Средние величины в статистике

 

 

2.2.Свойства  средней арифметической.

 

Рассмотрим основные свойства средней  арифметической.

Первое свойство. Сумма отклонений индивидуальных значений признака от их средней арифметической величины равна нулю.

Первое свойство средней может быть использовано, в частности, для контроля правильности вычислений арифметической средней: если средняя вычислена правильно, сумма отклонений должна равняться нулю (практически, с учетом округлений, допускаемых при вычислении средней, — очень близка к нулю).

Второе свойство. Если каждое индивидуальное значение признака умножить или разделить на постоянное число, то и средняя увеличится или уменьшиться во столько же раз. Вследствие этого свойства индивидуальные значения признака можно сократить в с раз, произвести расчет средней и результат умножить на с. Возможно использовать если например заработная плата всех работников турфирмы увеличилась на 10%, то и средняя заработная плата работников турфирмы увеличилась на 10%.

Третье свойство. Если к каждому индивидуальному значению признака прибавить или вычесть постоянное число, то средняя величина увеличится (или уменьшится) на это же число. Можно использовать если например цена на туры увеличилась на 500 рублей вследствие увеличения процентной ставки фирмы тураператора, следственно и средняя стоимость тура увеличится на 500 рублей.

Четвертое свойство. Если же все веса средней одинаково увеличить (или уменьшить) в несколько раз, средняя арифметическая не изменится.

Увеличение  всех весов в несколько раз приводит к тому, что во столько же одновременно увеличится и числитель, и знаменатель дроби (средней арифметической), поэтому значение дроби не изменяется.

Пятое свойство. Сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической меньше, чем от любого другого числа. [3 с.79]

 

2.3.Средняя хронологическая

Средняя хронологическая — это средний уровень ряда динамики, т. е. средняя, исчисленная по совокупности значений показателя в разные моменты или периоды времени.

В зависимости от вида ряда динамики применяются различные способы ее расчета, а именно расчет средней хронологической интервального ряда и средней хронологической моментного ряда.

Средней хронологической интервального (более распространённого) ряда является средняя величина из уровней интервального ряда динамики, которая исчисляется по формуле:

где  — средний уровень ряда;

 — уровень ряда динамики;

 — число членов ряда

 

Для примера рассмотрим данные о  детских оздоровительных учреждениях  в Пскове и области.

 

Детские оздоровительные учреждения.

	1995	2000	2003	2004	2005	2006
Число летних оздоровительных лагерей	141	358	391	399	410	314

 

Исследуемый ряд является интервальным, используя формулу средней хронологической можем высчитать среднее количество оздоровительных учреждений:

 учреждений.

Средней хронологической моментного ряда является средняя величина из уровней моментного ряда динамики. Если есть функция, выражающая изменение моментного показателя во времени, то за время от до средняя хронологическая моментного ряда равна:

 

Однако данных непрерывного наблюдения значения в распоряжении статистики, как правило, нет. Поэтому в зависимости от характера изменения показателя и имеющихся данных применяются различные методы расчета. При равных промежутках времени между датами, на которые имеются данные, и равномерном изменении размера показателя между датами средняя хронологическая моментного ряда обычно исчисляется по формуле:

где  — уровень ряда;

 — число всех членов  ряда;

 — средний уровень.

Если  периоды времени, отделяющие одну дату от другой, не равны между собой, то расчет средней хронологической  моментного ряда производится по формуле средней взвешенной арифметической, в качестве весов которой принимаются отрезки времени между датами, т. е. по формуле:

где — время, в течение которого данный уровень ряда оставался без изменения. [2 c.149]

 

 

2.4.Средняя гармоническая.

Средняя гармоническая  применяется в тех случаях, когда  частоты (веса) не приводятся непосредственно, а входят сомножителями в один из имеющихся показателей.

Если частоты имеют  одно значение и равны 1, то в подобных случаях применяют формулу средней гармонической простой (не взвешенной):

 

или в сокращенном виде:

где — средняя гармоническая

 — числа обратные заданным  индивидуальным значениям признака

 

Иначе говоря, простая гармоническая средняя есть отношение числа индивидуальных значений к сумме обратных значений этих значений.

Если же частоты (веса) различные, то применяется средняя гармоническая взвешенная, которая вычисляется следующим образом:

 

где — средняя гармоническая взвешенная

Как первая, так и вторая формулы показывают, что средняя  гармоническая есть величина обратная средней арифметической.

Веса арифметической средней и гармонической средней обозначены разными буквами и m. Это не случайно, так как весами средней арифметической служат частоты рассматриваемого ряда, а весами гармонической средней будет произведение вариантов на веса.

Выбор формулы средней (гармонической или арифметической) зависит от так называемого определяющего показателя.

Определяющим показателем называется показатель, который получает реальное экономическое значение при умножении индивидуальных значений признака на частоты или при их делении. Если при перемножении индивидуальных значений на частоты получается реальная экономическая величина – применяют среднюю арифметическую взвешенную.

Если при перемножении индивидуальных значений на частоты никакого реального показателя не дает, а получается бессмыслица, то частоты делят на индивидуальные значения. В этом случае применяется средняя гармонически взвешенная. [4 c.82]

 

 

2.5.Средняя геометрическая.

Ещё одной формулой, по которой  может осуществляться расчёт среднего показателя, является средняя геометрическая

Невзвешенная: 

Взвешенная:

Наиболее широкое применение этот вид средней получил в анализе  динамики для определения среднего темпа роста. [4 с. 90]

 

 

2.6.Средняя квадратическая.

Невзвешенная:

Взвешенная:

Наиболее широко этот вид средней  используется при расчёте показателей  вариации. В статистической практике также находят применение степенные 3го и более высоких порядков. [4 c.94]

 

3. Структурные средние величины.

Особый вид средних величин  – структурные средние – применяется  для изучения внутреннего строения рядов распределения значений признака, а также для оценки средней  величины (степенного типа), если по имеющимся  статистическим данным ее расчет не может быть выполнен.

Такими структурными средними величинами являются мода и медиана.

Мода – значение признака, наиболее часто встречающееся в изучаемой  совокупности. В дискретном ряду модой  является вариант с наибольшей частотой. В интервальном вариационном ряду мода рассчитывается по формуле:

где нижняя граница интервала содержащего моду

 величина интервала содержащего  моду

 частота интервала содержащего моду

 частота предшествующего  интервала

 частота следующего интервала

Модальный интервал – это интервал, имеющий  наибольшую частоту (частость). [8 c. 73]

Вычисление  моды в интервальном ряду является весьма условным. Приближённое модальное значение признака можно определить и графически – по гистограмме. Для этого нужно взять столбец, имеющий наибольшую высоту, и из его левого верхнего угла провести отрезок в верхний угол последующего столбца, а из правого угла – в верхний правый угол предыдущего. Абсцисса точки пересечения отрезков и будет соответствовать модальному значению признака в изучаемой совокупности.

Медиана – вариант, расположенный в середине упорядоченного вариационного ряда, делящий его на две равные части, таким образом, что половина единиц совокупности имеют значения признака меньше, чем медиана, а половина – больше, чем медиана.

В интервальном ряду медиана определяется по формуле:

где нижняя граница интервала содержащего медиану

 величина интервала содержащего  медиану

 полусумма всех частот

 накопительная частота интервала  предшествующего интервалу содержащему  медиану.

 частота интервала содержащего  медиану

Интервалом содержащим медиану, считается  интервал у которого накопительная  частота либо равна, либо больше полусуммы  всех частот.

Расчет накопительной частоты  производится путём суммирования собственной  частоты и частоты предшествующих интервалов. [5 c.162]

Для примера рассчитаем моду и медиану  для распределения гостиниц Пскова по количеству мест:

 

 

Количество гостиниц и их вместимость в Пскове на 2010г.

Количество  мест	Количество  гостиниц
А	1
10-20 20-30 30-40 40-50 50-60 60-70	2 4 3 7 6 3
Итого:	27

 

 мест

наиболее распространённое количество мест в гостиницах Пскова составляет 48.

мест

46.42 делит совокупность на 2 половины  в I количество мест не превышает 46.42, а во II больше этого значения.

Медиану приближенно  можно определить графически — по кумуляте. Для этого высоту наибольшей ординаты, которая соответствует  общей численности совокупности, делят пополам. Через полученную точку проводят прямую, параллельную оси абсцисс, до пересечения ее с кумулятой (строится по накопленным частотам). Абсцисса точки пересечения и является медианой.

Расчет модального и медианного значений для вариационных рядов с неравными интервалами осуществляется по формулам, аналогичным приведенным выше, только вместо показателей частот используются показатели абсолютной или относительной плотности распределения, которые обеспечивают сопоставимость неравных интервалов. Показатели плотности распределения находятся как отношения частот к величине интервала:

 

Абсолютная плотность  распределения

относительная плотность

По соотношению характеристик  центра распределения (средней величины, моды и медианы) можно судить о  симметричности эмпирического ряда распределения. Симметричным является распределение, в котором частоты двух вариантов, равностоящих в обе стороны от центра распределения, равны между собой. В симметричном распределении средняя величина, медиана и мода равны между собой:

=

Если , то имеет место правосторонняя асимметрия, т. е. большая часть единиц совокупности имеет значения изучаемого признака, превышающие модальное значение. На графике распределения правая ветвь относительно максимальной ординаты вытянута больше, чем левая.

Соотношение характерно для левосторонней асимметрии, при которой большая часть единиц совокупности имеет значения признака ниже модального. На графике распределения левая ветвь вытянута больше, чем правая.

Для нашего примера получается, что  39.81< 46.42<48, следственно большая часть единиц совокупности имеет значение признака ниже модального, так как асимметрия левосторонняя.

 

 

 

 

 

 

 

II. Практическая часть.

Вариант № 6

 

Показатели деятельности предприятий  за 2003 год.

 

№ наблюдения	Объём продукции млн.руб.	Средняя заработная плата руб.
1	24	3200
2	45	4100
3	32	4300
4	34	4500
5	44	3900
6	51	4000
7	39	4500
8	26	3800
9	25	3500
10	28	3900
11	18	3200
12	13	3000
13	13	2900
14	21	3300
15	31	4100
16	42	3850
17	12	2500
18	43	3950
19	11	2650
20	13	2900
21	11	2650
22	21	3300
23	22	3250
24	21	3200
25	23	3850
26	31	4100
27	32	4300
28	17	3150
29	16	3100
30	17	3150
31	19	2900
32	20	2950
33	22	3200
34	10	3000
35	24	3200
36	25	4000
37	11	2650
38	19	2900
39	17	3150
40	16	3100