Системный анализ в сервисе

 

Требуется обосновать сравнение между объектами и выбрать наилучший из них.

 

Е={е_i}, i =1,n – множество элементов;

К={к_j} j =1,n – множество критериев;

Р_к – множество состояний объектов, которые допускает критерий К.

Пусть α^к_i – оценка состояния объекта е_i по критерию К.

Задача состоит в выборе наиболее значимого элемента е_i или группы этих элементов при разных предположениях относительно требований к точности совпадения мнений всех экспертов. 
 
E = { е_i } i = 1,6 
 
К = К₁ К₂…...К₁₀ 
 
Оценки рассматриваемых показателей каждым из опрашиваемых экспертов 
 
α^К_j , i = 1,2…6 К = 1,2….10 совпадают с данными таблицы 4.1. 
 
Теперь построим матрицу соответствия. 
 
С этой целью для каждой пары объектов (е_i ,е_j) определим коэффициенты соответствия с_ij, исходя из предположения, что объект е_i предпочтительнее е_j...

 

Результаты расчётов представлены следующей матрицей С

 

 

 

 

Матрица С

 

ej	еi
	е1	е2	е3	е4	е5	е6
е1		c12 = 0,6	0,6	0,7	0,6	0,4
е2	0,4		0,5	0,6	0,3	0,3
е3	0,4	0,5		0,8	0,5	0,4
е4	0,3	0,4	0,2		0,2	0,3
е5	0,4	0,7	0,5	0,8		0,7
е6	0,6	0,7	0,6	0,7	0,3

 

Расчет коэффициента С₁₂. 
 
Выдвигаем гипотезу, что е₁ предпочтительнее е_2. Это предположение разделяют экспертов. Множество критериев, соответствующих этому предположению, С₁₂ имеют номера: К = 2, 3, 4, 5, 6, 8. Следовательно 
 
С₁₂ =   
 
Аналогично рассчитываются значения остальных элементов матрицы С. 
 
После построения матрицы соответствия С нужно рассчитать значение элементов матрицы несоответствия Д. 
 
Элемент матрицы несоответствия Д учитывает те критерии, по которым существует противоречие вынесенной гипотезе, что объект е₁ предпочтительнее объекта е_2. Для расчёта необходимо: 
 
Для пары объектов ( е_i ,е_j) показатель d_ij (1) рассчитывается следующим образом: 
 
Выделяется множество экспертов, оценки которых противоречат выдвинутой гипотезе, что объект е₁ предпочтительнее объекта е_2. К = 1, 3, 5, 10. 
 
Для этих критериев рассчитаем разность оценок объектов е₁ и е₂ — величину несоответствия. 
 
[α¹₂ - α¹ ₁] = 3. 
 
[α³₂ - α³ ₁] = 4. 
 
[α⁵₂ - α⁵ ₁] = 3. 
 
[α¹⁰₂ - α¹⁰ ₁] = 2. 
 
Полученные величины упорядочиваются в порядке невозрастания: [4, 3, 3, 2].

Показатель несоответствия d₁₂ (1) =  вычисляется как отношение первого члена последовательности из п.2 к масштабу шкалы.

Матрица Д (1)имеет вид

еj	еi
	е1	е2	е3	е4	е5	е6
е1		d12 (1) = 0,4	0,6	0,5	0,8	0,6
е2	0,4		0,4	0,3	0,4	0,2
е3	0,7	0,5		0,6	0	1
е4	0,5	0,5	0,5		0,5	0,8
е5	0,2	0,7	0,7	0,8		0,4
е6	0,8	0,6	0,5	0,2	0,6

 

Данные матриц С и  Д (s) позволяют построить графы  сравнения объектов при различных  требованиях к порогам соответствия и несоответствия и выделить ядро соответствующего графа. 
 
Рассмотрим, как изменяются графы в зависимости от значения параметров (c, d, s). 
 
Пусть s = 1, С = 0,7, d = 0,3. Тогда можно провести сравнение только для двух объектов — е₃ и е_1. 
 
Ядро графа включает пять элементов íе₁ е₂ е₄ е₅ е₆ý. 
 
Другими словами, эти объекты при указанных требованиях к совпадению мнений экспертов не сравнимы между собой. При этом объект е₁ признаётся более значимым, чем объект (показатель) е_3. 
 
