Лекции по «Моделирование процессов и объектов в металлургии»

β – константа скорости диффузии;

rg – диффузионный поток – число молей вещества, доставляемых диффузией в зону реакции и отнесённое к единице поверхности.

, k – константа, Сп – поверхностная концентрация.

Справедливо для реакции 1-го порядка:

k – кинетическая константа скорости (истинная).

kCп заменим на k'Cя; известная концентрация в объёме Ся.

Величина, обратная экспериментальной константе скорости, является суммой обратных величин истинной константы и константы диффузии.

1. – наблюдается быстрая диффузия при относительно медленной химической реакции. Скорость гетерогенной реакции определяется скоростью самой медленной стадии.

Поверхностная концентрация выравнивается с концентрацией в объёме фазы. Таким образом, диффузия доставляет вещество в зону реакции с высокой скоростью.

2. – химическая реакция быстрая при медленной диффузионной стадии. Лимитирующая стадия – диффузионная, при этом , .

3.

В реальных задачах моделирования определение константы диффузии и кинетической константы скорости представляет собой сложную задачу. Кинетическая константа скорости определяется экспериментально, для расчёта констант диффузии используются критериальные уравнения.

 

 

Моделирование тепловых явлений

 

Технологические процессы представляют собой совокупность химических реакций, сопровождающихся тепловыми эффектами. Технологические процессы происходят при высоких температурах, что требует, при составлении модели, учитывать процессы тепловыделения и теплопоглощения, а так же обмена с внутренней средой.

Технологические аппараты, как объекты моделирования могут быть отнесены к одному из трёх типов:

1. изотермические;
2. адиабатические;
3. с частичным теплообменом.

По ходу технологического процесса за счёт происходящих химических реакций либо образуется некоторое количество избыточного тепла, либо поглощается некоторое количество тепла извне. Количество выделившегося или поглощённого тепла в единицу времени зависит от скорости химической реакции.

Технологические аппараты в большинстве случаев обмениваются теплом с внешней средой, таким образом, избыточное тепло путём теплообмена отдаётся внешней среде.

Тип аппарата определяется тем, как соотносятся между собой тепловые эффекты, связанные с химической реакцией, идущей внутри аппарата и возможности теплообмена с внешней средой.

В изотермическом аппарате в единицу времени количество выделившегося и поглощённого тепла невелико:

1. скорость химической реакции невелика;
2. количество тепла, отведённое во внешнюю среду в единицу времени много больше, чем тепловой эффект внутри аппарата.

Возможности теплообмена значительно больше теплового эффекта внутри аппарата; в результате температура в аппарате приблизительно равна температуре внешней среды и остаётся постоянной.

В адиабатическом аппарате возможности внешнего теплообмена значительно уступают тепловому эффекту внутри аппарата. Такой аппарат подобен термосу- выделяющееся в ходе химической реакции тепло практически полностью расходуется на нагрев содержимого внутри аппарата, во внешнюю среду потери незначительны.

Величина теплового эффекта внутри аппарата с частичным теплообменом сопоставима с возможностями теплообмена, если в аппарате идет экзотермический процесс; часть тепла успевает рассеяться во внешнюю среду, часть расходуется на разогрев содержимого реактора, таким образом, устанавливается новая температура внутри аппарата, соответствующая тепловому балансу.

 

Тепловая работа аппарата с частичным теплообменом

 

1. Рассмотрим аппарат идеального вытеснения, в котором идет экзотермическая реакция.

 

 

 

Qi – тепловой эффект реакции.

ri – скорость химической реак-ции.

 

 

 

Предполагаем, что в аппарате происходит экзотермический эффект, тогда:

 

1 – количество тепла, выделившегося  в единицу времени;

2 – количество тепла, теряемое  с поверхности аппарата во  внешнюю среду;

ρ – плотность вещества в потоке;

СT – теплоёмкость вещества в потоке;

k – коэффициент теплопередачи от потока вещества к внешней среде;

f – удельная поверхность теплопередачи, отношение поверхности аппарата к его объёму;

Т0 – начальная температура на входе в аппарат;

Т – текущее значение температуры в произвольный момент времени;

Тс – температура среды;

t – время пребывания вещества в аппарате.

Приход тепла в тепловом балансе такого аппарата является суммой физического тепла вещества, поступающего в аппарат с потоком, и тепла, выделяющегося в ходе химической реакции. Расход тепла обусловлен уносом тепла веществом, покидающим аппарат с выходным потоком и потерями в окружающую среду.

Физическое тепло вещества на входе и выходе аппарата определяется его температурой, теплоемкостью и массой. Потери тепла пропорциональны разности температур в аппарате и температуры окружающей среды, а также поверхности теплообмена. Количество выделяющегося тепла зависит от теплового эффекта реакции и пропорционально скорости реакции.

Решение дифференциального уравнения теплового баланса дает функцию изменения температуры от времени пребывания вещества в аппарате. Поскольку время пребывания пропорционально расстоянию от точки входа в аппарат до произвольной точки внутри аппарата, для которой мы определяем значение температуры, можно построить профиль изменения температуры внутри аппарата.

В случае экзотермической химической реакции температура по длине аппарата изменяется от начального значения T0 (в точке входа в аппарат), которое определяется из начальных условий для решения дифференциального уравнения теплового баланса, затем возрастает до некоторого максимума, после чего убывает.

Рост температуры объясняется тем, что количество тепла, выделяющегося в начальный момент реакции, превышает возможности теплообмена с внешней средой. Избыток тепла приводит к увеличению температуры вещества в аппарате.

