Виды средних величин

 

Имеются данные по числу построенных квартир, тыс.шт. за 1997-2003 гг.

 

№ варианта	Годы	1997	1998	1999	2000	2001	2002	2003
I	Число построенных квартир, тыс. шт.	88,5	92,1	99,7	92,7	94,4	86,9	75,7

         Решение задачи.

1. Показатели динамики  с постоянной и переменной  базой сравнения.

Показатели с переменной базой сравнения (цепные)

Цепные аналитические показатели динамики определяются по формулам:

   абсолютный прирост;

    коэффициент роста;

   темп роста;

  коэффициент прироста;

 темп прироста;

где Yi, Yi-1 – уровни ряда динамики за рассматриваемый и предшествующий периоды.

1. Абсолютный прирост - представляет собой разность между двумя уровнями ряда и показывают, насколько в абсолютном выражении уровень текущего периода > или < уровня предшествующего периода.

А1= 92,1-88,5 = 3,6 тыс.шт.;

А2= 99,7-92,1 = 7,6 тыс.шт.;

А3= 92,7-99,7 = -7 тыс.шт.;

А4= 94,4-92,7 = 1,7 тыс.шт.;

А5= 86,9-94,4 = -7,5 тыс.шт.;

А6= 75,7-86,9 = -11,2 тыс.шт..

2. Коэффициент и темп роста - показывает, во сколько раз уровень текущего периода > или < уровня предшествующего периода или сколько %  по отношению к нему он составляет.

      a) коэффициент роста    б) темп роста

Кр1= 92,1/88,5 = 1,04;		Тр1= 92,1/88,5*100 = 104,07 %;
Кр2= 99,7/92,1 = 1,08;		Тр2= 99,7/92,1*100 = 108,25 %;
Кр3= 92,7/99,7 = 0,93;		Тр3= 92,7/99,7*100 = 92,98 %;
Кр4= 94,4/92,7 = 1,02;		Тр4= 94,4/92,7*100 = 101,83 %;
Кр5=86,9/94,4 = 0,92;		Тр5= 86,9/94,4*100 = 92,05 %;
Кр6= 75,7/86,9 = 0,87.		Тр6= 75,7/86,9*100 = 87,11 %.

3. Коэффициент или темп прироста - это отношение абсолютного прироста к предшествующему уровню

  

          а) Коэффициент  прироста               б) темп прироста

Кпр1= 1,04-1 = 0,04;		Тпр1= 104,07-100 = 4,07 %;
Кпр2= 1,08-1 = 0,08;		Тпр2= 108,25-100 = 8,25 %;
Кпр3= 0,93-1 = -0,07;		Тпр3= 92,98-100 = -7,02 %;
Кпр4= 1,02-1 = 0,02;		Тпр4= 101,83-100 = 1,83 %;
Кпр5= 0,93-1 = -0,08;		Тпр5= 92,05-100 = -7,95 %;
Кпр6= 0,87-1 = -0,13.		Тпр6= 87,11-100 = -12,89 %.

 

Постоянная база сравнения

Для расчета базисных показателей динамики используются формулы:

 абсолютный прирост;

  коэффициент роста;

 темп роста;

 коэффициент прироста;

 темп прироста;

где – начальный уровень ряда динамики, принятый за базу сравнения.

1. Абсолютный прирост - представляет собой разность между двумя уровнями ряда и показывают, насколько в абсолютном выражении уровень текущего периода > или < уровня базисного периода.

А1= 92,1-88,5 = 3,6 тыс.шт.;

А2= 99,7-88,5 = 11,2 тыс.шт.;

А3= 92,7-88,5 = 4,2 тыс.шт.;

А4= 94,4-88,5 = 5,9 тыс.шт.;

А5= 86,9-88,5 = -1,6 тыс.шт.;

А6= 75,7-88,5 = -12,8 тыс.шт.;

2. Коэффициент и темп роста - показывает, во сколько раз уровень текущего периода > или < уровня базисного периода или сколько %  по отношению к нему он составляет.

      a) коэффициент роста    б) темп роста

Кр1= 92,1/88,5 = 1,04;		Тр1= 92,1/88,5*100 = 104 %;
Кр2= 99,7/88,5 = 1,13;		Тр2= 99,7/88,5*100 = 113 %;
Кр3= 92,7/88,5 = 1,03;		Тр3= 92,7/88,5*100 = 103 %;
Кр4= 94,4/88,5 = 1,07;		Тр4= 94,4/88,5*100 = 107 %;
Кр5= 86,9/88,5 = 0,98;		Тр5= 86,9/88,5*100 = 98 %;
Кр6= 75,7/88,5 = 0,85.		Тр6= 75,7/88,5*100 = 85 %.

 

3. Коэффициент или темп прироста показывает в относительном выражении и в процентах какую часть прирост текущего периода составляет по отношению к базисному периоду.

      а) Коэффициент прироста    б) темп прироста

Кпр1= 1,04-1 =0,04;		Тпр1= 104-100 = 4 %;
Кпр2= 1,11-1= 0,11;		Тпр2= 113-100 = 13 %;
Кпр3= 1,03-1 = 0,03;		Тпр3= 103-100 = 3 %;
Кпр4= 1,07-1 = 0,07;		Тпр4= 107-100 = 7 %;
Кпр5= 0,98-1 = -0,02;		Тпр5= 98-100 = -2 %;
Кпр6= 0,85-1 = -0,15.		Тпр6= 85-100 = -15 %.

 

2. График ряда динамики.

№ варианта	Анализируемый период	1997	1998	1999	2000	2001	2002	2003
I	Число построенных квартир, тыс. шт.	88,5	92,1	99,7	92,7	94,4	86,9	75,7

    

                         

3. Среднегодовые показатели  динамики.

Абсолютное значение одного процента прироста |Ai1%| определяется цепным способом и представляет собой отношение абсолютного прироста к темпу прироста:

.

А(1%)1= 3,6/4,07 = 0,88 тыс.шт.;

А(1%)2= 76/8,25 = 0,92 тыс.шт.;

А(1%)3= -7/-7,02 = 0,997 тыс.шт.;

А(1%)4= 1,7/1,83 = 0,928 тыс.шт.;

А(1%)5= -7,5/-7,95 = 0,94 тыс.шт.;

А(1%)6= -11,2/-12,89 = 1,69 тыс.шт.

Средний уровень интервального ряда динамики | | с равными интервалами рассчитывается по формуле:

= = = =90 тыс.шт.

где - сумма уровней ряда динамики;

       n – число уровней ряда в анализируемом периоде.

=90 тыс.шт.

Средний абсолютный прирост уровней ряда динамики | | может быть исчислен как средняя арифметическая простая величины цепных абсолютных приростов:

или = = -2,1 тыс.шт.

=-2,1 тыс.шт.

Средний коэффициент определяется по формуле средней геометрической двумя способами:

1. исходя из цепных темпов роста в виде коэффициентов:

= = 0,97на основе базисного коэффициента роста за весь период:

 или  = = 0,97

где n – число коэффициентов или уровней ряда без базисного.

=0,97

Средний темп прироста уровней ряда динамики исчисляется по формулам:

/в виде коэффициента/ 0,97-1 = -0,03

/в процентах/

 = -0,03;

= -3%.

 

 

4. Сглаживание ряда  методом трехлетней скользящей  средней.

 

Метод скользящей средней позволяет заменить конкретный ряд динамики более плавным, сглаженным. Для нашего примера период сглаживания - 3.

Результат сглаживания приведен  ниже в таблице

Y среднее = Y1+Y2+Y3 / 3

 

Годы	1997	1998	1999	2000	2001	2002	2003
Y	88,5	92,1	99,7	92,7	94,4	86,9	75,7
Y среднее		93,43	94,83	95,6	91,33	85,67

Сглаживание ряда динамики показывает изменение количества построенного жилья на протяжении всего исследуемого интервала за 1997 по 2003 г.;

 

5. Выравнивание ряда  по прямой.

