Нормальное распределение

Двухвыборочный t-критерий для независимых выборок

Пусть имеются две независимые выборки объемами нормально распределенных случайных величин . Необходимо проверить по выборочным данным нулевую гипотезу равенстве математических ожиданий этих случайных величин .

Рассмотрим разность выборочных средних . Очевидно, если нулевая гипотеза выполнена . Дисперсия этой разности равна исходя из независимости выборок: . Тогда используя несмещенную оценку дисперсии получаем несмещенную оценку дисперсии разности выборочных средних: . Следовательно, t-статистика для проверки нулевой гипотезы равна

Эта статистика при справедливости нулевой гипотезы имеет распределение , где

Случай одинаковой дисперсии

В случае, если дисперсии выборок предполагаются одинаковыми, то . Тогда t-статистика равна:

Эта статистика имеет распределение

II.                      Краткий обзор теории по петрофизике

1. Определение Петрофизики

Петрофизика (физика горных пород) — дисциплина естестествознания, в которой изучают закономерности изменения физических свойств горных пород и связи между этими свойствами.

Физические свойства горных пород — это их способность взаимодействовать с естественными физическими полями Земли (гравитационным, магнитным, тепловым) или с искусственно созданными физическими полями (волновым, радиоактивным, полем давлений флюидов, оптическим и другими), создаваемыми в горных породах.

Физические свойства однородных и однофазных горных пород и минералов в значительной мере обусловлены строением атомов химических элементов их слагающих. Так, электрические, тепловые, а также диа- и парамагнитные свойства пород определяются строением внешней электронной оболочки; ферромагнитные — внутренней электронной оболочки; радиоактивные — строением ядра; плотность и упругость— строением ядра и внешней электронной оболочки [6J.

Физические свойства гетерогенных и многофазных горных пород (например, обломочных, глинистых и карбонатных), помимо свойств атомов  в значительной мере определяются степенью неоднородности пород, которая может быть охарактеризована емкостными, капиллярными и газо-, гидродинамическими свойствами.

Верхняя часть земной коры (литосфера), доступная сегодня для непосредственного изучения, сложена горными породами трех главных групп: магматическими, осадочными и метаморфическими.

Имеется существенное различие физических свойств пород как между названными группами, так и внутри каждой из них. Неоднородность физических свойств лежит в основе возможности дистанционного изучения строения литосферы, слагающих ее горных пород и выявление в них полезных ископаемых с помощью геофизических методов.

Каковы место и роль петрофизики при геофизических исследованиях?

Технологический цикл любого геофизического исследования состоит из трех этапов:

1) измерения параметров физического поля в неоднородной среде;

2) геофизической интерпретации результатов этих измерений с целью определения физических свойств и построения вероятной геометрии физической модели изучаемой среды;

3) геологической интерпретации физической модели и построения физико-геологической модели изучаемой среды.

В результате измерения свойств физического поля с помощью чувствительных датчиков мы получаем сведения о кажущихся параметрах физического поля. Конструкция датчика (прибора), его принцип построения и метрологические характеристики— основные звенья этого этапа геофизических исследований.

В основе геофизической интерпретации лежат методы и результаты решения прямых геофизических задач — палетки, номограммы, формулы, позволяющие учесть влияние различного вида неоднородностей и главным образом ближней зоны.

Основой для геологической интерпретации геофизических данных служат петрофизические связи, позволяющие перейти от неоднородностей, обусловленных физическими свойствами среды, к геологическим объектам, сложенным горными породами определенных литологических свойств.

При региональных исследованиях в качестве элементов физико-геологической модели выступают ассоциации горных пород, крупные структурные единицы и стратиграфические подразделения, которые определяются своим комплексом физических свойств, диапазоном их изменения.

Построение надежной физико-геологической модели требует использования комплексных геофизических исследований и привлечения априорной геологической информации. И то и другое нуждается в подтверждении обоснованными петрофизическими связями. От этого зависит конечный итог геофизических исследований— уровень понимания геологического строения региона, надежность поисков месторождений полезных ископаемых, промышленная оценка запасов этих ископаемых.

