Статистическое исследование макроэкономических явлений

Вывод: проанализировав данные таблицы можно сделать вывод о том, сто связь между признаками существует, но она настолько ярко не выявленная и не является однородной, поэтому удобнее изобразить ее на графике для большей наглядности.

2. Изобразим связь между изучаемыми признаками графически

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

    Рис. 5 Зависимость между общим числом ДОУ и числом негосударственных ДОУ

Вывод: на графике видно, что связь между признаками существует, и она носит прямолинейный характер.

3.  Построим уравнение регрессии по сгруппированным данным.

Линейная регрессия, выражается уравнением прямой вида:

,  (19)

где – теоретические значения результативного признака, полученные по уравнению регрессии;

      a_o, a₁ – параметры уравнения регрессии

Построим расчётную  таблицу для определения параметров уравнение регрессии:

Таблица № 19

№ п/п	число негосударственных ДОУ (х)	всего ДОУ (у)	x2	xy	y2
1	4	720	16	2880	518400	762,952
2	3	799	9	2397	638401	774,205
3	3	1007	9	3021	1014049	774,205
4	1	845	1	845	714025	796,711
5	7	584	49	4088	341056	729,193
6	5	591	25	2955	349281	751,699
7	5	729	25	3645	531441	751,699
8	4	695	16	2780	483025	762,952
9	6	497	36	2982	247009	740,446
10	8	1095	64	8760	1199025	717,94
Итого	46	7562	250	34353	6035712	7562,002

 

     Параметры уравнения регрессии найдём методом наименьших квадратов. В основу этого метода положено требование минимальности сумм квадратов отклонений эмпирических данных Y_i от выровненных :

S = →min (20)

     Для прямой  зависимости:

S = → min. (21)

     Для нахождения  минимума данной функции приравняем к нулю её частные производные и получим систему двух линейных уравнений, которая называется системой нормальных уравнений:

                                        

                                            (22)

где n – объём исследуемой совокупности (число единиц наблюдения).

 а₁=-11,253

 а₀=756,2-4,6*(-11,253)=807,964

Получим уравнение регрессии  вида:

=807,964 – 11,253х

Рассчитанные теоретические (полученные по уравнению регрессии) значения результативного  признака, нанесем на построенный  в п. 2 график.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 6  Зависимость теоретических  значений общего число ДОУ от числа  негосударственных ДОУ.

Вывод: форма связи  между признаками – линейная.

4.  Проверим значимость  параметров уравнения регрессии  на основе t-критерия Стьюдента.

     Вычислим  расчётные значения t-критерия по формулам:

     для параметра a_o:                                          для параметра a₁:

                (23) ,                                              (24),

где n – объём выборки;

σ_ост. – среднее квадратическое отклонение результативного признака Y от выровненных значений :

σ_ост. =  (25)

σ_х – среднее квадратическое отклонение факторного признака Х от общей средней :

σ_х =  (26)

σ_ост=

=176,766

σ_х =

=1,96

t = =12,927

С учётом принятого уровня значимости α = 0,05 и числа степеней свободы ν = n - 2=10 – 2=8 по таблице Стьюдента определили критическое t_табл = 2,306. Т.к. t_расч >t_табл, то параметр a_o признаем значимым.

t

= =0,353

С учётом принятого уровня значимости α = 0,05 и числа степеней свободы вариации ν = n – 2 =10 – 2= 8 по таблице Стьюдента определили критическое t_табл = 2,306. Т.к. t_расч<_.t_табл. , то параметр a₁ признаём незначимым.

     Проверим значимость уравнения регрессии на основе F-критерия Фишера.

     Вычислим  расчётные значения F-критерия по формуле:

F = , (27)

где m – число параметров в уравнении регрессии;

  =  (28)

=

σ ²_ост =(σ_ост)²=(176,766)²=31246,31

F = =8,126

С учётом принятого уровня значимости α = 0,05 и чисел степеней свободы ν₁ =m - 1=2 - 1=1 и ν₂ =n - m=10 - 2= 8 по таблице F-критерия Фишера определили F_табл= 5,32. Т.к. F_расч.>F_табл., то уравнение регрессии статистически значимо, т.е. доля вариации, обусловленная регрессией, намного превышает случайную ошибку.

Для удобства интерпретации  параметра а₁используют коэффициент эластичности. Он показывает средние изменения результативного признака при изменении факторного признака на 1% и вычисляется по формуле, %:

Э =а_{1* ,} (29)

где  ,

Рассчитаем эти значения:

,

Э

=-11,253* %

Вывод: при увеличении числа негосударственных ДОУ на 1% общее число ДОУ снизится на 0,068 %.

5. Вычислим корреляционное отношение по формуле:

η = или η =                      (30)

η =

= = 0,122

     Вычислим линейный  коэффициент корреляции по формуле,  которую удобно применять при малом числе наблюдений (n<30):

                                

   r = (31)

 

 

                                r = =-0,124

Т.к. полученный линейный коэффициент корреляции находится в интервале -1< r <0, то связь между признаками является обратная, и, т.к. величина коэффициента до /±0,3/, то связь между признаками практически отсутствует.

     Оценим  значимость полученного коэффициента  корреляции. Для этого используем t-критерий Стьюдента:

t_r = r* , (32)

где (n – 2) – число степеней свободы при заданном уровне значимости α и объёме выборки n (при α = 0,05 и n = 10 число степеней свободы равно 8).

t_r

= -0,124* = -0,353,

     Т.к. t_расч <t_табл. (t_табл = 2,306), то коэффициент корреляции признаём незначимым.

6. С экономической  точки зрения, на основе проведенных  расчетов, можно сделать следующие  выводы:

Во-первых, построенное  уравнение регрессии значимо, а входящие в него коэффициенты практически все значимы;

Во-вторых, исчисленные  линейный коэффициент теоретическое  корреляционное отношение свидетельствуют  о наличии связи между рассматриваемыми признаками.

В-третьих, построенная  модель является адекватной, при проверке ее на основе F-критерия Фишера.

Следовательно, построенная  модель может быть использована для  принятия решений, но не для производства прогнозов.

 

5.2 Изучение связи между зависимой и двумя независимыми величинами (множественная регрессия).

 

 Для изучения связи между зависимой и независимой величинами на базе отобранных данных:

1) определить результативный и не менее 2-х факторных признаков. 
Оценить с экономической точки зрения важность факторов и 
последовательность их включения в уравнение регрессии;

2) определить форму корреляционного уравнения и обосновать его выбор. По исходным данным построить графики зависимости результативного признака с каждым из факторных. Проанализировать характер связей;

3. рассчитать линейные (парные) коэффициенты корреляции, проверить их значимость. Проанализировать характер парных зависимостей между признаками. Исключить коллинеарно связанные факторы. Рассчитать множественный коэффициент корреляции и проверить его значимость;
4. построить расчетную таблицу для определения параметров уравнения регрессии. Построить множественное уравнение регрессии. Параметры уравнения регрессии определить методом наименьших квадратов;
5. проверить значимость уравнения регрессии на основе:

               -  F-критерия Фишера;

               -  средней ошибки аппроксимации.

6) проверить значимость коэффициентов регрессии на основе t- 
критерия Стьюдента.

1. Определим результативный и два факторных признака, влияющих на результативный:

Таблица № 20

№ п/п	Название региона	Число негосудар- ственных ДОУ (Ф1)	Число государствен-ных  и муници-пальных ДОУ (Ф2)	Общее число ДОУ (Р)
1	Белгородская область	4	716	720
2	Брянская область	3	796	799
3	Воронежская область	3	1004	1007
4	Курская область	1	844	845
5	Липецкая область	7	577	584
6	Орловская область	5	586	591
7	Рязанская область	5	724	729
8	Кировская область	4	691	695
9	Тюменская область	6	491	497
10	Иркутская область	8	1087	1095
Итого		46	7516	7562

 

          2. Форма корреляционного уравнения  выглядит следующим образом:

, (33)

где – теоретические значения результативного признака, полученные в         результате подстановки соответствующих значений факторного признака в уравнение регрессии;

 x₁, x₂ – факторные признаки;

a_o, a₁, a₂ – параметры уравнения.

     Уравнение  имеет такой вид, т.к. проводим  двухфакторный корреляционный и  регрессионный анализ.

По исходным данным построим графики зависимости результативного  признака с каждым из двух факторных.

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 7 Зависимость общего числа ДОУ и числа негосударственных ДОУ

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 8 Зависимость общего числа ДОУ и государственных  и муниципальных ДОУ

Вывод: на графике видно, что связь между признаками носит прямолинейный характер.

3. Рассчитаем линейные  парные коэффициенты корреляции и проверим их значимость с помощью t-критерия Стьюдента.

- между результативным  и первым факторным, а именно  между общим числом ДОУ и  числом негосударственных ДОУ.  Этот коэффициент был найден  ранее по формуле (31), его значимость по формуле (32):

r

=-0,124,

t_r

=-0,353

- между результативным  и вторым факторным, а именно  между общим числом ДОУ и  числом государственных и муниципальных  ДОУ:

  =                           (34)

        =

Т.к. полученный линейный коэффициент корреляции находится  в интервале  0 < r < 1, то связь между признаками является прямой, и, т.к. величина коэффициента от /±0,7/ до /±1,0/, то связь между признаками сильной.

Оценим значимость полученного коэффициента корреляции с помощью t – критерий Стьюдента. Для этого используем формулу (32):

                               t_r =0,999*

     Т.к. t_расч >t_табл. (t_табл = 2,306), то коэффициент корреляции признается значимым.

- между двумя факторными  признаками, а именно между числом  негосударственных ДОУ и числом  государственных и муниципальных  ДОУ:

   (35)

Т.к. полученный линейный коэффициент корреляции находится в интервале -1 < r < 0, то связь между признаками является обратной, и, т.к. величина коэффициента до /±0,3/, то связь между признаками практически отсутствует.

Оценим значимость полученного  коэффициента корреляции с помощью t – критерий Стьюдента. Для этого используем формулу (32):