Скорость химической реакции в начальный момент высока, но поскольку со временем концентрация исходных веществ уменьшается (расходуются исходные вещества), количество тепла, выделяющегося за счет химической реакции в единицу времени также падает. Когда количество выделяющегося и отводимого тепла становится одинаковым, устанавливается максимальная температура в некоторой точке аппарата.

Далее количество выделяющегося тепла становится меньше, чем отводимого. Дефицит тепла в балансе приводит к снижению температуры вещества. На профиле температур в аппарате это отображается   падающим участком.

На практике моделирование аппарата с частичным теплообменом такого типа позволяет проверить, не превысит ли максимальная температура допустимых значений. В таком случае необходимо изменить условия теплообмена в критической зоне аппарата, например использовать принудительное охлаждение или жидкостное охлаждение, что позволит увеличить коэффициент теплопередачи от вещества в аппарате к окружающей среде и количество отводимого тепла.

 

2. Работа аппарата с экзотермической химической реакцией в режиме идеального перемешивания.

 

Имеем химическую реакцию с выделением тепла. Количество тепла в единицу времени пропорционально скорости химической реакции:

 

 

– количество тепла, поступающего с входящим потоком;

– количество тепла, выносимое из аппарата выходящим потоком;

– количество тепла, выделяющегося в ходе химической реакции;

– количество тепла, теряющегося в поверхности аппарата.

Если известны скорость химической реакции и тепловой эффект, то мы считаем всю величину Q3 известной; Q1 тоже известна; Q2 нельзя считать известной (мы не знаем Т); Q4 тоже неизвестна.

Решением этого уравнения теплового баланса является значение температуры внутри реактора. В результате моделирования мы определяем такую температуру,  в зависимости от скорости химической реакции, идущей внутри аппарата. Путём итерационного расчёта значение температуры в реакторе уточняется.

Расчёт температуры позволяет судить о том, как в тепловом отношении будет работать аппарат при заданных условиях, при заданном составе вещества на входе, при заданной производительности, при заданной начальной температуре и геометрических размерах аппарата. На основании таких расчётов можно делать вывод, может ли процесс осуществляться автогенно, требуется ли дополнительный отвод тепла или необходим дополнительный источник тепла (топливо, электроэнергия и др.).

 

Мы познакомились с моделированием объектов на простейшем молекулярном уровне. Реальные модели процессов и объектов металлургии, как правило, значительно сложнее, они включают в себя элементы описания на более высоких уровнях: малого объема, рабочей зоны аппарата и т.д. Лишь в некоторых частных случаях можно результаты моделирования на молекулярном уровне распространить на уровень технологического аппарата в целом. Так, если химические реакции идут гомогенно, а технологический объект является аппаратом идеального перемешивания, не требуется его описания на уровне малого объема и рабочей зоны. В этом случае мы можем рассматривать аппарат в целом, как некую материальную точку в физике, поскольку, например концентрации и температуры в разных точках внутри аппарата одинаковы. 

 Создание модели реального  процесса или технологического  аппарата требует усилий, как  правило, коллектива специалистов. Тем не менее, главная роль в коллективе на этапе постановки задач, на этапе получения выводов и их трактовки принадлежит к специалисту предметной области – инженеру-металлургу. Только инженер-металлург может определять такие элементы, которые могут относиться к существенным сторонам модели.

Построение математической модели технологического объекта позволяет в пределах имеющихся знаний уточнить закономерности, управляющие работой объекта. В этом смысле модель является инструментом научного познания, позволяя совершенствовать теоретические знания об объекте.

Полученная модель технологических процессов и объектов представляет собой инструмент, позволяющий прогнозировать поведение моделируемых объектов. Под прогнозированием следует понимать возможность расчета выходных характеристик технологического объекта (состава, массы полученного продукта в частности) от известных значений фиксированных входных характеристик и выбранных величин управляющих воздействий.

В таком виде модель представляет инструмент для управления технологическим объектом, позволяя ответить на вопрос: какие величины управляющих воздействий следует выбрать (и поддерживать) для того, чтобы выходные характеристики технологического объекта приняли желаемые значения.

Главное назначение модели – она предоставляет необходимые инструменты для оптимизации.

 

 

Математические методы оптимизации технологических систем

 

Технологические системы в металлургии – искусственные системы, предназначенные для достижения поставленных целей. Общая цель таких систем состоит в переработке сырья, содержащего цветные металлы и сопутствующие ценные составляющие, и получении продукта с заданными свойствами.

По виду сырья, применяемых технологических приемов, особенностей получаемых продуктов, металлургические технологии весьма разнообразны. Однако наличие общей цели позволяет наметить общие подходы к оптимизации таких систем.

Оптимизация предполагает наличие критериев оптимальности. Критерии оптимальности характеризуют качество технологического процесса, т.е. степень достижения поставленных целей.

К критериям оптимальности предъявляются два важнейших требования:

1. Критерий должен быть количественным, т.е. выражаться числом. В том случае, когда критерий не имеет ясного количественного смысла, для получения количественных критериев используется метод экспертных оценок.

2. Критерий должен быть монотонно  связан с качеством функционирования технологической системы. Чем лучше качество системы, тем выше значение критерия оптимальности (или наоборот).

 Например, извлечение металла  в целевой продукт часто является  критерием оптимальности: чем лучше  работает технология, тем больше извлечение (меньше потерь металла). Другим критерием оптимальности можно считать удельные затраты энергии или топлива на единицу произведенного продукта. Ясно, что чем лучше работает технология, тем меньше удельный расход энергии или топлива. Но и в первом, и во втором случае эта связь монотонна.

 

Критерий оптимальности по происхождению можно разделить на группы: