Численное решение задачи Коши

Министерство  образования и науки Российской Федерации

 

ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ  УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра «Системы автоматизированного проектирования»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пояснительная записка

 

к курсовой работе по дисциплине

«Вычислительная математика»

 

на тему: "Численное решение задачи Коши".

 

 

 

Автор работы:   Аминева Н.

 

Специальность   «Математическое обеспечение и администрирование информационных систем»

 

 

 

 Группа  09ВА1

 

 Руководитель работы Гудков П.А.

 

 Работа  защищена  «__» ____ 2012 г.  Оценка   ______________

 

 

 

 

 

 

Пенза  2012 г.

Аннотация.

В настоящей пояснительной  записке приведено приближенное численное решение задачи Коши для  обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка, для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка, а также выяснено, какая из двух задач Коши для систем ОДУ 1 порядка с постоянными коэффициентами является жесткой. Решение осуществлено как с помощью встроенных функций пакета MATHCAD, так и с помощью пользовательских функций.

Пояснительная записка содержит 27 страниц, 15 графиков.

 

Оглавление.

Аннотация. 2

Оглавление. 3

1. Задача № 1 (1.4) 4

1.1. Постановка задачи. 4

1.2. Исходные данные. 4

1.3. Решение поставленной задачи. 4

2. Задача № 2 (2.2) 11

2.1. Постановка задачи. 11

2.2. Исходные данные. 11

2.3. Решение поставленной задачи. 12

3. Задача № 3 (6.2) 18

3.1. Постановка задачи. 18

3.2. Исходные данные. 18

3.3. Решение поставленной задачи. 19

Заключение. 26

Список  литературы. 27

 

1. Задача № 1 (1.4)

1. Постановка задачи.

Найти  приближенное решение  задачи Коши для обыкновенного дифференциального

уравнения (ОДУ) 1 порядка

            (1)

и  оценить погрешность решения  задачи.

Порядок решения задачи:

1. Задать исходные данные: функцию f правой части, начальное значение .

2. Используя функцию eyler (см. ПРИЛОЖЕНИЕ B), найти приближенное решение задачи Коши  с шагом h=0.1 по явному методу Эйлера.

3. Используя встроенную функцию rkfixed пакета MATHCAD,  найти приближенное решение задачи Коши  с шагом h=0.1 по методу Рунге-Кутты 4 порядка точности (см. ПРИЛОЖЕНИЕ B).

4. Найти решение задачи Коши  аналитически.

5. Построить таблицы значений  приближенных и точного решений.  На одном чертеже построить   графики приближенных и точного  решений.

6. Оценить погрешность приближенных  решений двумя способами:

a) по формуле ; здесь и - значения точного и приближенного решений в узлах сетки , i=1,..N;

b) по правилу Рунге (по правилу  двойного пересчета) (см. ПРИЛОЖЕНИЕ C).

7. Выяснить, при каком значении  шага h=h*  решение, полученное по методуЭйлера, будет иметь такую же погрешность (см. п. 6а), как решение, полученное с помощью метода Рунге-Кутты с шагом h=0.1.

УКАЗАНИЕ. В п. 7 рекомендуется провести серию вычислений решения по методу Эйлера, дробя шаг h пополам.

 

2. Исходные данные.

N	f(t,y)	t0	T	y0
1.4		0	1	1

 

3. Решение поставленной задачи.
1. Задача Коши: y’(t)= ,  t0=0, T=1,                                          y0=1.

Исходные данные:

 

 

 

 

Начальное значение:

 

Концы отрезка:

 

Шаг сетки:

 

 

Число узлов сетки:

 

 

 

2. Функция, реализующая явный метод Эйлера, возвращает вектор решения:

 

 

 

 

 

 

 

Входные параметры:

f - функция правой части; 

y0 - начальное значение;

t0 - начальная точка отрезка;

h - шаг сетки;

N - число узлов сетки.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Приближенное решение задачи Коши  с шагом h=0.1 по методу Рунге-Кутты 4 порядка точности с помощью встроенной функции rkfixed пакета MATHCAD.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Функция rkfixed возвращает матрицу, первый столбец которой содержит узлы сетки, а второй – приближенное решение в этих узлах.

4. Аналитическое решение задачи:

 ,

 

,

 

,

 

= ,

 

,

 

 

По методу вариации произвольной постоянной заменим постоянную С на функцию C(t) и решим неоднородное уравнение:

 

 

 

Подставляем в исходное уравнение:

= ,

 

 

,

 

 

Решение в MathCad:

 

 

 

 

 

 

 

 

5. Решения, полученные различными способами:

 

Метод Эйлера:

 

Метод Рунге-Кутты:

 

Точное решение:

 

 

Графики приближенных и  точного решений:

Рассчитаем погрешность полученных приближенных решений:

Погрешность метода Эйлера:

 

 

 

 

Вычисление  погрешности по правилу Рунге:

Вычисление приближенных решений с шагом h/2:

 

 

 

 

 

 

Вычисление погрешностей:   

 

 

 

 

Значение погрешностей:

 

 

7. Проведём серию вычислений решения по методу Эйлера, дробя шаг h пополам.

 

 

 

Первая итерация:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вторая итерация:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Третья итерация:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

И т.д.

Девятая итерация:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

При значении шага hd=h/1024=0.1/1024=0,0000977   решение, полученное по методу Эйлера, будет иметь примерно такую же погрешность, как и решение, полученное с помощью метода Рунге-Кутты с шагом h=0.1.

Погрешность решения  по методу Эйлера с шагом hd=0,0000977  : 

 

 

Погрешность решения  по методу Рунге-Кутты с шагом h=0.1  :

 

 

Вывод: явный метод Эйлера - это численный метод 1-го порядка точности. Метод Рунге-Кутты - это метод 4-го порядка точности. Это означает, что при одном и том же значении шага, метод Рунге-Кутты даёт более точное значение. Поэтому погрешности методов сильно (на несколько порядков) отличаются. В рассмотренном выше примере с помощью метода Рунге-Кутты было получено решение, которое совпадает с решением, полученным аналитическим путём.

 

2. Задача № 2 (2.2)
1. Постановка задачи.

Задача Коши для ОДУ  2 порядка 

                     , 

                                                  

описывает  движение груза массы  m, подвешенного к концу пружины. Здесь x(t) – смещение груза от положения равновесия, H – константа, характеризующая силу сопротивления среды, k –коэффициент упругости пружины,  f(t) – внешняя сила. Начальные условия: – смещение  груза в начальный момент  времени t=0, – скорость груза в  начальный момент времени.  Промоделировать движение груза  на временном отрезке [0,T]  при заданных в индивидуальном  варианте трех наборах (I, II, III) значений  параметров задачи. Для каждого набора  по найденной таблице (или графику) решения задачи определить максимальное и минимальное значения

функции x(t) и моменты времени, в которые эти значения достигаются.  Предложить свой вариант задания параметров, при которых характер колебаний груза существенно отличается от рассмотренного ранее.

         ПОРЯДОК   РЕШЕНИЯ  ЗАДАЧИ:

1. Заменить исходную задачу эквивалентной  задачей  Коши для системы ОДУ 1 порядка:

                                                    (2)

2. Для каждого варианта выбора  параметров решить задачу (2) с  помощью метода Рунге-Кутты 4 порядка  точности  с шагом  h=0.1.

3. Для каждого варианта выбора  параметров построить график  найденного решения. Сравнить  характер движения  груза и  дать интерпретацию полученного  движения.

4. Для каждого варианта выбора  параметров определить требуемые  в задаче характеристики.

УКАЗАНИЕ. В п. 2 использовать встроенную функцию rkfixed пакета MATHCAD (см. ПРИЛОЖЕНИЕ B).

 

2. Исходные данные.

N		H	k	m	f(t)	x0	v0	T
2.2	I II III	1 1 1	1 1 1	0.5 0.5 0.5	tsin(t) 0 tsin(t)	0 0 0	0 -10 -50	20 20 20

 

 

3. Решение поставленной задачи.

 

1 набор.

 

Исходные данные:

 

Шаг сетки:

 

 

Число узлов сетки: