Численное решение задачи Коши

 

 

 

 

Формирование вектора  правой части системы ОДУ  и  вектора начальных условий для  применения встроенной функции rkfixed:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

График решения:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Найдем максимальное и минимальное значения функции x(t):

 

 

 

Минимальное значение достигается  в момент времени 18.4.

 

 

Максимальное значение достигается  в момент времени 15.3.

 

Из графика видно, что  при данном наборе значений груз совершает незатухающие колебания.

 

2 набор.

 

Исходные данные:

Шаг сетки:

 

 

Число узлов сетки:

 

 

 

Формирование вектора  правой части системы ОДУ  и  вектора начальных условий для  применения встроенной функции rkfixed:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

График решения:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Минимальное значение функции достигается в момент времени 0.8.

 

 

Максимальное значение функции достигается в момент времени 3.9.

 

При данном наборе значений происходит затухание колебаний  – груз останавливается. 

3 набор.

 

Исходные данные:

Шаг сетки:

 

 

Число узлов сетки:

 

 

 

Формирование вектора правой части системы ОДУ и вектора начальных условий для применения встроенной функции rkfixed:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

График решения:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Минимальное значение функции  достигается в момент времени 0.8.

 

 

Максимальное значение  функции достигается в момент времени 3.9.

При данном наборе значений, как и в первом случае, груз совершает  незатухающие колебания.

 

Свой вариант  задания параметров:

Исходные данные:

Шаг сетки:

 

 

Число узлов сетки:

 

 

 

Формирование вектора  правой части системы ОДУ  и  вектора начальных условий для  применения встроенной функции rkfixed:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

График решения:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Минимальное значение функции x(t) достигается в момент времени 0.5.

Максимальное значение функции x(t) достигается в момент времени 0.1.

Набор параметров подобран таким образом, что затухающие колебания происходят подобно математическому маятнику - сопротивление среды останавливает со временем движение груза, происходящее по гармоническому закону.

Вывод: дифференциальные уравнения второго порядка - часто используемый способ описания движения. Численное решение этих дифференциальных уравнений порой единственный способ нахождения закона движения.

 

3. Задача № 3 (6.2)
1. Постановка задачи.

Даны две задачи Коши для систем ОДУ 1 порядка с постоянными коэффициентами на отрезке 

[0, 1]

                            ,

                            ,

где A и B – заданные матрицы,   -  заданные векторы. Выяснить, какая из задач является жесткой.

        ПОРЯДОК   РЕШЕНИЯ  ЗАДАЧИ:

1. Составить программу-функцию  нахождения решения системы ОДУ  1 порядка с постоянными коэффициентами  по явному методу Эйлера. Используя  составленную программу, решить  обе задачи с шагом h=0.01. Определить, для какой из задач явный метод неустойчив при данном шаге h.

2. Используя встроенную функцию eigenvals(M) (M – матрица) пакета MATHCAD  для нахождения собственных чисел матриц A и B,  найти коэффициенты жесткости обеих систем. Какая из задач является жесткой?

3. Для жесткой задачи теоретически  оценить шаг h*, при котором явный метод Эйлера будет устойчив (см. ПРИЛОЖЕНИЕ C).

4. Составить программу-функцию  нахождения решения системы ОДУ  1 порядка с постоянными коэффициентами  по неявному методу Эйлера. Используя составленную программу, найти решение жесткой задачи с шагом h=0.01. Построить графики компонент полученного решения.

5. Для жесткой задачи экспериментально  подобрать шаг h, при котором графики компонент решения, полученного по явному методу Эйлера, визуально совпадают с графиками компонент решения, полученного по неявному методу с шагом h=0.01. Сравнить найденное значение шага

с шагом h*. Объяснить различие поведения явного и неявного методов Эйлера при решении жесткой задачи.

УКАЗАНИЕ. В п. 4 для решения системы линейных уравнений удобно использовать встроенную функцию lsolve пакета MATHCAD.

 

2. Исходные данные.

N	A		B
6.2	-17.359        -0.573        5.366       -21.351	2 1	-64.712        -85.344   -128.964     -170.918	1 0

 

 

 

 

3. Решение поставленной задачи.

 

 

 

Начальные условия:

 

 

 

Концы отрезка:

 

Опишем функцию нахождения решения системы ОДУ 1 порядка c постоянными  коэффициентами по явному методу Эйлера.

 

 

 

 

 

 

 

 

Описанная программа-функция возвращает таблицу решений, первый столбец которой - это значения аргумента в узлах равномерной сетки, а остальные столбцы - соответствующие значения компонент приближенного решения. 
Шаг:

 

Зададим векторы правых частей систем уравнений:

 

 

 

 

 

 

 

 

Графики решений для  первой системы:

 

Графики решений для  второй системы:

Определим, для какой  из задач явный метод неустойчив при шаге h = 0.01. Найдем собственные числа матриц.

 

 

 

 

 

Максимальные и минимальные собственные числа матриц А и В:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Условие устойчивости выполняется  для матрицы А (usА > h), но не выполняется для матрицы В (usВ < h). Следовательно, явный метод Эйлера неустойчив для решения системы, описанной матрицей В.

Определим, какая из систем является жесткой:

 

 

 

Число жесткости системы gA мало (т. е. собственные числа матрицы А незначительно отличаются друг от друга), поэтому система не жесткая.

Число жесткости системы gB велико (т. е. собственные числа матрицы В значительно отличаются друг от друга), поэтому система жесткая.

Определим, при каком  шаге  явный метод Эйлера будет  устойчив при решении жесткой  системы:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Графики решений для первой и второй компоненты системы B:

 

Как видно из графиков решений, явный метод Эйлера устойчив с шагом hz = 0.0028 . Условие устойчивости usB>hz (8.496*10^-3 >0.0028) выполняется.

Найдем решение жесткой  задачи по неявному методу Эйлера.

Опишем функцию нахождения решения системы ОДУ 1 порядка c постоянными коэффициентами по неявному методу Эйлера.

В качестве параметров она  принимает матрицу М системы, вектор начальных условий V_o начало t_o , конец отрезка интегрирования T и число узлов равномерной сетки N:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для оценки результатов решения будем использовать встроенную функцию для решения жёстких систем stiffr. Для её применения необходима матрица Якоби:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Графики решений для  первой и второй компоненты системы: