:

 

 

И так далее до i=10

 

Таблица 1

Вычисление  значений функций

для формул «левых» и «правых» прямоугольников

i	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
xi	1	1.1	1.2	1.3	1.4	1.5	1.6	1.7	1.8	1.9	10
f (xi)	-0,03	-0,01393	0,00016	0,01209	0,02168	0,02875	0,03312	0,03461	0,03304	0,02823	0,02

 

Подставляем в  формулу «левых» прямоугольников:

 

 

Подставляем в  формулу «правых» прямоугольников:

 

 

Вычислим точное значение определенного интеграла  по формуле Ньютона-Лейбница

 

Далее по формуле (8) определяем R_n – оценку погрешности метода  левых и правых прямоугольников.

Для этого найдем – наибольшее значение модуля первой производной подынтегральной функции у=f(x), на отрезке [1;2].

 

 

Вычисляем  значения производной на концах отрезка, и выбрать наибольшее:

 

 

Таким образом   

,

 

Пример 2. 

Вычислить определённый интеграл методом средних прямоугольников, разбив отрезок интегрирования на n=10

 

Решение.

 

Точки разбиения  отрезка [3;9] .определяются как