Виды средних величин

Средняя может быть вычислена не для всех, а для какой-либо части единиц совокупности. Примером такой средней может быть средняя прогрессивная как одна из частных средних, вычисляемая не для всех, а только для "лучших" (например, для показателей выше или ниже средних индивидуальных).

4. Средняя геометрическая

Если значения осредняемого признака существенно отстоят друг от друга или заданы коэффициентами (темпы роста, индексы цен), то для расчёта применяют среднюю геометрическую.

Средняя геометрическая исчисляется извлечением корня степени и из произведений отдельных значений — вариантов признака х:

где n — число вариантов; П — знак произведения.

Наиболее широкое применение средняя геометрическая получила для определения средних темпов изменения в рядах динамики, а также в рядах распределения.

5 Средняя хронологическая  величина

Если значения осредняемого признака известны на несколько равноотстающих дат внутри определённого временного периода, расчёт производится по средней хронологической:

,

где  - значение осредняемого признака; n – число дат внутри периода, на которые заданы значения х.

По средней хронологической исчисляется среднегодовая стоимомть основных фондов предприятия из данных о наличии на начало каждого месяца; средний остаток вкладов на счетах в банке по информации на начало месяца.

1.2 Структурные  средние. 

 

Структурные средние – вспомогательные характеристики изучаемой статистической совокупности; ими являются мода и медиана. В отличии от степенных средних структурные средние имеют не обобщенное значение признака, а вполне конкретное, т.е. значение одной их вариант.

Наиболее часто используемыми в экономической практике структурными средними являются мода и медиана.

1. Мода

Мода Мо – значение случайной величины, встречающееся с наибольшей вероятностью, в дискретном вариационном ряду – вариант, имеющий наибольшую частоту.

В интервальных вариационных рядах моду определяют приближенно по формуле

,

где - начальное значение интервала, содержащего моду;

- величина модального интервала;

- частота модального интервала;

- частота интервала, предшествующего  модальному;

- частота интервала, следующего  за модальным.

3.2.2. Медиана

Медиана Ме – это вариант, который находится в середине вариационного ряда. Медиана делит ряд на две равные (по числу единиц) части – со значениями признака меньше медианы и со значениями признака больше медианы.

Что бы найти медиану необходимо отыскать значение признака, которое находится в середине упорядоченного ряда. В ранжированных рядах несгруппированных данных нахождение медианы сводится к отысканию порядкового номера медианы.

В интервальных вариационных рядах медиана определяется по формуле:

, где 

x0 - нижняя гранича медианного интервала;

iMe - величина медианного интервала;

Sme-1 - сумма накопленных частот до медианного интервала;

fMe - частота медианного интервала.

 

Мода и медиана, как правило, отличаются от значения средней, совпадая с ней только в случае симметричного распределения частот вариационного ряда. Поэтому соотношение моды, медианы и средней арифметической позволяет оценить ассиметрию ряда распределения.

Мода и медиана, как правило, являются дополнительными к средней характеристиками совокупности и используются в математической статистике для анализа формы рядов распределения.

Аналогично медиане вычисляются значения признака, делящие совокупность на четыре равные (по числу единиц) части — квартели, на пять равных частей — квинтели, на десять частей — децели, на сто частей — перцентели.

 

 

 

 

II. Расчетная часть

Вариант № 1

Задача № 1.

По условию задачи в таблице приведены данные о работе 24 заводов в одной из отраслей промышленности

 

№ п/п	Среднегодовая стоимость основных производственных фондов, млн. руб.	Среднесписочное число работающих за отчетный период, чел.	Производство продукции за отчетный период, млн. руб.	Выполнение плана, %
1	3,0	360	3,2	103,1
2	7,0	380	9,6	120,0
3	2,0	220	1,5	109,5
4	3,9	460	4,2	104,5
5	3,3	395	6,4	104,8
6	2,8	280	2,8	94,3
7	6,5	580	9,4	108,1
8	6,6	200	11,9	125,0
9	2,0	270	2,5	101,4
10	4,7	340	3,5	102,4
11	2,7	200	2,3	108,5
12	3,3	250	1,3	102,1
13	3,0	310	1,4	112,7
14	3,1	410	3,0	92,0
15	3,1	635	2,5	108,0
16	3,5	400	7,9	111,1
17	3,1	310	3,6	96,9
18	5,6	450	8,0	114,1
19	3,5	300	2,5	108,0
20	4,0	350	2,8	107,0
21	1,0	330	1,6	100,7
22	7,0	260	12,9	118,0
23	4,5	435	5,6	111,9
24	4,9	505	4,4	104,7

 

Исходя из поставленного условия, требуется сгруппировать заводы по среднегодовой стоимости основных производственных фондов, образовав 5 групп заводов с равными интервалами, рассчитать по каждой группе и в целом:

• количество заводов и их удельный вес;
• среднесписочное число работающих;
• производство продукции;
• средний процент выполнения плана.

Проанализировать данные таблицы и сделать выводы.

Для того, чтобы решить данную задачу необходимо выполнить аналитическую группировку статистических данных для установления зависимости между результативным признаком (среднегодовая стоимость основных производственных фондов) и факторными признаками.

Для этого необходимо определить величину интервала, которая определяется по формуле:

i=(Xmax Xmin)/n

где: Xmax  = 7 млн. руб.,

        Xmin  = 1 млн. руб ,

n = 5 (заданное число групп)

Воспользовавшись данной формулой на основании исходных данных можно определить величину интервала для заданного примера.

i=(7-1)/5 = 1,2 млн. руб.

Преобразуем исходную таблицу

№ группы	№ п/п	Среднегодовая стоимость основных производственных фондов, млн. руб.	Среднесписочное число работающих за отчетный период, чел.	Производство продукции за отчетный период, млн. руб.	Выполнение плана, %
1	1	1	330	1,6	100,7
	2	2	220	1,5	109,5
	3	2	270	2,5	101,4
2	4	2,7	200	2,3	108,5
	5	2,8	280	2,8	94,3
	6	3	360	3,2	103,1
	7	3	310	1,4	112,7
	8	3,1	410	3	92
	9	3,1	635	2,5	108
	10	3,1	310	3,6	96,9
	11	3,3	395	6,4	104,8
	12	3,3	250	1,3	102,1
3	13	3,5	400	7,9	111,1
	14	3,5	300	2,5	108
	15	3,9	460	4,2	104,5
	16	4	350	2,8	107
	17	4,5	435	5,6	111,9
4	18	4,7	340	3,5	102,4
	19	4,9	505	4,4	104,7
	20	5,6	450	8	114,1
5	21	6,5	580	9,4	108,1
	22	6,6	200	11,9	125
	23	7	380	9,6	120
	24	7	260	12,9	118

 

Сформируем группы заводов, каждая из которых, как и их совокупность в целом, характеризуется приведенными в условии задачи показателями. Результат представлен ниже в таблице.

 

№ группы	Среднегодовая стоимость основных производственных фондов, млн. руб.	Количество заводов, ед.	Удельный вес заводов в общем количестве, %	Среднесписочное число работающих за отчетный период, чел.	Производство продукции за отчетный период, млн. руб.	Средний процент выполнения плана, %
1	1-2,2	3	12,5%	273	5,6	103,2%
2	2,2-3,4	9	37,5%	350	26,5	101,5%
3	3,4-4,6	5	20,8%	389	23,0	109,2%
4	4,6-5,8	3	12,5%	432	15,9	108,7%
5	5,8-7	4	16,7%	355	43,8	117,9%
Итого:		24	100%	8630	114,8	109,99%

 

Наряду со средней арифметической, в статистике применяется средняя гармоническая величина,  обратная  средней  арифметической из обратных значений признака. Как и средняя арифметическая, она может быть простой и взвешенной.

Для расчетов средних величин воспользуемся средней арифметической простой и средней гармонической взвешенной:

Среднесписочное число работающих за отчетный период по каждой  рассчитывается при помощи средней арифметической простой   следующим образом.

Группа 1

 

И так далее, по каждой группе.

Производство продукции за отчетный период рассчитывается путем суммирования данного показателя по всем заводам в каждой группе.

Группа 1

 И так далее, по каждой  группе.

Средний процент выполнения плана по каждой группе рассчитывается при помощи средней гармонической взвешенной. Формула для расчета средней гармонической взвешенной общем виде выглядит следующим образом:

где (в нашем случае):

n -  производство продукции за отчетный период, млн. руб.;

х -  средний процент выполнения плана, %.

Подставив в данную форму  имеющиеся данные, рассчитаем средний % выполнения плана по 1 группе:

Группа 1

И так далее, по каждой группе.

Средний % выполнения плана в целом по отрасли рассчитывается аналогично средней, рассчитанной по каждой группе при помощи средней гармонической взвешенной.

 

На основании проделанных расчетов можно сделать следующие выводы: 

- общее количество заводов в  отрасли – 24;

-  наибольший удельный вес  занимает группа II,  которая включает 9 заводов - 37,5% от общего количества заводов в отрасли;

- общее среднесписочное число  работающих за отчетный период  в целом по отрасли – 8630 чел;

- максимальное среднесписочное число работающих приходится на группу II и составляет 3150 чел;

- общий объем производства продукции  в целом по отрасли за отчетный период составляет  114,8 млн. руб.;

- наибольшее количество продукции произведено в группе V  и составляет  43,8 млн. руб.;

- наименьшее количество продукции  произведено в группе I и составляет 5,6 млн. руб.;

- средний процент выполнения  плана в целом по отрасли  составляет 109,99%;

- наибольший средний процент выполнения плана приходится на группу V и составляет  117,9 %

-  минимальная величина  среднего процента выполнения плана в приходится на группу II и составляет  101,5%.

 

Задача № 2.

 

По данным варианта определить:

1. Показатели динамики с постоянной и переменной базой сравнения.
2. Графически изобразить ряд динамики в зависимости от номера варианта.
3. Рассчитать среднегодовые показатели динамики.
4. Произвести сглаживание ряда методом 3-х летней скользящей средней.
5. Выровнять ряд по прямой.
6. Построить графики искомого и выровненных рядов (линейные диаграммы).
7. Использовать полученное уравнение для экстраполяции уровней на 2006 г.
8. Сделать выводы.