Влияние обобщающего повторения на качество знаний учащихся

   Обратное  к этой теореме утверждение  записывается так:

   Дано: в четырёхугольнике АВСД АС = ВД.

   Доказать: АВСД — прямоугольник.

   Легко убедиться, что это утверждение несправедливо. Приведите примеры, подтверждающие этот факт. Учащиеся могут вспомнить,

что диагонали равны у равнобочной трапеции, или начертить произвольный четырехугольник с равными диагоналями. Таким образом, мы

убеждаемся, что равенство диагоналей не выделяет прямоугольник из класса четырехугольников (среди четырёхугольников с равными

диагоналями есть и не являющиеся прямоугольниками).

   Здесь  учитель знакомит учащихся с  еще одним способом получения  утверждений, обратных данному. Замечает, что условие прямой

теоремы может быть разбито на две части.

   Дано: АВСД — параллелограмм, РА = 900.

   Доказать: АС = ВД.

   Если  теперь поменять местами заключение  и вторую часть условия, то  мы получим утверждение:

   Дано: АВСД — параллелограмм

   АС=ВД. Доказать: РА = 900.

   Это  утверждение легко доказать. Докажите  самостоятельно.

   Если  учащиеся затрудняются, то можно "навести" их на мысль, обратив  внимание, что РА + РД = 1800 (АВСД —  параллелограмм).

Что осталось теперь доказать? (РА=РД).

   Аналогичную  работу проводим с установлением  признаков ромба, основанных на  свойствах его диагоналей. Вспоминаем  теорему о 

свойствах диагоналей ромба.

   Дано: АВСД — ромб.

   Доказать: 1) ВД | АС; РВАС = РСАД.

   Для  этой теоремы можно составить две обратные:

   Дано: ВД | АС Дано: РВАС = РСАД 

   Доказать: АВСД — ромб. Доказать: АВСД —  ромб.

   Легко  показать, что каждая из этих  теорем несправедлива, приведя хотя  бы по одному "контрпримеру";

   Интересен  вопрос. А как можно видоизменить первый чертеж чтобы его можно било использовать одновременно для

"опровержения" и теоремы 1 и теоремы 2. Достаточно  взять АО=ОС и тогда РAВД = РДВС.

   Используя  второй способ образования обратных  теорем, с которым учащиеся ознакомлены  при установлении признака

прямоугольника.

   Имеем:

   Прямая  теорема: Дано: АВСД — параллелограмм, АВ = ВС.

   Доказать: ВД | АС 

   Обратная  теорема:

   Дано: АВСД — параллелограмм, ВД | АС.

   Доказать: АВ = ВС.

   Вспоминая  уточненное определение ромба, даем такую формулировку обратной теоремы: "Если в параллелограмме диагонали

взаимоперпендикулярны, то этот параллелограмм — ромб".

    Схема аналитического рассуждения  при отыскании доказательства  этой теоремы.

   АВСД  — ромб

   АВСД  — параллелограмм 

   АВ = ВС

    D АВО = D СВО 

   Р  АОВ = Р СОВ 

   ВД | АС 

   АО = ОС 

   ВО  — общая 

   Р  АОВ = Р СОВ

   АВСД  — параллелограмм 

   ВД | АС.

   Аналогично  формулируем второй признак ромба: "Если в параллелограмме диагональ  делит угол пополам, то этот  параллелограмм

— ромб". Аналитическое рассуждение проводится аналогично.

   Схематическая  запись доказательства: АВСД —  параллелограмм ЮАД II ВС Ю (Р1 = Р3, Р1 = Р2) Ю. ЮР2 = Р3 Ю (АВ = BС, АВСД 

— параллелограмм) Ю АВСД — ромб.

   Обобщая  полученные результаты, полезно обратить внимание школьников на тот факт, что равенство диагоналей не выделяет

прямоугольник из множества всех четырехугольников, но выделяет его из множества параллелограммов, и предложить им

самостоятельно сформулировать аналогичные утверждения (их 2!) для ромба.

   Для  поверки того, владеют ли учащиеся  признаками параллелограмма, ставим  перед ними следующую проблему.

   Как  сформулировать признаки прямоугольника  и ромба, основанные на свойствах  их диагоналей, чтобы они выделяли 

прямоугольник и ромб из множества всех четырехугольников? Подсказка, если ученики не справляются: условие АВСД —

параллелограмм, каким требованием относительно его диагоналей можно заменить.

   Получаем  признаки:

1.   Если  в четырехугольнике диагонали  равны и точкой их пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник —

параллелограмм.

2.   Если  в четырехугольнике диагонали  взаимно перпендикулярны и делятся  точкой пересечения пополам, то  этот четырехугольник 

— параллелограмм.

3.   Признак  формулируем аналогично.

   Переходя  к выяснению признаков квадрата, подчеркиваем, что квадрат является  как частным случаем прямоугольника, так и 

ромба и следовательно обладает всеми свойствами прямоугольника и всеми свойствами ромба. Ставится проблема: выделить

комбинации свойств диагоналей, которые выделяли квадрат из множества прямоугольников, из множества ромбов, их множества

параллелограммов, из множества четырехугольников.

   Если  ученики осмыслили рассмотренный  материал о признаках прямоугольника  и ромба, то они легко ответят на поставленные

вопросы и сформулируют следующие признаки квадрата.

   Квадратом  является:

1.   Прямоугольник  с взаимно перпендикулярными  диагоналями.

2.   Прямоугольник, у которого диагональ делит  угол пополам.

3.   Ромб  с равными диагоналями.

4.   Параллелограмм, у которого диагонали равны  и взаимно перпендикулярны.

5.   Параллелограмм, у которого диагонали рваны  и делят угол пополам.

6.   Четырехугольник, у которого диагонали равны, взаимно  перпендикулярны и в точке  пересечения делятся пополам.

   После  этого можно перейти к решению  задач, требующих применения изученных  признаков.

   Для  приведения в систему материала  по теме "Параллелограмм и его  виды” очень хороша задача: “Определить  вид 

четырехугольника, который получится, если последовательно соединить отрезками прямых середины сторон произвольного

четырехугольника”.

   После  доказательства того факта, что  полученный четырехугольник будет  параллелограммом, ставится вопрос: “Каким должен 

быть исходный четырехугольник, чтобы полученный оказался прямоугольником, ромбом, квадратом?”.

   Начертим  произвольный четырехугольник.

   Найдём  середины сторон и изобразим  схематично на чертеже равенство  отрезков.

   Соединим  последовательно полученные точки E, F, M, N.

   Вопрос: какой четырехугольник получился?

   У  разных учащихся ответ будет  различным: параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат. Учитель обращает  внимание на то, что 

прямоугольник, ромб, квадрат — частные виды параллелограмма, поэтому всем придется доказывать, что четырехугольник EFMN —

параллелограмм.

   Дано: АЕ = ЕB, BF = FC, СМ = МД, ДN = NА.

   Доказать: EFMN — параллелограмм.

   Проводится  анализ.

   Вопрос: Для того, чтобы доказать, что EFMN — параллелограмм, что достаточно  доказать?

   Ответ; параллельность прямых EF и MN, а также ЕN и MF.

   Вопрос: Как можно доказать? (или, если  не отвечают: Используя какой  признак параллельности прямых  можно это доказать?).

   Ответ: Первый признак параллельности  прямых т. к. в других признаках  участвуют углы, а в условии задачи об углах ничего не

сказано.

   Вопрос: В первом признаке параллельности  прямых говорятся о трех прямых. Где взять третью прямую?

   Ответ: Соединить точки А и С. Получим  два треугольника — АВС и  АДС.

   Вопрос: Какое соотношение известно в  этих треугольниках? Или: Чем являются ЕF и MN в D АВС и D АДС?

   Ответ; ЕF является средней линией D АВС, ибо АЕ = FВ и ВГ = FC, а MN является  средней линией D АДС, т.к. СМ = МД и  ДN = NА.

   Вопрос: Какой признак средней линии  мы знаем?

   Ответ: Средняя линия параллельна основанию.

   Вопрос: Какой вывод можно сделать  о ЕF и MN?

   Ответ: ЕF || АС и МN || АС. Значит, по первому  признаку параллельности прямых  следует, что ЕF || MN.

   Аналогично  доказывается, что ЕN || FM.

   Проведем  так называемый “взгляд назад” и попробуем найти другое решение, более рациональное и короткое.

   Вопрос: Как еще можно доказать, что  четырехугольник EFMN — параллелограмм?

   Или: Каким признаком параллелограмма  можно воспользоваться, чтобы доказать, что четырехугольник EFMN — параллелограмм?

   Ответ: Воспользоваться признаком параллелограмма, который заключается в том, что  если в четырехугольнике противоположные 

стороны попарно параллельны и равны, то этот четырехугольник — параллелограмм. Значит надо доказать, что EF || MN и EF = MN.

   Вопрос: Параллельность прямых EF и MN доказывается  так, как это было сделано выше. Как доказать равенство ЕF и  МN? или:

Какое свойство средней линии мы знаем?

   Ответ: Так как ЕF — средняя линия D АВС, то ЕF равна половине основания  АС; MN средняя линия АДС и М равна половине

основания АС. Значит ЕF = MN.

   Это  решение является более рациональным  и коротким.

   Теперь  надо записать решение задачи.

   В  классе всегда есть ученики, которые  быстро найдут решение этой  задачи. Для организации индивидуальной групповой

деятельности более сильным учащимся можно дать дополнительные задания:

   Какой  вид должен иметь исходный  четырехугольник, чтобы полученный  был прямоугольником, ромбом, квадратом?

   В  этом случае целесообразно подойти  к распределению дифференцированно: наиболее сильным предложить вариант: средним —

вариант б, остальным — а.

   Предлагая  учащимся задачи с избыточной  и неполной информацией, мы воспитываем  в них готовность к практической 

деятельности. Рассматривая изящное решение той или иной математической задачи, мы способствуем эстетическому воспитанию

школьников.

   Мне  хочется привести несколько примеров  задач, возникших из рассмотрения  шарнирной модели четырехугольника.

   Убедившись  вместе со школьниками в подвижности этой модели (не жёстко скрепленной в вершинах) учитель побуждает их к выводу,

что четыре данные стороны не определяют четырехугольник однозначно,

   Затем  перед учащимися формируется  сама задача.

   Задача 1. Имеется модель шарнирного четырехугольника со сторонами определённой длины. Каким способами можно придать

“жёсткость” данной модели четырехугольника, если его вершины не могут быть закреплены? Ответ обосновать.

   В  ходе обсуждения этой задачи  предлагаются различные варианты  её решения, которые проверяются опытными путями, например,

скрепить две вершины четырехугольника планкой по диагонали, соединить планкой середины двух противоположных сторон и т. д.

   Убедившись  на опыте в разумности сделанных  предложений, учащихся приходят  к необходимости обосновать тот или иней способ

“наведения жесткости”. С помощью учителя они приходят к возможности провести это обоснование, переформулировать задачу в виде

соответствующей задачи на построение. Роли по заданным элементам можно построить единственную фигуру, то её модель будет

жёсткой.

   Возможность  сведения конкретной задачи, определённой  на модели, к решению абстрактной  геометрической задачи на построение 

реализует одну из важнейших воспитывающих функций геометрических задач: связь обучения математике с жизнью, т.е. показывает

реальное происхождение математических абстракций.

   Учитывая  “свойство жесткости” треугольника  первое из вышеназванных решений  обосновывается достаточно просто. Однако 

обоснование второго пути решения задачи не столь очевидно. Возникает уже чисто геометрическая абстрактная задача.

   Задача 2. Построить 4-х угольник АВСД, зная  длину его сторон и длину  отрезка MN, соединяющего середины  сторон АВ и ДС.

   Допустим, что искомый 4-х угольник АВСД  построен (рис. 3а). Выполним параллельный перенос (ДN) стороны ДА и || перенос (CN)

стороны СВ, теперь из точки исходят 3 отрезка А1N, MN, NВ1 известной длины.

   Нетрудно  показать, что точка М является  серединой АВ1. В самом деле, длины  отрезков АА1 и ВВ1 равны 1/2ДС, а  сами отрезки ||

ДС.

   Поэтому  четырехугольник А1АВ1В является  параллелограммом. Точка М — середина  его диагонали АВ. Поэтому М  принадлежит 

диагонали А1В1 и является ее серединой.

   Итак, в D NA1B1 известны стороны NA1, В1N и заключённая  между ними медиана. Для того, чтобы построить этот треугольник,

отметим точку N1, симметрично относительно М. Очевидно, |АN| = |В1N|.

   Треугольник N1NA1 можно построить по трем  известным сторонам: |NA1| = |ДА|, |A1N1| = |В1N| = |CB| и |NM1| = 2|NM|.

   Теперь  построим искомый четырехугольник. Делим отрезок N1N точкой М на два конгруэнтных отрезка, строим точку В1,

симметричную А1 относительно М. По трем сторонам построим треугольники А1МА и МВВ1. Перенеся отрезок А1А на вектор А1N, а

отрезок ВВ1 на вектор В1N, подучим все четыре вершины искомого 4-х угольника АВСД. Нетрудно показать единственность решения

задачи.

   Усилению  развивающих функций задачи способствует  последующая постановка задач-аналогов, при решении которых используется 

некоторый(один и тот же) прием, основанный на применении определённого метода. Так как параллельный перенос элементов фигуры

(АС) приводит  к построению вспомогательного  четырехугольника СВВ1Д1 с весьма  интересными свойствами.

   Например, 4-х угольник ДД1В1В — параллелограмм, стороны которого конгруэнтны диагоналям 4-х угольника АВСД, в углы

конгруэнтны углами между этими диагоналями; длины диагоналей ДД1В1В вдвое больше длин отрезков, соединяющих середины