Нормальное распределение

Свойство 5. Если каждое значение ряда  увеличить (уменьшить) в раз, где - произвольное рациональное число, то среднее ряда тоже увеличиться (уменьшиться) в такое же число раз. Если , то

Свойство 6. Средняя сумма двух экспериментальных рядов равна сумме средних этих рядов:

где - длина первого ряда, - длина второго ряда.

1.4.     Свойства показателей вариации

Одним из основных показателей ряда считается размах ряда или амплитуда:

показывающий величину интервала, в котором находятся все данные.

Мерой рассеяния данных около среднего значения считается дисперсия

Асимметрия характеризует преимущественное расположение относительно среднего значения.

Эксцесс характеризует лишь расстояние данных относительно среднего. Если , то в данных наблюдается большая дисперсия, которая не уменьшается по мере удаления от среднего значения. Если , то данные сгруппированы возле среднего, очень плотно.

2.                       Функция распределения случайной величины. Свойства.

2.1. Функция распределения.

Известно, что если события составляют полную совокупность, то .

Тогда совокупность всех возможных значений случайной величины и соответствующих им вероятностей составляет распределение случайной величины.

Законом распределения или функций распределения случайной величины называется всякое соответствие между всевозможными значениями случайной величины и соответствующим им вариантом.

Случайные величины называются независимыми, если закон распределения одной не зависит от закона распределения другой.

В противном случае величины будут зависимыми.

Для дискретной случайной величины, которая может принимать значения , функция распределения имеет вид:

Выражение читается так: "функция распределения численно равна вероятности того, что случайная величина примет значение не больше, чем  ".

Пусть теперь некоторая случайная величина примет значения из ряда с вероятностями , соответственно. Тогда очевидно, что вероятность того, что значение случайной величины будет меньше равно 0: , а вероятность того, что будет меньше , равна : . Вероятность, что случайная величина будет меньше будет равна , так как - это вероятность варианты , а - вероятность варианты . Случайная величина принимает одно значение из двух либо , потому . Но тогда, рассуждая аналогично, получаем:

Последнее выражение равно 1, так как все пять событий образуют полную группу. Здесь любое число, которое просто больше , .

Сказанное можно изобразить графически, если по оси ординат откладывать вероятности, а по оси абсцисс – сами значения случайной величины.

Рис.2.1.  Дискретная функция распределения случайной величины

Очевидно, что

Если бы наша случайная величина была бы непрерывной, то тогда распределенное выглядела несколько бы иначе;

Рис.2.2.  Функция распределения для непрерывной случайной величины

2.2. Свойства функции F(x)

Функции распределения для дискретной и непрерывной величин обладают рядом одинаковых очевидных свойств, в вытекающих из ее определения.

Свойство 1. Функция распределения есть не отрицательная функция, значение которой изменяются от 0 до 1:

Свойство 2. Вероятность попадания случайной величины в некоторый интервал равно разности значений функций распределений на концах этого интервала

Следствие. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в не конкретный интервал равна нулю.

Свойство 3. Функция распределения случайной величиной есть не убы-вающая функция, т. е. при имеем

Или

Свойство 4. Значение функции распределения на равно нулю, и единице на , т.е.

2.3. Свойства функции плотности распределения f(x)

Для непрерывной случайной величины можно определить не только функцию распределения, которая является интегральной характеристикой случайной величины, но и дифференциальную функцию. Такая функция называется плотностью распределения или дифференциальным законом распределения случайной величины.

Для определения функции плотности распределения разобьем весь интервал на элементарные отрезки . Тогда вероятность попадания случайной величины в этот интервал будет (по свойству 2) равно

Разделим последнее выражение на

и будем уменьшать до нуля. Тогда, переходя к пределу, получим

Рис.2.3.  Функция плотности распределения вероятностей

Кривая функции плотности распределения будет иметь вид, представленный на рис. Очевидно, что будет являться первообразной функции , т.е. используя определение интеграла, можно установить математическую зависимость между и , т.е. по определению интеграла

функция распределения численно равна площади под кривой на интервале .

Тогда, на основании свойства 4 функции распределения, можно записать

Случайная величина называется непрерывной, если ее функция распределения представлена непрерывной функцией для любой точки из области , а функция плотности распределения существует везде, за исключением, может быть, конечного числа точек.

Вследствие равенства (4) из свойств функции распределения вытекают свойства функции плотности распределения .

Свойство 1. Дифференциальная функция распределения не отрицательна для любого из ее области определения .

Свойство 2. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в интервал равен определенному интегралу от функции плотности распределения на этом интервале

Свойство 3. Интегральная функция распределения случайной величины может быть выражена через функцию плотности вероятностей по формуле

Свойство 4. Площадь под кривой плотности распределения на всей ее области определения равен единице

Свойство 5. Математическое ожидание непрерывной случайной величины вычисляется по формуле

Свойство 6. Дисперсия непрерывной случайной величины вычисляется по формуле

где вычисляется по предыдущей формуле.

3.                       Нормальное распределение

3.1. Определение нормального распределения

Этот вид распределения наиболее часто встречается по сравнению с другими видами распределений. Главной особенностью этого распределения является то, что к этому закону стремятся все другие законы распределений при бесконечном повторении количества испытаний. Как получается это распределение?

Представим себе, что, взяв ручной динамометр, Вы расположились в самом людном месте Вашего города. И каждому, кто проходит мимо, Вы предлагаете измерить свою силу, сжав динамометр правой или левой рукой. Показания динамометра Вы аккуратно за-писываете. Через некоторое время, при достаточно большом количестве испытаний, Вы нанесли на ось абсцисс показания динамометра, а на ось ординат – количество людей, кото-рые "выжали" это показание. Полученные точки соединили плавной линией. В результате получается кривая, изображенная на рис.9.8 . Вид этой кривой не будет особо изменяться при увеличении времени опыта. Более того, с некоторого момента новые значения будут только уточнять кривую, не изменяя ее формы.

Рис.3.1.  Результат эксперимента с динамометром

Теперь переместимся с нашим динамометром в атлетический зал и повторим эксперимент. Теперь максимум кривой сместится вправо, левый конец будет несколько затянут, в то время как правый конец ее будет более крутой.

Рис.3.2.  Результат эксперимента с динамометром в атлетическом зале

Заметим, что максимальная частота для второго распределения (точка В) будет ниже, чем максимальная частота первого распределения (точка А). Это можно объяснить тем, что общее количество людей, посещающих атлетический зал, будет меньше, чем количество людей, которое прошли возле экспериментатора в первом случае (в центре города в достаточно людном месте). Максимум сместился вправо, так как атлетические залы посещают физически более сильные люди по сравнению с общим фоном.

И, наконец, посетим школы, детские сады и дома престарелых с той же целью: выявить силу рук посетителей этих мест. И опять кривая распределения будет иметь похожую форму, но теперь, очевидно, более крутым будет ее левый конец, а правый более затянут. И как во втором случае, максимум (точка С) будет ниже точки А .

Рис.3.3.  Результат эксперимента с динамометром в школах и детских садах

Это замечательное свойство нормального распределения – сохранять форму кривой плотности распределения вероятностей (рис. 8 – 10) было замечено и описано в 1733 году Муавром, а затем исследовано Гауссом.

В научных исследованиях, в технике, в массовых явлениях или экспериментах, когда речь идет о многократно повторяющихся случайных величинах при неизменных условиях опыта, говорят, что результаты испытаний испытывают случайное рассеяние, подчиняющееся закону нормальной кривой распределения

где - это наиболее часто встречающееся событие. Как правило, в формулу () вместо параметра ставят . Причем, чем длиннее экспериментальный ряд, тем меньше параметр будет отличаться от математического ожидания. Площадь под кривой (рис. ) принимается равной единице. Площадь, отвечающая какому-либо интервалу оси абсцисс, численно равна вероятности попадания случайного результата в данный интервал.

Рис. 3.4. Нормальная кривая распределения

Функция нормального распределения имеет вид

Заметим, что нормальная кривая (рис.9.11 ) симметрична относительно прямой и асимптотически приближается к оси ОХ при . Вычислим математическое ожидание для нормального закона

3.2.                 Свойства нормального распределения

Рассмотрим основные свойства этого важнейшего распределения.

Свойство 1. Функция плотности нормального распределения (21) определена на всей оси абсцисс.

Свойство 2. Функция плотности нормального распределения (21) больше нуля для любого из области определения ( ).

Свойство 3. При бесконечном увеличении (уменьшении) функция распределения (21) стремится к нулю .

Свойство 4. При функция распределения , заданная (21), имеет наибольшее значение, равное

Свойство 5. График функции  (рис.9.11 ) симметричен относительно прямой .

Свойство 6. График функции (рис.9.11 ) имеет по две точки перегиба симметричные относительно прямой :

Свойство 7. Все нечетные центральные моменты равны нулю. Заметим, что используя свойство 7, определяют асимметрию функции по формуле .

Если , то делают вывод, что исследуемое распределение симметрично относительно прямой . Если , то говорят, что ряд смещен вправо (более пологая правая ветвь графика ). Если , тогда считают, что ряд смещен влево (более пологая левая ветвь графика )

Рис.3.5.  Функция плотности распределения для различных А

Свойство 8. Эксцесс распределения равен 3. Часто на практике вычисляют и по близости этой величины к нулю определяют степень "сжатия" или "размытости" графика (рис.9.13 ). А так как связан с , то, в конечном итоге характеризует степень рассеяния частоты данных. А так как определяет точность измерений (степень рассеянности данных), то становится очевидным, почему в случае повышенной точности измерений, результаты будут группироваться около центра, а в результате кривая будет круче подниматься в центре и резче спадать по мере удаления от среднего (рис.9.13 , ). А тогда с увеличением , т.е. ухудшением качества измерений, рассеяние результатов увеличивается, а кривая принимает более пологий (сглаженный) вид (рис.9.13 , ).

Рис. 3.6.

Кривая нормального распределения носит также название кривой Гаусса (1777 – 1855) – по имени знаменитого немецкого математика, глубоко исследовавшего теорию случайных ошибок и метода наименьших квадратов. В настоящее время теория случайных ошибок измерений является отделом другой, более обширной науки – математической статистики, разрабатывающей рациональные методы и приемы обработки большого количества экспериментальных данных. Эти приемы связаны с современными теориями устойчивости, бифуркаций и катастроф.