Снижение требований к порогу соответствия С = 0,6 приводит к дополнительной возможности сравнения показателей е₂ и е₁. (рис б). Следовательно, ядро этого графа содержит теперь элементы íе₂ е₄ е₅ е₆ý.. 
 
При s = 2 и тех же порогах соответствия и несоответствия (С = 0,8, d = 0,3) граф содержит единственный элемент (показатель), превосходящий все остальные. Таким образом, показатель е₅ может быть принят в качестве основного при решении данной проблемы с указанной степенью риска, отраженной набором оценок степени согласованности мнений экспертов. Точно так же введение более строгих требований к порогу несоответствия (уменьшение значения d с 0,3 до 0,2) приводит к введению в ядро графа элемента е₆. Исследование изменений ядер графов в зависимости от изменения требований к параметрам согласования различных критериев (различных мнений экспертов) позволяет упорядочить рассматриваемые объекты.

 

ЗАДАНИЕ 5. Оценка сложных систем в условиях 
риска и неопределенности

В ресторане решено делать бизнес-ланч.

Процесс производства позволяет  изготавливать 70, 120 или 150 бизнес-ланчей. Число посетителей колеблется от 60 до 160. Необходимо определить число изготавливаемых бизнес-ланчей а_i, если число посетителей k_j.

Матрица эффективности  имеет вид (руб.):

 

а/ к	к1 = 60	к2= 95	к3= 125	к4= 160
а1= 70	-1600	2300	2300	2300
а2= 120	-4000	5300	7800	7800
а3= 150	-6200	-1750	10000	9500

 

1. Критерий среднего  выигрыша. Предполагает задание  вероятностей состояния обстановки  Р_i. Эффективность систем оценивается как среднее ожидание (мат. ожидание) оценок эффективности по всем состояниям обстановки. 
 
Оптимальной системе будет соответствовать максимальная оценка. 
 
К = ∑ Р_i ∙ к _ij 
 
Определим частоту каждого к_i: 
 
Р₁ = 0,14; Р₂ = 0,22; Р₃ = 0,28; Р₄ = 0,36. 
 
Определим оценку: 
 
К(а₁) = 0,14 ∙ (-1600) + 0,22 ∙ 2300 + 0,28 ∙ 2300 + 0,36 ∙ 2300 = 1768,18. 
 
К(а₂) = 0,14 ∙ (-4000) + 0,22 ∙ 5300 + 0,28 ∙ 7800 + 0,36 ∙ 7800 = 5651,14. 
 
К(а₃) = 0,14 ∙ (-6200) + 0,22 ∙ (-1750) + 0,28 ∙ 10000 + 0,36 ∙ 9500 = 5072,16. 
 
Оптимальное решение — число бизнес-ланчей — а₂ = 120. 
 
2. Критерий Лапласа (достаточного основания) 
 
Предполагается, что состояние обстановки равновероятно, так как нет достаточных оснований предполагать иное. 
 
К = 1/к∑К_ij, для каждого i, а оптимальное значение указывает максимальную сумму К. 
 
К(а₁) = 0,333 ∙ (-1600 + 2300 + 2300 + 2300) = 1325,0. 
 
К(а₂) = 0,333 ∙ (-4000 + 5300 + 7800 + 7800) = 4225,0. 
 
К(а₃) = 0,333 ∙ (-6200 + (-1750) + 10000 + 9500) = 2887,5. 
 
Оптимальное решение — число бизнес-ланчей — а₂ = 120. 
 
3. Критерий осторожного наблюдателя (критерий Вальда). Это максимальный критерий (максимальные доходы, минимальные потери). Он гарантирует определенный выигрыш при худших условиях. Критерий использует то, что при неизвестной обстановке нужно поступать самым осторожным образом, ориентируясь на минимальное значение эффекта каждой системы.

Для этого в каждой строке матрицы находится минимальная из оценок систем 
 
К(а_i) min К_ij.

Оптимальной считается  система из строки с максимальным значением эффективности 
 
Копт=max (minK_ij) для всех ij

 

К(а₁) = min(-1600; 2300; 2300; 2300) = −1600. 
 
К(а₂) = min(-4000; 5300; 7800; 7800) = −4000. 
 
К(а₃) = min(-6200; −1750; 10000; 9500) = −6200. 
 