Аналитическое выравнивание заключается в замене эмпирического ряда динамики рядом условным, вычисленным на основе определенной кривой, выбранной в предположении, что она адекватно отразит общие направления изменения во времени изучаемого явления. В случае аналитического выравнивания по прямой ряд реальных чисел заменяется рядом закономерно изменяющихся чисел по следующему уравнению:

 

 где - теоретический уровень;

          a и b – коэффициенты уравнения;

           t – время.

 

Параметры  a  и  b  для  искомой  прямой  находим  путем  решения  системы  нормальных уравнений, полученных по способу наименьших квадратов.

 

 

где  y - уровни эмпирического ряда;

       n - число уровней ряда.

 

Из системы уравнений получим:

 

Расчетные величины системы уравнений представлены ниже в таблице

№	1	2		3		4		5		6		7
Годы	1997	1998		1999		2000		2001		2002		2003
ti	1	2		3		4		5		6		7
yi	88,5	92,1		99,7		92,7		94,4		86,9		75,7
Сумма yi	630
ti*yi	88,5	184,2		299,1		370,8		472		521,4		529,9
Сумма ti*yi	2465,9
ti	1		2		3		4		5		6		7
Сумма ti	140

 

Отсюда: а = = = 97,72

 

               b = = =

 

a=97,72;

b=-1,93.

 

Таким образом, уравнение имеет следующий вид:

y=97,72-1,93xt

 

6. Графики искомого, сглаженного и выровненного рядов.

 

 

 

  
Выровненный ряд:

1997 год = 97,72-1,93*1 = 95,76 тыс.шт.;

1998 год = 97,72-1,93*1 = 93,86 тыс.шт.;

1999 год = 97,72-1,93*2 = 91,93 тыс.шт.;

2000 год = 97,72-1,93*3 = 90 тыс.шт.;

2001 год = 97,72-1,93*4 = 88,07 тыс.шт.;

2002 год = 97,72-1,93*5 = 86,14 тыс.шт.;

2003 год = 97,72-1,93*6 = 84,21 тыс.шт.

 

7. Экстраполяция уровней  на 2006 г.

 

Для того чтобы проследить динамику исследуемого ряда до 2006 года включительно, в полученное в п. 5 уравнение подставляем t = 10. Таким образом, число построенных квартир  в 2006 году составит:

V 2006 г.=97,72-1,93×10=78,42 тыс.шт.,

Выводы: Произведение расчеты позволяют нам сделать вывод об отрицательной динамике количества построенных квартир. Другими словами, полученные расчеты говорят о  уменьшении количества построенных квартир к 2006 году.

 

 

Задача № 3.

Глубина скважин в районе бурения характеризуется следующими данными:

 

Группы скважин по глубине, м	Число скважин
200-400	4
400-600	8
600-800	32
800-1000	30
1000-1200	18
1200-1400	8
Итого	100

Определите моду и медиану.

Решение:

Чтобы найти моду, первоначально определим модальный интервал данного ряда. Из примера видно, что наибольшая частота соответствует интервалу, где варианта лежит в пределах от 600 до 800. Это и есть модальный интервал. Величина модального интервала равна 200.

Подставляя числовые значения из таблицы  в формулу

,

где - начальное значение интервала, содержащего моду;

- величина модального интервала;

- частота модального интервала;

- частота интервала, предшествующего  модальному;

- частота интервала, следующего  за модальным., получим:

Мо = 600 + 200 * (32 -8)/((32 – 8) + (32 – 30)) = 784,615 м

Исчислим теперь медиану. Для нахождения медианы в интервальном вариационном ряду определяем сначала интервал, в котором она находится (медианный интервал). Таким интервалом будет такой, комулятивная частота которого равна или превышает половину суммы частот. Комулятивные частоты образуются путем постепенного суммирования частот, начиная от интервала с наименьшим значением признака. Половина суммы частот у нас равна 50 (100:2). Следовательно, согласно таблицы медианным интервалом будет интервал со значением заработной платы от 800 метров до 1000 метров. До этого интервала сумма накопленных частот составила 44. Следовательно, чтобы получить значение медианы, необходимо прибавить еще 6 единиц (50 – 44).