Точные и приближенные методы вычисления определенных интегралов

 

 

Для i=1 имеем

 

 

Находим соответствующие  значения функции

 

 

Для i=2 имеем

 

 

Находим соответствующие  значения функции

 

 

И так продолжаем до i=10

 

Таблица 2

Вычисление  значений функций 

для формул «средних» прямоугольников

i	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	4.25	4.75	5.25	5.75	6.25	6.75	7.25	7.75	8.25	8.75
	-1.616574	-2.254654	-2.367438	-1.680497	-0.129606	2.050513	4.326318	5.973808	6.279474	4.783042

 

Подставляем полченые значения в формулу прямоугольников

 

 

Значения исходного  определенного интеграла можно вычислить по формуле Ньютона- Лейбница:

 

 

Оценим погрешность  метода по формуле (8)

 

Для этого найдем - наибольшее значение модуля первой производной подынтегральной функции у=f(x), на отрезке [4;9].

 

 

Вычисляем  значения производной на концах отрезка, и  выбрать наибольшее:

 

 

Таким образом

,

 

 

1.3.2 Метод трапеций

 

В этом методе отрезок [a; b] так же разбивается на n равных частей. На каждом отрезке [x_i; x_i+1] кривая y = f(x) заменяется прямой, проходящей через две известные точки с координатами и , где и строится прямоугольная трапеция с высотой (рисунок 5) [4].

 

Рисунок 5. Геометрическая интерпретация метода трапеций.

 

Пусть – соответствующие им ординаты графика функции. Тогда расчетные формулы для этих значений примут вид:

 

.

 

Заменим кривую  y=f(x) ломаной линией, звенья которой соединяют концы ординат   и (i=0,1,2,…,n). Тогда площадь криволинейной трапеции приближенно равна сумме площадей обычных трапеции с основаниями , и высотой :

 

 

 

или

  .                        (9)

 

Формула (9) называется формулой трапецией.

 

Абсолютная  погрешность  R_n приближения, полученного по формуле  трапеций, оценивается с помощью формулы:

 

 ,                                     (10)

где

 

.

 

 Отметим, что для линейной функции y= kx+b формула (9) дает точный ответ [1].

 

Пример. С помощью формулы трапеций вычислить интеграл

 

,

 

при n=4 и оценить погрешность формулы

 

Решение.

Построим на отрезке   равномерную сетку с шагом

 

 

Точки разбиения  отрезка  определяем как

 

  

 

Заполним расчетную таблицу:

 

Таблица 3

Вычисление  значений функций для метода трапеций

i	0	1	2	3	4
xi	0,4	0,6	0,8	1	1,2
f (xi)	0,38378	0.31744	0,24882	0,18010	0,11324

 

Таким образом:

 

 

Значения исходного  определенного интеграла по формуле  Ньютона- Лейбница равно:

 

.

 

Оценим погрешность формуле (9)

 

Необходимо  найти   – наибольшее значение модуля первой производной подынтегральной функции у=f(x), на отрезке [0,4;1,2].

 

 

Вычисляем  значения производной на концах отрезка, и  выбрать наибольшее:

 

 

Таким образом

 

1.3.3 Метод Симпсона

 

Если заменить график функций  y=f(x) на каждом отрезке разбиения не отрезками прямых, как в методах трапеций и прямоугольников, а дугами  парабол, то получим более точную формулу приближенного вычисления интеграла    [10].

Предварительно  найдем площадь S криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком параболы  , сбоку - прямыми x=-h, x=h и снизу-отрезком [-h,h].

Пусть парабола проходит  через три точки M₁(-h;y₀), M₂(0;y₁), M₃(-h;y₂), где – ордината параболы  в точке x=-h; y₁=c – ордината параболы в точке x=0; – ордината параболы в точке x=h (рисунок 6) [4].

 

Рисунок 6. Геометрическая интерпретация метода Симпсона.

 

Площадь S равна:

 

                          

           (11)

 

Выразим эту  площадь через . Из равенства для ординат у_i  находим, что .

Подставляя значения с и а в равенство (11) и получаем:

 

     (12)

Получим теперь формулу парабол для вычисления интеграла .

Для этого отрезок  [a,b] разобьем на 2n равных частей длиной  точками . В точках деления вычисляем значения подынтегральной функции f(x): , где (рисунок 7).

 

Рисунок 7. Геометрическая интерпретация метода Симпсона в делении отрезка на 2n равных частей

 

Заменяем каждую пару соседних элементарных трапеций с основаниями, равными h, одной элементарной параболической трапецией с основаниями, равными 2h. На отрезке парабола проходит через три точки , , [4].

 

 Используя  формулу (12) находим

 

 

 

Анологично находим

 

.

 

Сложив полученные равенства, имеем:

 

 

Или

 

            (13)

 

Формула (13) называется формулой парабол (методом Симпсона), проходящей через три точки.

Абсолютная  погрешность вычисления по формуле (13) оценивается соотношением:

 

                                     (14)

где

 

 

.

 

 Отметим,  формула (14) дает точный значение интеграла во всех случаях, когда f(x)- многочлен, степень которого меньше или равна трем (тогда ). [1]

 

 

Пример.

 

 Вычислить приближенно определенный интеграл по формуле Симпсона с точностью до 0,0001. Разбиение начать с двух отрезков  2n=2

 

          Решение.

 

 

1.Рассмотрим два отрезка разбиения 2n=2

 

 

Заполним расчетную таблицу:

 

Таблица 4

Вычисление  значений функций на 2 отрезка 

для формулы  Симпсона

i	0	1	2
xi	-0,8	-0,4	0
f (xi)	0,611724	0,578338	0,577350

Таким образом:

2) Рассмотрим четыре отрезка разбиения 2n=4,

 Таблица5

Вычисление  значений функций на 2 отрезка

для формулы  Симпсона

i	0	1	2	3	4
xi	-0.8	-0.6	-0,4	-0,2	0
f (xi)	0.611724	0,584981	0,578338	0,577381	0,577350

 

Таким образом:

 

 

Оценим погрешность,

 

1.3.4 Метод Монте-Карло

 

Методы  Монте–Карло – это численные методы решения математических задач с помощью моделирования случайных величин. Этот метод позволяет успешно решать математические задачи, обусловленные вероятностными процессами. Рассмотрим вычисление определенного интеграла [11].   

При вычислении этого интеграла по формуле прямоугольников отрезок [a,b] разбиваем на N одинаковых интервалов, в серединах которых вычислялись значения подынтегральной функции. Вычисляя значения функции в случайных узлах, можно получить более точный результат:

 

                                      (15)     

 

Здесь , γ_i – случайное число, равномерно распределенное на отрезоке [1,0].

Точность оценки погрешности вычисления интеграла методом Монте-Карло зависит только от количества точек N (рисунок 8) [4].

 

Рисунок 8. Геометрическая интерпретация метода Монте-Карло

2 ПРИМЕНЕНИЕ ПРИКЛАДНЫХ ПРОГРАММ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ

2.1 Вычисление определенных интегралов в среде Mathcad14

 

 В настоящее  время появилось значительное  число различных математических программ, таких как Mathcad, с помощью которых, задавая входные данные и не вникая в сущность алгоритмов, можно решить значительное число задач [11].

Реализовать нахождение интеграла, используя формулы приближенных методов, при n=1000.

 

Вычисление  по формуле левых и правых прямоугольников.

 

Задаём подынтегральную  функцию, отрезок, на котором она  интегрируется, шаг интегрирования и функцию нахождения дифференциалов

n – го порядка для вычисления погрешностей (рисунок 9):

 

Рисунок 9. Входные данные для вычисления интеграла

 

Найдём значение интеграла заданной функции для  использования его в дальнейшем решении для сравнения (рисунок 10):

 

Рисунок 9. Значения интеграла заданной функции

 

Реализуем нахождение интеграла по формулам левых прямоугольников (рисунок 9). Составим функцию, с входными параметрами которой является: a,b – левая и правая границы интервала, n – количество разбиений (рисунок 11)

Рисунок 11. Функция, возвращающая значение интеграла, найденного по формуле «левых» прямоугольников

 

 и правых прямоугольников (рисунок 12):

 

Рисунок 12. Функция, возвращающая значение интеграла, найденного по формуле «правых» прямоугольников

 

 

Ответ выдаётся в виде матрицы, где первый элемент это значение интеграла, а второй – погрешность  вычислений. Погрешность показывает, что полученные значения интеграла  верны до шестого знака после запятой. Найдём теперь среднее значение интеграла, исходя из найденных по формулам левых и правых прямоугольников (рисунок 13) [15]:

 

Рисунок 13. Вычисление среднего значения интеграла

 

Функция, реализующая вычисление интеграла по формуле трапеций

представлена  на рисунке 14.

 

Рисунок 14. Функция, возвращающая значение интеграла, найденного по формуле трапеций

 

Вычисления  по этой формуле имеют точность до седьмого знака после запятой.

 

 

Вычисление по формуле  Симпсона (рисунок15):

 

Рисунок 15. Функция, возвращающая значение интеграла, найденного по формуле Симпсона

 

Вычисления  по формуле Симпсона верны до 13 – го знака после запятой.

 

Вычисление  по формуле  Монте-Карло

 

Метод Монте-Карло  основан на использовании случайных  чисел. Проведя n случайных испытаний, в которых вычисляется значение подынтегральной функции в произвольной точке отрезка интегрирования, и, найдя их среднее значение, получим приближённое значение интеграла.  С помощью функции rnd(X) генерируются случайные числа в интервале [0, X] (рисунок 16) [15].