Нормальное распределение

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЕГАЗОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ИНСТИТУТ ГЕОЛОГИИ И НЕФТЕГАЗОДОБЫЧИ

КУРСОВАЯ РАБОТА

На тему: «Нормальное распределение»

Выполнил: Ярославцев А. М.

Проверил: Агафонова Н. Ю.

Тюмень, 2012

Содержание

I.              Теоретические основы закона о нормальном распределении случайной величины……..3

1.       Случайная величина и её основные характеристики……………………………………………...3

1.1.   Определения.………………………………………………………………………………………3

1.2.   Гистограмма. Полигон частот. Непрерывное распределение………………………………….5

1.3.   Свойства основных характеристик случайной величины……………………………………...6

1.4.   Свойства показателей вариации………………………………………………………………….7

2.       Функции распределения случайной величины. Свойства………………………………………...8

2.1.   Функция распределения…………………………………………………………………………..8

2.2.   Свойства функции распределения……………………………………………………………...10

2.3.   Свойства функции плотности распределения………………………………………………….10

3.       Нормальное распределение………………………………………………………………………..13

3.1.   Определение нормального распределения……………………………………………………..13

3.2.   Свойства нормального распределения…………………………………………………………17

3.3.   Сравнение экспериментального распределения с нормальным законом…………………….19

4.       Моделирование нормальной случайной величины………………………………………………22

4.1.   Центральная предельная теорема……………………………………………………………….22

4.2.   Преобразования Бокса-Мюллера……………………………………………………………….23

5.       Проверка статистических гипотез…………………………………………………………………25

5.1.   Этапы проверки статистических гипотез………………………………………………………28

5.2.   Виды критической области……………………………………………………………………...29

5.3.   Критерий хи-квадрат Пирсона…………………………………………………………………..29

5.4.   Критерий Колмагорова…………………………………………………………………………..30

5.5.   Критерий Вилкоксона……………………………………………………………………………31

5.6.   Критерий Стьюдента…………………………………………………………………………….32

II.            Краткий обзор теории по петрофизики………………………………………………………...34

1.       Определение петрофизики…………………………………………………………………………34

2.       Проницаемость……………………………………………………………………………………...36

2.1.   Определение. Уравнение Дарси………………………………………………………………...36

2.2.   Определение проницаемости в лабораторных условиях……………………………………...39

III.         Сопоставление экспериментальных данных с нормальным законом распределения…..42

I. Теоретические основы закона о нормальном распределении случайной величины.

1.                       Случайная величина и её основные характеристики.

1.1. Определения

Случайной называют величину, принимающую в результате эксперимента одно только значение из некоторой их совокупности и неизвестное заранее, какое именно.

Случайная величина, к примеру, представляет собой обоснованную модель описания геологических данных, учитывающую влияние различных факторов на физическое поле.

Как и результат отдельного эксперимента, точное значение случайной величины предсказать нельзя, можно лишь установить ее статистические закономерности, т.е. определить вероятности значений случайной величины. Например, измерения физических свойств горных пород являются наблюдениями соответствующих случайных величин.

Среди случайных величин, с которыми приходится встречаться геологу, можно выделить два основных типа: величины дискретные и величины непрерывные.

Дискретной случайной величиной называется такая, которая может принимать конечное или бесконечное счетное множество значений.

В качестве типичных примеров дискретной случайной величины могут выступать все результаты полевых работ, все результаты экспериментов, привезенные c поля образцы и пр.

Всевозможные n значений случайной величины образуют полную группу событий, т.е. ,где n - конечное или бесконечное.

Поэтому можно говорить, что случайная величина обобщает понятие случайного события.

Пусть в результате исследований был получен следующий ряд данных по количественному составу некоторой породы: 4; 3; 1; 2; 5; 4; 2; 2; 3; 1; 5; 4; 3; 5; 5; 2; 5; 5; 6; 1. Всего было проведено 20 испытаний. Для того, чтобы с данными было удобно работать, их преобразовали: расположили полученные значения по возрастанию и подсчитали количество появления каждого из значений. В результате получили таблицу

Распределение данных по возрастанию называется ранжированием.