Разработка методических основ и приборов для изучения физических свойств горных пород началась одновременно с созданием и развитием методов прикладной геофизики. Еще в 1920—1960 гг. многими советскими геофизиками (Б. А. Андреев, М. П. Воларович, Г. А. Гамбурцев, И. И. Гурвич, В. Н. Дахнов, А. И. Заборовский, С. Г. Комаров, А. А. Логачев, Е. А. Любимова, Л. Я. Нестеров, Н. Н. Пузырев, А. С. Семенов, А. Г. Тархов, В. В. Федынский, Я. Н. Френкель и др.) и зарубежными исследователями (С. Акимото, Ф. Берч, Ф. Берне, М. Био, В. Вакье, М. Вилли, В. Винзауэр, Ф. Гассман, X. Джеффрис, Т. Нагата и др.) были выполнены важные петрофизические исследования.

Однако петрофизика как самостоятельная дисциплина сформировалась лишь в начале 60-х годов. В 1962 г. вышел первый учебник В. Н. Кобрановой, были опубликованы обобщающие работы в области петрофизики.

2.                       Проницаемость

Проницаемость — это свойство горных пород фильтровать через себя флюиды (жидкости или газа) под воздействием градиента давления. Почти все осадочные породы с первичной пористостью обладают проницаемостью. Лучшую проницаемость имеют грубообломочные породы (пески, песчаники, алевролиты). Тонкодисперсные породы (глины, аргиллиты, тонкокристаллические известняки и т. п.) имеют весьма тонкие капилляры и поэтому практически непроницаемы. Такие породы часто служат экранами нефти и газа. Однако при появлении трещиноватости проницаемость этих пород значительно возрастает.

Магматические и метаморфические породы с низкой первичной пористостью также обладают очень низкой проницаемостью, не имеющей практического значения. Исключение составляют вулканогенно-обломочные (эффузивные) породы. Однако в массивах, сложенных магматическими и метаморфическими породами, в зонах развития трещиноватости и в коре выветривания могут встречаться также проницаемые разности, в которых наблюдается интенсивная фильтрация природных флюидов. Эти породы — наименее изученные в настоящее время, фактические данные по ним практически отсутствуют.

2.1. Определение. Уравнение Дарси

Для количественного определения проницаемости горных пород обычно пользуются линейным законом фильтрации Дарси: линейная скорость фильтрации жидкости в породе пропорциональна градиенту давления и обратно пропорциональна динамической вязкости. Коэффициент пропорциональности knp в этом уравнении называют коэффициентом проницаемости породы:

     (1)

где υ — линейная скорость фильтрации; Q — объемный расход жидкости; F — площадь фильтрации; µ—динамическая вязкость жидкости; Δрпл — перепад давления; ΔL — длина фильтрующей пористой среды.

Откуда

            (2)

При измерении проницаемости по газу для учета сжимаемости последнего в формулу подставляют объемный расход газа через породу Qr, приведенный к среднему давлению

       (3)

где p1 и р2 — соответственно давление газа на входе и выходе из образца породы.

По закону Бойля-Мариотта для идеальных газов

     (4)

где Qo — расход газа при атмосферном давлении ро. Подставляя (4) в уравнение (2) получим

     (5)

В Международной системе единиц (СИ) величины, входящие в формулы (2) и (5), имеют размерности: [ΔL]=м; [F]=м2; [Q]=м3/c; [р]=Па; [µ]=Па*с

Следовательно,

Таким образом, за единицу проницаемости в 1 м2 принимается проницаемость такой пористой среды, при фильтрации через образец которой площадью F=l м2, длиной ΔL=1 м и при перепаде давления Δрпл =1 Па расход жидкости вязкостью µ= 1 Па*с составит Q=lм3/с. Это очень крупная единица и в практике применяют дольное ее значение: квадратный микро-метр (мкм2).

В старой технической системе единиц для измерения проницаемости использовались единицы дарси (Д) и миллидарси (мД): 1Д=1,02.10-12 м2 = 1,02 мкм2.

Проницаемость горных пород зависит не только от свойств самой породы, но и от взаимодействия фильтрующихся флюидов с породами и числа фильтрующихся фаз. В соответствии с этим различают абсолютную, фазовую и относительную проницаемости.

Под абсолютной (или физической) проницаемостью понимают проницаемость пористой среды, которая определена при фильтрации единственной фазы, физически и химически инертной к породе. Обычно такой фазой являются газообразные азот или воздух. Абсолютная проницаемость — это свойство породы и она практически не зависит от свойств флюида. Определение ее производится на отмытых и экстрагированных от углеводородов сухих образцах.

Опыты показали, что абсолютная проницаемость, определенная по газу по формуле (5) зависит от величины среднего давления:

     (6)

где k°°пр— проницаемость ; К — угловой коэффициент прямой.

Это явление получило название эффекта проскальзывания газа или эффекта Клинкенберга.

Величина k°°np приближается к проницаемости породы, определенной по несжимаемой инертной жидкости.

Фазовые проницаемости определяют при наличии в поровом пространстве породы более одной фильтрующейся фазы. В природных условиях пустоты в породе могут быть заполнены водой, нефтью и газом. Поэтому проницаемость для фильтрации любой из этих фаз будет ниже абсолютной проницаемости и зависеть от соотношения объема фаз в породе их вязкости. Вода чаще всего является смачивающей по отношению к породе фазой.

Например, уравнение (1) для горизонтального двухфазного потока нефть — вода распадается на два уравнения:

  (7)

тде kпр.н и kпр.в — фазовые проницаемости соответственно для нефти и воды;

Δpн—Δpв— перепад давления при установившемся течении; υн и υв — линейные скорости фильтрации нефти и воды.

Фазовые проницаемости в уравнении (7) будут изменяться в зависимости от объемного соотношения фаз в поровом пространстве.

Поскольку абсолютная и фазовая проницаемости горных пород изменяются в широких пределах, более удобной формой их сопоставления является относительная фазовая проницаемость, представляющая собой отношение фазовой проницаемости к абсолютной, определенной с учетом явления проскальзывания газа.

   (8)

Относительная фазовая проницаемость — величина безразмерная.

2.2. Определение проницаемости в лабораторных условиях

2.2.1. Принципиальная схема установки для определения газопроницаемости

1 — источник давления; 2 — редуктор высокого давления; 3 — редуктор низкого давления; 4 — осушитель газа; 5 - фильтр; 6 — трехходовой кран; 7 - манометр; 8 — кернодержатель; 9 - расходомер; 10 - пьезометр; 11 - вакуумный насос.

При стационарной фильтрации источником давления служит баллон с газообразным азотом или воздухом или компрессор сжатого воздуха. Газ очищают от паров воды и загрязняющей пыли с помощью фильтра и хлористого кальция;

Измерителями давления служат технические или образцовые пружинные манометры, мановакуумметры двухтрубные с ртутным или водяным заполнением с длиной шкалы 800 мм, микроманометры;

В качестве измерителей расхода газа используют газомеры любых конструкций;

При нестационарной фильтрации источником разрежения служит вакуум-насос, источником давления (для пневмообжима) — баллон с газообразным азотом или воздухом или компрессор сжатого воздуха;

В качестве измерителя объема и изменения перепада давления используют однотрубный или двухтрубный пьезометр с известными характеристиками, расчет которых в виде таблицы коэффициентов представлен в обязательном приложении 3;

В кернодержателе для линейной фильтрации боковая поверхность образца зачехляется в тонкостенную резиновую манжету, прижимаемую к боковой поверхности образца под действием давления газа или жидкости, допускается использовать толстостенные резиновые конические муфты с внутренним цилиндрическим или квадратным отверстием для образца;

В кернодержателе для радиальной фильтрации уплотнению подлежат торцевые поверхности цилиндрического образца с осевым отверстием и плоскопараллельными торцами. Уплотняющими прокладками служат диски из мягкой листовой резины; в одной из прокладок предусмотрено отверстие для сообщения осевой полости образца с источником давления или разрежения.