Моделирование систем массвого обслуживания

(15).

Среднее время пребывания заявки в системе. Обозначим  - мат. ожидание случайной величины — время пребывания заявки в СМО, которое складывается из среднего времени ожидания в очереди  и среднего времени обслуживания . Если загрузка системы составляет 100%, очевидно, , в противном же случае:

[5].

Отсюда:

.

Пример 1. Автозаправочная станция (АЗС) представляет собой СМО с одним каналом обслуживания (одной колонкой).

Площадка при станции  допускает пребывание в очереди  на заправку не более трех машин  одновременно . Если в очереди уже находятся три машины, очередная машина, прибывшая к станции, в очередь не становится. Поток машин, прибывающих для заправки, имеет интенсивность  (машина в минуту). Процесс заправки продолжается в среднем 1,25 мин.

Определить:

• вероятность отказа;
• относительную и абсолютную пропускную способности АЗС;
• среднее число машин, ожидающих заправки;
• среднее число машин, находящихся на АЗС (включая обслуживаемую);
• среднее время ожидания машины в очереди;
• среднее время пребывания машины на АЗС (включая обслуживание).

Иначе говоря, среднее время  ожидания равно среднему числу заявок в очереди, деленному на интенсивность  потока заявок.

Находим вначале приведенную  интенсивность потока заявок: ; .

По формулам (8):

.

Вероятность отказа .

Относительная пропускная способность  СМО: .

Абсолютная пропускная способность  СМО: машины в мин.

Среднее число машин в  очереди находим по формуле (12):

,

т.е. среднее число машин, ожидающих в очереди на заправку, равно 1,56.

Прибавляя к этой величине среднее число машин, находящихся  под обслуживанием:

,

получаем среднее число  машин, связанных с АЗС.

Среднее время ожидания машины в очереди по формуле (15):

мин.

Прибавляя к этой величине , получим среднее время, которое машина проводит на АЗС:

 мин.

Системы с неограниченным ожиданием. В таких системах значение не ограничено и, следовательно, основные характеристики могут быть получены путем предельного перехода  в ранее полученных выражениях (5), (6) и т.п.

Заметим, что при этом знаменатель в последней формуле (6) представляет собой сумму бесконечного числа членов геометрической прогрессии. Эта сумма сходится, когда прогрессия бесконечно убывающая, т.е. при .

Может быть доказано, что  есть условие, при котором в СМО с ожиданием существует предельный установившийся режим, иначе такого режима не существует, и очередь при  будет неограниченно возрастать. Поэтому в дальнейшем здесь предполагается, что .

Если, то соотношения (8) принимают вид: 

(16).

При отсутствии ограничений  по длине очереди каждая заявка, пришедшая в систему, будет обслужена, поэтому , .

Среднее число заявок в  очереди получим из (12) при :

.

Среднее число заявок в  системе по формуле (13) при :

.

Среднее время ожидания получим из формулы (14) при:

..

Наконец, среднее время  пребывания заявки в СМО есть:

[5].

 

1.2.2 Многоканальная СМО с ожиданием 

 

Система с ограниченной длиной очереди. Рассмотрим  канальную СМО с ожиданием, на которую поступает поток заявок с интенсивностью  ; интенсивность обслуживания (для одного канала)  ; число мест в очереди  .

Состояния системы нумеруются по числу заявок, связанных системой:

нет очереди: 

• — все каналы свободны; 
• — занят один канал, остальные свободны; 
• — заняты -каналов, остальные нет;
• — заняты все -каналов, свободных нет;

есть очередь: 

• — заняты все -каналов; одна заявка стоит в очереди; 
• — заняты все -каналов, -заявок в очереди; 
• — заняты все -каналов, все заявки в очереди.

ГСП приведен на рис. 17. У каждой стрелки проставлены соответствующие интенсивности потоков событий. По стрелкам слева направо систему переводит всегда один и тот же поток заявок с интенсивностью  , по стрелкам справа налево систему переводит поток обслуживании, интенсивность которого равна  , умноженному на число занятых каналов.

Рис. 17. Многоканальная СМО с ожиданием

 

Граф типичен для процессов  размножения и гибели, для которой  решение ранее получено. Напишем  выражения для предельных вероятностей состояний, используя обозначение : (здесь используется выражение для суммы геометрической прогрессии со знаменателем ).

Таким образом, все вероятности  состояний найдены.

Определим характеристики эффективности  системы.

Вероятность отказа. Поступившая  заявка получает отказ, если заняты все n-каналов и все m-мест в очереди:

. (18)

Относительная пропускная способность  дополняет вероятность отказа до единицы:

.

Абсолютная пропускная способность  СМО:

. (19)

Среднее число занятых  каналов. Для СМО с отказами оно  совпадало со средним числом заявок, находящихся в системе. Для СМО  с очередью среднее число занятых  каналов не совпадает со средним  числом заявок, находящихся в системе: последняя величина отличается от первой на среднее число заявок, находящихся  в очереди [9].

Обозначим среднее число  занятых каналов . Каждый занятый канал обслуживает в среднем -заявок в единицу времени, а СМО в целом обслуживает в среднем -заявок в единицу времени. Разделив одно на другое, получим:

.

Среднее число заявок в  очереди можно вычислить непосредственно  как математическое ожидание дискретной случайной величины:

, (20)

где .

Здесь опять (выражение в  скобках) встречается производная  суммы геометрической прогрессии (см. выше (11), (12) — (14)), используя соотношение  для нее, получаем:

.

Среднее число заявок в  системе:

.