Наблюдаемое значение некоторого признака случайной величины называется вариантом.

Ряд, составленный из вариант, называется вариационным рядом.

Изменение некоторого признака случайной величины называется варьированным.

Число, показывающее сколько раз варьируется данная варианта, называется частотой и обозначается .

Вероятность появления данной варианты равно отношению частоты к общей сумме вариационного ряда 

При статистическом анализе экспериментальных данных главным образом используется дискретные величины. Ниже будут приведены основные числовые характеристики этих величин, имеющих важное практическое значение при обработке экспериментальных данных.

Математическое ожидание

- характеризует положение случайной величины на числовой оси;

Среднее значение  ;

Мода  , значения соответствующее максимальной частоте;

Медиана  - если n четное

                              - если n четное

- это такое значение, которое находится в центре ранжированного ряда.;

Дисперсия 

- характеризует рассеяние случайной величины вокруг среднего значения;

Среднее квадротическое отклонение 

- Характеризует действительное рассеяние случайной величины вокруг среднего значения;

Коэффициент вариации 

- наряду с дисперсией характеризует изменчивость случайной величины;

Центральное нормированное уклонение  ;

Центральный момент k-того порядка  ;

Ассиметрия распределения  ;

Эксцесс распределения 

В заключении заметим, что, если результат эксперимента описывается двумя и более случайными величинами, то говорят о системе случайных величин.

1.2.                 Гистограмма. Полигон частот. Непрерывное распределение

Для экспериментальной информации характерно большое количество разнообразных наблюдаемых значений, которые отличаются друг от друга на небольшую величину. В таком случае рекомендуется от дискретного распределения перейти к непрерывному ряду. Данный переход может выполняться двумя способами.

Первый способ рекомендуется для длинных рядов ( ). Этот переход основан на использовании коэффициента Стэрджеса

определяющий шаг дискретизации интервала экспериментальных данных.

• наибольшее и   - наименьшее значения вариант исследуемого вариационного ряда;

N - длина вариационного ряда (общее количество измерений);

3,222 -константа, определяемая из предположения, что данное распределение нормально.

Весь интервал разбивают следующим образом

.

.

.

И завершают разбиение тогда, когда выполняется неравенство

И на каждом полученном полуинтервале подсчитываются значения , отвечающие условию .

Второй способ рекомендуется для коротких рядов ( ). В этом случае задается не шаг, а количество интервалов разбиения. Как правило, выбирают 10 интервалов. Тогда шаг разбиения вычисляется по приближенной формуле

Полигон частот и гистограмма описывают распределение частот , определяемых для каждого значения случайной величины. При построении этих графиков не существует строгих методов выбора конечного числа интервалов или значений, однако рекомендуют, если переходить от дискретного к непрерывному распределению.

В заключении отметим, что довольно часто по оси OY откладывают значения вместо .

1.3. Свойства основных характеристик случайной величины

К основным характеристикам случайной величины относятся математическое ожидание, среднее значение, мода, медиана, дисперсия и среднеквадратичное отклонение. Рассмотрим подробнее их свойства.

Если случайная величина независимая (это всегда, если речь идет об экспериментальных данных), то можно убедиться, что формулы ожидания и среднего значения совпадают, т.е. . Этот факт широко используют на практике.

Свойство 1. Сумма наблюдаемых данных остается неизменной, если каждое из них заменить средним арифметическим.

Часто на практике используют для оценки рядов наблюдений среднее q-го порядка:

Если , то формула имеет вид

Формула называется среднеквадратическим.

Свойство 2. Средняя сумма отклонений значений ряда от среднего значения ряда равна нулю:

Свойство 3. Среднее постоянной величины равна самой постоянной

Свойство 4. Если от каждого значения ряда отнять (прибавить) постоянную, то среднее тоже уменьшиться (увеличится) на эту же величину: