Моделирование систем массвого обслуживания

(24)

Отметим некоторые особенности  СМО с ограниченным ожиданием  сравнительно с ранее рассмотренными СМО с «терпеливыми» заявками.

Если длина очереди  не ограничена и заявки «терпеливы» (не уходят из очереди), то стационарный предельный режим существует только в случае  (при  соответствующая бесконечная геометрическая прогрессия расходится, что физически соответствует неограниченному росту очереди при ) [2].

Напротив, в СМО с «нетерпеливыми»  заявками, уходящими рано или поздно из очереди, установившийся режим обслуживания при  достигается всегда, независимо от приведенной интенсивности потока заявок . Это следует из того, что ряд для  в знаменателе формулы (24) сходится при любых положительных значениях  и .

Для СМО с «нетерпеливыми»  заявками понятие «вероятность отказа»  не имеет смысла — каждая заявка становится в очередь, но может и  не дождаться обслуживания, уйдя раньше времени.

Относительная пропускная способность, среднее число заявок в очереди. Относительную пропускную способность  такой СМО можно подсчитать следующим образом. Очевидно, обслужены будут все заявки, кроме тех, которые уйдут из очереди досрочно. Подсчитаем, какое в среднем число заявок покидает очередь досрочно. Для этого вычислим среднее число заявок в очереди: 

(25).

На каждую из этих заявок действует «поток уходов» с интенсивностью . Значит, из среднего числа -заявок в очереди в среднем будет уходить, не дождавшись обслуживания, -заявок в единицу времени и всего в единицу времени в среднем будет обслуживаться -заявок. Относительная пропускная способность СМО будет составлять:

[1].

Среднее число занятых  каналов  по-прежнему получаем, деля абсолютную пропускную способность на : 

(26)

Среднее число заявок в  очереди. Соотношение (26) позволяет  вычислить среднее число заявок в очереди , не суммируя бесконечного ряда (25). Из (26) получаем:

,

а входящее в эту формулу  среднее число занятых каналов  можно найти как математическое ожидание случайной величины , принимающей значения с вероятностями ,:

.

В заключение заметим, что  если в формулах (24) перейти к пределу  при  (или, что то же, при ), то при  получатся формулы (22), т. е. «нетерпеливые» заявки станут «терпеливыми» [3].

 

1.3 Замкнутые системы  массового обслуживания

 

До сих пор мы рассматривали  системы, в которых входящий поток  никак не связан с выходящим. Такие системы называются разомкнутыми. В некоторых же случаях обслуженные требования после задержки опять поступают на вход. Такие СМО называются замкнутыми. Поликлиника, обслуживающая данную территорию, бригада рабочих, закрепленная за группой станков, являются примерами замкнутых систем.

В замкнутой СМО циркулирует одно и то же конечное число потенциальных требований. Пока потенциальное требование не реализовалось в качестве требования на обслуживание, считается, что оно находится в блоке задержки. В момент реализации оно поступает в саму систему. Например, рабочие обслуживают группу станков. Каждый станок является потенциальным требованием, превращаясь в реальное в момент своей поломки. Пока станок работает, он находится в блоке задержки, а с момента поломки до момента окончания ремонта - в самой системе. Каждый рабочий является каналом обслуживания [2].

Пусть  - число каналов обслуживания,  - число потенциальных заявок, ,  - интенсивность потока заявок каждого потенциального требования, - интенсивность обслуживания:

.

Вероятность простоя системы  определяется формулой

.

Финальные вероятности состояний  системы:

 при  при .

Через эти вероятности  выражается среднее число занятых  каналов 

или

.

Через  находим абсолютную пропускную способность системы:

,

а также среднее число  заявок в системе

 [5]. 

 

Пример 1. На вход трехканальной СМО с отказами поступает поток заявок с интенсивностью  заявки в минуту, время обслуживания заявки одним каналом мин. Выгодно ли с точки зрения пропускной способности СМО заставить все три канала обслуживать заявки сразу, причем среднее время обслуживания уменьшается втрое? Как это скажется на среднем времени пребывания заявки в СМО?

Решение. Находим вероятность простоя трехканальной СМО по формуле

 

,

.

Вероятность отказа определяем по формуле:

 

.

Относительная пропускная способность  системы:

.

Абсолютная пропускная способность  системы:

.

Среднее число занятых  каналов определяем по формуле:

  

, доля каналов,  занятых обслуживанием,

.

Cреднее время пребывания заявки в СМО находим как вероятность того, что заявка принимается к обслуживанию, умноженную на среднее время обслуживания:  мин.

Объединяя все три канала в один, получаем одноканальную систему  с параметрами , . Для одноканальной системы вероятность простоя:

,

вероятность отказа:

,

относительная пропускная способность:

,

абсолютная пропускная способность:

.

Среднее время пребывания заявки в СМО:

 мин.

В результате объединения  каналов в один пропускная способность  системы снизилась, так как увеличилась  вероятность отказа. Среднее время  пребывания заявки в системе уменьшилось.

Пример 2. На вход трехканальной СМО с неограниченной очередью поступает поток заявок с интенсивностью  заявки в час, среднее время обслуживания одной заявки  ч. Найти показатели эффективности работы системы.

Для рассматриваемой системы  , , , . Определяем вероятность простоя по формуле:

.

.

Среднее число заявок в  очереди находим по формуле:

.

.

Среднее время ожидания заявки в очереди считаем по формуле: 
 .

 ч.

Среднее время пребывания заявки в системе:

. 

 

Пример 3. В парикмахерской работают 3 мастера, а в зале ожидания расположены 3 стула. Поток клиентов имеет интенсивность клиентов в час. Среднее время обслуживания  мин. Определить относительную и абсолютную пропускную способность системы, среднее число занятых кресел, среднюю длину очереди, среднее время, которое клиент проводит в парикмахерской.

Для данной задачи . Вероятность простоя определяем по формуле:

.

.

Вероятность отказа в обслуживании определяем по формуле

.

.

Относительная пропускная способность  системы, т.е. вероятность обслуживания:

.

Абсолютная пропускная способность:

.

Среднее число занятых  каналов:

.

Средняя длина очереди  определяется по формуле:

 

.

Среднее время ожидания обслуживания в очереди:

 ч.

Среднее число заявок в  СМО: 

.

Среднее время пребывания заявки в СМО:

ч. 

 

Пример 4. Рабочий обслуживает 4 станка. Каждый станок отказывает с интенсивностью  отказа в час, среднее время ремонта  ч. Определить пропускную способность системы.

Эта задача рассматривает  замкнутую СМО, , . Вероятность простоя рабочего определяем по формуле:

.

.

Вероятность занятости рабочего . Если рабочий занят, он налаживает -станков в единицу времени, пропускная способность системы:  станков в час.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 ПРАКТИЧЕСКАЯ  ЧАСТЬ

 

Задача:

Два рабочих обслуживают  группу из четырех станков. Остановки  работающего станка происходят в  среднем через 30 мин. Среднее время  наладки составляет 15 мин. Время  работы и время наладки распределено по экспоненциальному закону.

Найдите среднюю долю свободного времени для каждого рабочего и среднее время работы станка.

Найдите те же характеристики для системы, в которой:

1. за каждым рабочим закреплены два станка;
2. два рабочих всегда обслуживают станок вместе, причем с двойной интенсивностью;
3. единственный неисправный станок обслуживают оба рабочих сразу (с двойной интенсивностью), а при появлении еще хотя бы одного неисправного станка они начинают работать порознь, причем каждый обслуживает один станок (вначале опишите систему в терминах процессов гибели и рождения).

Решение:

Возможны следующие состояния  системы : 

– все станки исправны; 

– 1 станок ремонтируется, остальные исправны; 

– 2 станок ремонтируется, остальные исправны; 

– 3 станок ремонтируется, остальные исправны; 

– 4 станок ремонтируется, остальные исправны; 

– (1, 2) станки ремонтируются, остальные исправны; 

– (1, 3) станки ремонтируются, остальные исправны; 

– (1, 4) станки ремонтируются, остальные исправны;  

– (2, 3) станки ремонтируются, остальные исправны; 

– (2, 4) станки ремонтируются, остальные исправны; 

– (3, 4) станки ремонтируются, остальные исправны; 

– (1, 2, 3) станки ремонтируются, 4 станок исправен; 

– (1, 2, 4) станки ремонтируются, 3 станок исправен; 

– (1, 3, 4) станки ремонтируются, 2 станок исправен; 

– (2, 3, 4) станки ремонтируются, 1 станок исправен; 

– все станки ремонтируются.

Граф состояний системы…

Данная система S является примером замкнутой системы, так  как каждый станок является потенциальным  требованием, превращаясь в реальное в момент своей поломки. Пока станок работает, он находится в блоке задержки, а с момента поломки до момента окончания ремонта – в самой системе. Каждый рабочий является каналом обслуживания.

 отказ в час

 ч.

 

 

 (количество станков)

 (количество рабочих)

Вероятность простоя рабочего определяется по формуле:

 

 

.

Вероятность занятости рабочего:

..

Если рабочий занят, он налаживает μ-станков в единицу времени, пропускная способность системы:

 станков в час.. 

 

Ответ:

Средняя доля свободного времени  для каждого рабочего .

Среднее время работы станка .

а) За каждым рабочим закреплены два станка.

 отказа в час.

 ч.

 

 

(количество станков)

 (количество рабочих)

Вероятность простоя рабочего определяется по формуле:

 

 

.

Вероятность занятости рабочего:

.

Если рабочий занят, он налаживает μ-станков в единицу времени, пропускная способность системы:

 стакана в час.

Ответ:

Средняя доля свободного времени  для каждого рабочего .

Среднее время работы станка .

б) Два рабочих всегда обслуживают станок вместе, причем с двойной интенсивностью.

в) Единственный неисправный  станок обслуживают оба рабочих  сразу (с двойной интенсивностью), а при появлении еще хотя бы одного неисправного станка они начинают работать порознь, причем каждый обслуживает  один станок (вначале опишите систему  в терминах процессов гибели и  рождения).

Сравнение 5 ответов:

Наиболее эффективным  способом организации рабочих за станками будет являться начальный  вариант задачи.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 

 

Выше были рассмотрены  примеры простейших систем массового  обслуживания (СМО). Понятие «простейшие» не означает «элементарные». Математические модели этих систем применимы и успешно  используются в практических расчетах.

Возможность применения теории принятия решений в системах массового  обслуживания определяется следующими факторами:

1. Количество заявок в  системе (которая рассматривается  как СМО) должно быть достаточно  велико (массово).

2. Все заявки, поступающие  на вход СМО, должны быть  однотипными.