Среднее время ожидания заявки в очереди. Рассмотрим ряд ситуаций, различающихся тем, в каком состоянии  застанет систему вновь пришедшая  заявка и сколько времени ей придется ждать обслуживания.

Если заявка застанет не все каналы занятыми, ей вообще не придется ждать (соответствующие члены в  математическом ожидании равны нулю). Если заявка придет в момент, когда  заняты все n-каналов, а очереди нет, ей придется ждать в среднем время, равное  (потому что «поток освобождений» -каналов имеет интенсивность ). Если заявка застанет все каналы занятыми и одну заявку перед собой в очереди, ей придется в среднем ждать в течение времени  (по  на каждую впереди стоящую заявку) и т. д. Если заявка застанет в очереди -заявок, ей придется ждать в среднем в течение времени . Если вновь пришедшая заявка застанет в очереди уже -заявок, то она вообще не будет ждать (но и не будет обслужена). Среднее время ожидания найдем, умножая каждое из этих значений на соответствующие вероятности:

[8]. (21)

Так же, как и в случае одноканальной СМО с ожиданием, отметим, что это выражение отличается от выражения для средней длины  очереди (20) только множителем , т. е.

.

Среднее время пребывания заявки в системе, так же, как и  для одноканальной СМО, отличается от среднего времени ожидания на среднее  время обслуживания, умноженное на относительную пропускную способность:

.

Системы с неограниченной длиной очереди. Мы рассмотрели -канальную СМО с ожиданием, когда в очереди одновременно могут находиться не более -заявок.

Так же, как и ранее, при  анализе систем без ограничений  необходимо рассмотреть полученные соотношения при .

Вероятности состояний получим  из формул предельным переходом (при ). Заметим, что сумма соответствующей геометрической прогрессии сходится при  и расходится при . Допустив, что  и устремив в формулах величину к бесконечности, получим выражения для предельных вероятностей состояний: 

(22)

Вероятность отказа, относительная  и абсолютная пропускная способность. Так как каждая заявка рано или  поздно будет обслужена, то характеристики пропускной способности СМО составят:

.

Среднее число заявок в  очереди получим при  из (20):

,

а среднее время ожидания — из (21):

.

Среднее число занятых  каналов , как и ранее, определяется через абсолютную пропускную способность:

.

Среднее число заявок, связанных  с СМО, определяется как среднее  число заявок в очереди плюс среднее  число заявок, находящихся под  обслуживанием (среднее число занятых  каналов):

.

Пример 2. Автозаправочная станция с двумя колонками обслуживает поток машин с интенсивностью  (машин в минуту). Среднее время обслуживания одной машины:

мин.

В данном районе нет другой АЗС, так что очередь машин перед АЗС может расти практически неограниченно. Найти характеристики СМО.

Имеем:

.

Поскольку , очередь не растет безгранично и имеет смысл говорить о предельном стационарном режиме работы СМО. По формулам (22) находим вероятности состояний:

 и т.д.

Среднее число занятых  каналов найдем, разделив абсолютную пропускную способность СМО  на интенсивность обслуживания :

.

Вероятность отсутствия очереди  у АЗС будет:

.

Среднее число машин в  очереди:

.

Среднее число машин на АЗС:

.

Среднее время ожидания в  очереди:

мин.

Среднее время пребывания машины на АЗС:

мин.

СМО с ограниченным временем ожидания. Ранее рассматривались  системы с ожиданием, ограниченным только длиной очереди (числом m-заявок, одновременно находящихся в очереди). В такой СМО заявка, разрастившая в очередь, не покидает ее, пока не дождется обслуживания. На практике встречаются СМО другого типа, в которых заявка, подождав некоторое время, может уйти из очереди (так называемые «нетерпеливые» заявки) [7].

Рассмотрим СМО подобного  типа, предполагая, что ограничение  времени ожидания является случайной  величиной.

Предположим, что имеется n-канальная СМО с ожиданием, в  которой число мест в очереди  не ограничено, но время пребывания заявки в очереди является некоторой  случайной величиной со средним  значением , таким образом, на каждую заявку, стоящую в очереди, действует своего рода пуассоновский «поток уходов» с интенсивностью:

.

Если этот поток пуассоновский, то процесс, протекающий в СМО, будет  Марковским. Найдем для него вероятности  состояний. Нумерация состояний  системы связывается с числом заявок в системе — как обслуживаемых, так и стоящих в очереди:

нет очереди: 

• — все каналы свободны; 
• — занят один канал; 
• — заняты два канала; 
• — заняты все -каналов;

есть очередь: 

• — заняты все -каналов, одна заявка стоит в очереди; 
• — заняты все -каналов, -заявок стоят в очереди и т. д.

Граф состояний и переходов  системы показан на рис. 23.

Рис. 23. СМО с ограниченным временем ожидания

Разметим этот граф, как  и раньше; у всех стрелок, ведущих  слева направо, будет стоять интенсивность  потока заявок . Для состояний без очереди у стрелок, ведущих из них справа налево, будет, как и раньше, стоять суммарная интенсивность потока обслуживании всех занятых каналов. Что касается состояний с очередью, то у стрелок, ведущих из них справа налево, будет стоять суммарная интенсивность потока обслуживания всех -каналов плюс соответствующая интенсивность потока уходов из очереди. Если в очереди стоят r-заявок, то суммарная интенсивность потока уходов будет равна  [6].

Как видно из графа, имеет  место схема размножения и  гибели; применяя общие выражения  для предельных вероятностей состояний  в этой схеме (используя сокращенные  обозначения ), запишем: