Лекции по "Физике"

dA = dT     (1)

Тогда чтобы найти T, надо проинтегрировать обе части:

Таким образом, тело массой m, движущееся со скоростью v, обладает кинетической энергией:

Из формулы (2) видно, что  кинетическая энергия зависит только от массы и скорости тела, т.е. является функцией состояния ее движения.

Т.к. при выводе в (2) мы предполагали, что тело движется в инерциальной системе отсчета, иначе нельзя было использовать II закон Ньютона, таким образом, кинетическая энергия зависит от выбора системы отсчета. В различных ИСО (инерциальных системах отсчета) кинетическая энергия не будет одинаковой.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Потенциальная энергия – это механическая энергия системы тел, определяемая их взаимным расположением и характером сил взаимодействия между ними.

Пусть взаимодействие тел  осуществляется посредством силовых  полей, характеризующихся тем, что работа, совершаемая действующими силами при перемещении тела из одного положения в другое, не зависит от того, по какой траектории это перемещение произошло, а зависит только от начального и конечного положения. Такие поля называются потенциальными, а силы, действующие в них, – консервативными.

Если же работа, совершаемая  силой, зависит от траектории перемещения  тела из одной точки в другую, то такие силы называются диссипативными (сила трения).

Работа консервативных сил по любому замкнутому пути равна нулю. Работа диссипативных сил при любых движениях в замкнутой системе всегда отрицательна.

Отметим, что существует еще один вид сил – герраскопические силы. Эти силы зависят от скорости материальной точки и действуют  всегда перпендикулярно этой скорости. Работа таких сил равна нулю при любом перемещении материальной точки, в частности, при ее движении по замкнутому пути. Эти силы определяются не только положением, но и скоростью движущейся материальной точки. К ним относятся сила Кориолиса, сила Лоренца и т.д.

Но при рассмотрении движения относительно инерциальных систем отсчета такие силы вообще не существуют. Тело, находясь в потенциальном поле сил, обладает потенциальной энергией П. Работа консервативных сил при элементарном (бесконечно малом) изменении конфигурации системы равна приращению потенциальной энергии, взятому со знаком «–», т.к. работа совершается за счет убыли потенциальной энергии.

dA = – dП          (3)

F×dr = – dП

где c – некоторая постоянная интегрирования.

Какое-либо произвольное положение системы, характеризующееся  заданием координат ее материальных точек, условно примем за нулевое, а  энергию тела в других положениях отсчитывают от нулевого уровня. При  замене одного нулевого уровня другим потенциальная энергия системы меняется на постоянную величину. Тогда вместо потенциальной энергии следует говорить о ее разности в двух положениях.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Разностью потенциальных энергий в рассматриваемом и нулевом положении называется работа, совершаемая консервативными силами.

Таким образом, потенциальная  энергия системы определена не однозначно, а с точностью до произвольной постоянной. Для консервативных сил  имеем:

i, j, k – это орты (единичные вектора).

Вектор, определяемый выражением (5), называется градиентом скаляра П. Для него наряду с обозначением «gradП» применяется обозначение «ÑП». Перевернутый треугольник называется оператором Набли, или оператором Гамильтона.

Корректный вид функции П зависит от характера силового поля.

ПРИМЕР: Потенциальная  энергия тела массой m, поднятого на высоту h над поверхностью земли, рассчитывается как

П = m×g×h + с,

где c есть потенциальная энергия на нулевом уровне.

ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ УПРУГО-ДЕФОРМИРОВАННОГО ТЕЛА

(Самостоятельно)

ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ

Закон сохранения энергии  – это результат обобщения  многих экспериментальных данных. Идея этого закона принадлежит Ломоносову, изложившему закон сохранения материи  и движения, а полная формулировка в количественной форме дана немецким врачом Майером и ученым Гельмгольцем.

Рассмотрим систему материальных точек массами m₁, m₂, …, m_n, движущихся со скоростями v₁, v₂, …, v_n. Пусть F₁¢, F₂¢, …, F_n¢ – равнодействующие внутренних консервативных сил, действующих на каждую из этих точек, а F₁, F₂, …, F_n – равнодействующие внешних сил, которые также будем считать консервативными. Кроме того, будем считать, что на материальную точку действуют еще и внешние неконсервативные силы. Равнодействующие их, действующие на каждую из материальных точек, обозначим f₁, f₂, …, f_n. При скоростях значительно меньших скорости света массы материальных точек будут постоянны, и уравнения II закона Ньютона будут иметь вид:

Двигаясь под действием  этих сил, точки системы за интервал времени dt совершают перемещения, соответственно равные . Умножим каждое уравнение на величину перемещения, получим:

Второе слагаемое равно  элементарной работе внутренних и внешних  консервативных сил взятой со знаком «–».

Правая часть равенства (1) задает работу внешних неконсервативных сил, действующих на систему. Таким  образом,

d(Т + П)  = dA          (2)

При переходе системы  из состояния (1) в состояние (2) получают, что изменение полной механической энергии системы при переходе из одного состояния в другое равно работе, совершаемой при этом внешними неконсервативными силами.

Если внешние неконсервативные силы отсутствуют, то

d(Т + П)  = 0,          Т + П = const          (3)

т.е. полная механическая энергия системы сохраняется  постоянно.

Выражение (3) представляет собой закон сохранения механической энергии: в системе тел, между которыми действуют только консервативные силы полная механическая энергия системы сохраняется, т.е. не изменяется со временем.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Механические системы, на тела которых действуют только консервативные силы внутренние и внешние, называются консервативными системами.

Тогда закон сохранения механической энергии можно записать так: в консервативных системах полная механическая энергия сохраняется.