Оптимальное решение — число бизнес-ланчей — а₁ = 70. 
 
В любом состоянии обстановки выбранная система покажет результат не хуже найденного максимина. Однако такая осторожность является в ряде случаев недостатком критерия.

 

4. Критерий пессимизма-оптимизма (критерий Гурвица). Критерий обобщенного максимина. Согласно данному критерию при оценке и выборе систем не разумно проявлять как осторожность, так и азарт. Следует принимать во внимание самое высокое и самое низкое значение эффективности и занимать промежуточную позицию. Эффективность находится как взвешенная с помощью коэффициента α сумма максимальных и минимальных оценок. 
 
К(a_i) = α max K_ij+(1- α)*min K_ij

                  j                          j

0 ≤ α ≤ 1

 

Копт = max { α max K_ij+(1+ α)*min K_ij}

                 i            j                          j

d = 0,6 
 
К(а₁) = 0,6 ∙ 2300 + (1−0,6) ∙ (-1600) = 740. 
 
К(а₂) = 0,6 ∙ 7800 + (1−0,6) ∙ (-4000) = 3080. 
 
К(а₃) = 0,6 ∙ 10000 + (1−0,6) ∙ (-6200) = 3520. 
 
Оптимальное решение — число бизнес-ланчей — а₃ = 150.

При α = 0 критерий Гурвица  сводится к критерию максимина. На практике используются значения α из интервала (0,3÷0,7).

 

4. Критерий минимального риска (критерий Севиджа)

Минимизирует потери эффективности при наихудших условиях. В этом случае матрица эффективности должна быть преобразована в матрицу потерь. Каждый элемент определяется как разность между максимальным и текущим значениями оценок эффективности в столбце.

∆ К_ij = maxK_ij - K_ij 
После преобразования матрицы используется критерий минимакса, т.е. оптимального решения критерия. 
K(a_i)=max∆ К_ij

            j

 

Kопт=min (max∆ К_ij) 
               i        j

 

Матрица потерь

 

а/к	к1 = 60	к2= 95	к3= 125	к4= 160	∑к
а1= 70	0	3000	7700	7200	17900
а2= 120	2400	0	2200	1700	6300
а3= 150	4600	7050	0	0	11650

 

Оптимальное решение — число бизнес-ланчей — а₂ = 120. 
 
Комментарий: критерий отражает сожаления по поводу того, что выбранная система не оказалась лучшей при определении состава обстановки. Например, если выбрать число бизнес-ланчей а₁, а угрозу n₃ , то сожаление, что не выбрано лучшее число бизнес-ланчей а₂ составит 7700. 
 
Таким образом, эффективность систем в неопределенных операциях может оцениваться по ряду критериев. На выбор каждого из них может влиять ряд факторов: 
 
а) природа конкретных операций и ее цель — в одном случае допустим риск — в другом — гарантированный результат 
 
б) причина неопределенности — закон природы — разумные действия противника 
 
в) характер лица, принимающего решение: — склонность добиться большего, идя на риск — всегда осторожные действия

Результаты всех расчётов записываются в одну табл. 

Результаты

а\к	к1	к2	к3	к4	Ср. выигр	Лапласа	Вальда	Гурвица	Севиджа
а1	-1600	2300	2300	2300	1768,18	1325,0	1600	740	17900
а2	-4000	5300	7800	7800	5651,14	4225,0	4000	3080	6300
а3	-6200	-1750	10000	9500	5072,16	2887,5	6200	3520	11650

 

Тип критерия для выбора рационального варианта выбирается на аналитической стадии рассмотрения сложных систем. Очевидно, что по большинству критериев оптимальное решение — число бизнес-ланчей — а₂ = 120, следующий по значимости вариант — число бизнес-ланчей — а₃ = 150.

ЗАДАНИЕ 6. Постановка задачи математического 
программирования

В трёх цехах изготавливаются два вида изделий. 
 
a_ij – загрузка j-го цеха при изготовлении изделий, %. 
 
c_i – прибыль от одного изделия вида i, руб. 
 
Сформулировать ЗЛП, чтобы определить, сколько изделий каждого вида следует производить при возможно полной загрузке цехов, чтобы получить максимальную прибыль. Загрузка цехов представлена в Таблице. 
 
Таблица 
 
Загрузка цехов