Разработка моделей принятия управленческих решений

 

xi	17,4	18,7	19,5	20,6	21,3
t	1998	1999	2000	2001	2002

 

Решение:

1. Полиномиальный  метод.

Так как вид прогнозной функции линейный, то достаточно взять  два последних результата наблюдений. Составим систему уравнений:

Пусть t1=1,тогда t2=2

Решая эту систему уравнений с двумя неизвестными, получаем: a₀ = 19,9; a₁ = 0,7.

Подставим, найденные  a₀ и a₁ в исходную функцию и найдем прогноз для 2003 года. Для этого построим график функции:

- прогноз на 2003 год.

 

2. Метод наименьших квадратов.

Для удобства вычислений составим вспомогательную таблицу:

 

 

Составим систему уравнений  на основе данной таблицы:

Решая эту систему уравнений с двумя неизвестными, получаем:

a₀ = 16,59; a₁ = 0,97.

Таким образом, прогнозная функция  имеет следующий вид:

- прогноз на 2003 год.

Ответ: 1. полиномиальный метод: ; ;

                  2. метод наименьших квадратов: ; .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Транспортная  задача

 

   Транспортная задача одна из распространённых задач линейного программирования. Ее цель – разработка более рациональных путей и способов транспортирования товаров, устранение чрезмерно дальних, встречных, повторных перевозок. Все это сокращает время продвижения товаров, уменьшает затраты предприятий, фирм, связанные с осуществлением процессов снабжением сырьем, материалами, топливом, оборудованием и т. д.

 

   Транспортная задача является представителем класса задач линейного программирования и поэтому обладает всеми качествами линейных оптимизационных задач, но одновременно она имеет и ряд дополнительных полезных свойств, которые позволили разработать специальные методы ее решения.

Задача «Транспортная задача»

 

Фирма имеет три магазина розничной торговли, расположенные  в разных районах города (А, В, С). Поставки продукции в эти магазины осуществляются с четырёх складов (1, 2, 3, 4).

 

		Магазины
		А	В	С
№ склада		40	20	40
1	30	3	1	4
2	25	6	3	2
3	15	6	5	3
4	30	2	3	5

 

Найти оптимальное распределение  поставок, при котором суммарные  затраты на перевозку были бы минимальными.

 

Решение:

Математическая модель транспортной задачи: 
                                                       F = ∑∑cijxij,  
при условиях: 
∑xij = ai, i = 1,2,…, m,  
∑xij = bj, j = 1,2,…, n, где

 
m – количество складов;

n – количество магазинов;

m=4, i;

n=3, j;

xij – количество единиц продукции, перевозимое от i-склада к j-магазину.

 

Стоимость доставки единицы  груза из каждого пункта отправления  в соответствующие пункты назначения задана матрицей тарифов выше.

Проверим необходимое  и достаточное условие разрешимости задачи. 
∑a = 30 + 25 + 15 + 30 = 100 
∑b = 40 + 20 + 40 = 100 
Условие баланса соблюдается. Запасы равны потребностям. Следовательно, модель транспортной задачи является закрытой. 
Занесем исходные данные в распределительную таблицу.

 

 

		Магазины
		А	В	С
№ склада		40	20	40
1	30	3	1	4
2	25	6	3	2
3	15	6	5	3
4	30	2	3	5

 

 

 

1. Определим начальный план перевозок с помощью метода северо-западного угла, по которому транспортная матрица заполняется слева – направо, сверху – вниз.

 

Магазины
		А		В			С
		40		20			40
№ склада					v1=3			v2=0		v3=-2
1	30		u1=0		3 30			1		4
2	25		u2=3		6 10			3 15		2
3	15		u3=5		6			5 5		3 10
4	30		u4=7		2			3		5 30

 

В результате получен первый опорный план, который является допустимым, так как все грузы из баз  вывезены, потребность магазинов  удовлетворена, а план соответствует  системе ограничений транспортной задачи. 
2. Подсчитаем число занятых клеток таблицы, их 6, а должно быть

m + n - 1 = 6. Следовательно, опорный  план является невырожденным. 
Значение целевой функции для этого опорного плана равно: 
F(x) = 3*30 + 6*10 + 3*15 + 5*5 + 3*10 + 5*30 = 400 ден. ед. – общая сумма транспортных расходов.

Проверим оптимальность  опорного плана. Найдем предварительные  потенциалы ui, vi. по занятым клеткам таблицы, в которых ui + vi = cij, полагая, что u1 = 0.

u1 + v1 = 3; 0 + v1 = 3; v1 = 3 
u2 + v1 = 6; 3 + u2 = 6; u2 = 3 
u2 + v2 = 3; 3 + v2 = 3; v2 = 0 
u3 + v2 = 5; 0 + u3 = 5; u3 = 5 
u3 + v3 = 3; 5 + v3 = 3; v3 = -2 
u4 + v3 = 5; -2 + u4 = 5; u4 = 7

Опорный план не является оптимальным, так как существуют оценки свободных  клеток, для которых ui + vi > cij 
(3;1): 5 + 3 > 6; ∆31 = 5 + 3 - 6 = 2 
(4;1): 7 + 3 > 2; ∆41 = 7 + 3 - 2 = 8 
(4;2): 7 + 0 > 3; ∆42 = 7 + 0 - 3 = 4 
max(2,8,4) = 8 
Выбираем максимальную оценку свободной клетки (4;1): 2 
Для этого в перспективную клетку (4;1) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».

 

Магазины
		А		В			С
		40		20			40
№ склада					v1=3			v2=0		v3=-2
1	30		u1=0		3 30			1		4
2	25		u2=3		-      6 5			+     3 20		2
3	15		u3=5		6 5			-     5		+     3 10
4	30		u4=7		+     2			3		-      5 30

 

F=30*3+5*6+20*3+5*6+10*3+30*5=390 ден. ед. – общая сумма транспортных расходов.

 
Цикл приведен в таблице (4,1; 4,3; 3,3; 3,2; 2,2; 2,1; ). 
Из грузов хij стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т.е. у = min (3, 2) = 5. Прибавляем 5 к объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках и вычитаем 5 из Хij, стоящих в минусовых клетках. В результате получим новый опорный план.

Магазины
		А		В			С
		40		20			40
№ склада					v1=3			v2=0		v3=6
1	30		u1=0		3 30			1		4
2	25		u2=3		-      6 5			3 20		+     2
3	15		u3=-3		6			5		3 15
4	30		u4=-1		+     2 5			3		-      5 25

 

F(x)=30*3+5*6+20*3+15*3+5*2+25*5=360 ден. ед. – общая сумма транспортных расходов.

Проверим оптимальность  опорного плана. Найдем предварительные потенциалы ui, vi. по занятым клеткам таблицы, в которых ui + vi = cij, полагая, что u1 = 0. 
u1 + v1 = 3; 0 + v1 = 3; v1 = 3 
u2 + v1 = 6; 3 + u2 = 6; u2 = 3 
u2 + v2 = 3; 3 + v2 = 3; v2 = 0 
u4 + v1 = 2; 3 + u4 = 2; u4 = -1 
u4 + v3 = 5; -1 + v3 = 5; v3 = 6 
u3 + v3 = 3; 6 + u3 = 3; u3 = -3

Опорный план не является оптимальным, так как существуют оценки свободных  клеток, для которых ui + vi > cij 
(1;3): 0 + 6 > 4; ∆13 = 0 + 6 - 4 = 2 
(2;3): 3 + 6 > 2; ∆23 = 3 + 6 - 2 = 7 
max(2,7) = 7 
Выбираем максимальную оценку свободной клетки (2;3): 2 
Для этого в перспективную клетку (2;3) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».

Цикл приведен в таблице (2,3; 2,1; 4,1; 4,3; ). 
Из грузов хij стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т.е. у = min (2, 1) = 5. Прибавляем 5 к объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках и вычитаем 5 из Хij, стоящих в минусовых клетках. В результате получим новый опорный план.

Магазины
		А		В			С
		40		20			40
№ склада					v1=3			v2=7		v3=6
1	30		u1=0		-      3 30			+     1		4
2	25		u2=-4		6			-    3 20		+     2 5
3	15		u3=-3		6			5		3 15
4	30		u4=-1		+     2 10			3		-      5 20

 

F(x)=30*3+20*3+5*2+15*3+10*2+20*5=325 ден. ед. – общая сумма транспортных расходов.

 

Проверим оптимальность  опорного плана. Найдем предварительные потенциалы ui, vi. по занятым клеткам таблицы, в которых ui + vi = cij, полагая, что u1 = 0. 
u1 + v1 = 3; 0 + v1 = 3; v1 = 3 
u4 + v1 = 2; 3 + u4 = 2; u4 = -1 
u4 + v3 = 5; -1 + v3 = 5; v3 = 6 
u2 + v3 = 2; 6 + u2 = 2; u2 = -4 
u2 + v2 = 3; -4 + v2 = 3; v2 = 7 
u3 + v3 = 3; 6 + u3 = 3; u3 = -3