Закон сохранения механической энергии связан с однородностью  времени. Однородность времени проявляется  в том, что физические законы инвариантны  относительно выбора начала отсчета  времени. Например, при свободном падении тело в поле сил тяжести. Его скорость и пройденный путь зависят лишь от начальной скорости и продолжительности свободного падения тела и не зависят от того, когда это тело начало падать.

Существует еще один вид систем – это диссипативные системы, в которых механическая энергия постепенно уменьшается за счет преобразования в другие механические формы энергии. Этот процесс получил название диссипации (рассеивания) энергии. Строго говоря, все системы в природе диссипативны. В консервативных системах закон сохранения механической энергии не просто закон сохранения в количественном смысле, а закон сохранения и превращения энергии, выражающий качественную сторону взаимного превращения различных форм движения друг в друга.

Закон сохранения и превращения энергии – фундаментальный закон природы. Он справедлив как для систем макроскопических тел, так и для систем микро тел. В системе, где действуют также неконсервативные силы, полная механическая энергия не сохраняется, однако, при исчезновении механической энергии всегда возникает эквивалентное количество энергии другого вида. Таким образом, энергия никогда не исчезает и не появляется вновь.

В этом заключается физическая сущность закона сохранения и превращения  энергии. Сущность неуничтожимости материи и ее движения.

Лекция 4

СОУДАРЕНИЕ ТЕЛ. УДАР АБСОЛЮТНО  УПРУГИХ И НЕУПРУГИХ ТЕЛ.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Удар, или соударение, – это столкновение двух или более тел, при котором взаимодействие длится очень короткое время.

Силы взаимодействия между сталкивающимися телами столь велики, что внешними силами, действующими на них, можно пренебречь. Это позволяет систему тел в процессе столкновения рассматривать как замкнутую систему и применять к ней законы сохранения. Сущность удара заключается в том, что кинетическая энергия относительного движения соударяющихся тел на короткое время преобразуется в энергию упругой деформации. Во время удара имеет место перераспределение энергии между соударяющимися телами, а относительная скорость тел после удара не достигает своего прежнего значения. Это объясняется тем, что нет идеально упругих тел и идеально гладких поверхностей.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Отношение нормальных составляющих относительной скорости тел после и до удара называется коэффициентом восстановления e.

Если для сталкивающихся тел e = 0, то такие тела называются абсолютно неупругими, если e = 1, то – абсолютно упругими. На практике для всех тел имеем выражение:

0 < e < 1

(e » 0,56 для стальных шаров, e » 0,89 для шаров из слоновьей кости и e » 0 для свинца). Однако, в некоторых случаях тела можно считать либо абсолютно упругими, либо абсолютно неупругими.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Удар называется центральным, если тела до удара движутся вдоль прямой, проходящей через их центры масс.

(Мы будем рассматривать только центральный удар.)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Абсолютно упругий удар – это столкновение двух тел, в результате которого полная механическая энергия тел сохраняется.

Для абсолютно упругого удара выполняется закон сохранения импульса и закон сохранения механической энергии (кинетической энергии). Обозначим скорости шаров массами m₁ и m₂ до удара через v₁ и v₂, после удара – v₁¢ и v₂¢. В случае прямого центрального удара векторы скоростей шаров лежат на прямой линии, соединяющей их центры. Для взаимодействующих тел имеем:

Вывод этих формул разобрать  самостоятельно.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Абсолютно  неупругий удар – это столкновение двух тел, в результате которого они  объединяются, двигаясь дальше как  одно целое.

Если массы шаров m₁ и m₂, их скорости до удара v₁ и v₂, то, используя закон сохранения импульса, можем записать:

МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА. МОМЕНТ ИНЕРЦИИ.

Для изучения вращения твердых  тел введем понятие момента инерции.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Момент инерции системы или тела относительно данной оси – это есть физическая величина, равная сумме произведения масс n материальных точек системы на квадраты расстояний до рассматриваемой оси.

В случае непрерывного распределения  массы эта сумма сводится к  интегралу:

где интеграл берется  по всему объему тела, r – функция положения материальной точки с координатами (x, y, z).

Найдем момент инерции однородного  сплошного цилиндра высотой h, радиусом R относительно его геометрической оси. Разобьем цилиндр на бесконечно малые, толщины dr, полые концентрические цилиндры с внутренним радиусом r и внешним радиусом r + dr. В момент инерции каждого полого цилиндра определяется:

Т.к. dr << r, то расстояние от оси до точек цилиндра равно r. dm – масса всего элементарного цилиндра, его объем

dV = 2p r h dr.

Если r – это плотность материала, то  m = r×V, тогда     dm = 2p×r×h×r×dr.

Отсюда     dI = 2p×h×r×r³×dr, тогда

Нахождение момента  инерции для цилиндра упрощалось вследствие того, что тело было однородным и симметричным, а момент инерции искали относительно оси симметрии. Момент инерции относительно любой другой оси можно определить с помощью теоремы Штейнера, или еще говорят – Гюггенса-Штейнера.

ТЕОРЕМА: Момент инерции тела относительно произвольной оси равен моменту инерции его относительно параллельной оси, проходящей через центр масс тела, сложенному с произведением массы тела на квадрат расстояния между осями.

I = I_c + ma²               (3)

Смысл (3):

Пользуясь теоремой Штейнера можно найти моменты инерции для некоторых однородных тел.

1) Тонкий однородный стержень длиной l:

а) ось перпендикулярна стержню и проходит через его середину

б) ось перпендикулярна стержню и проходит через его начало или конец

2) Полый тонкостенный цилиндр, ось совпадает с осью симметрии (это же для материальной точки)

3) Шар радиуса R относительно оси проходящей через центр

4) Для диска, ось которого совпадает с диаметром диска, а толщина намного меньше радиуса