Лекции по "Физике"

5) Для диска, ось которого  проходит через центр симметрии

КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА

Начнем с рассмотрения вращения тела вокруг неподвижной оси, проходящей чрез него.

Мысленно разбив тело на элементарные объемы v_i массами m_i, находящиеся на расстоянии r_i от оси, получим, что скорость элементарной массы определяется выражением

v_i = w×r_i               (1)

Следовательно, для кинетической энергии i-той материальной массы получим

Т.к. мы рассматриваем  абсолютно твердое тело, то w для всех точек выделенного объема массами m_i будет одинаково, тогда получим

По определению m_ir_i² – момент инерции, получим:

Формула (3) справедлива  для тела, вращающегося вокруг неподвижной  оси. Плоское движение тела может  быть представлено как положение  двух движений – поступательного, с  некоторой скоростью v₀, и вращения вокруг соответствующей оси с угловой скоростью w. Поэтому, произведя некоторые преобразования, получим

Если ось вращения проходит через центр масс, то r_c = 0, следовательно, равна нулю и кинетическая энергия центра масс.

Обозначим через v_c скорость центра масс, а через I_c момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс, тогда получим

Формула (5) определяет кинетическую энергию тела при плоском движении, например, цилиндр скатывается по наклонной плоскости.

МОМЕНТ СИЛЫ. УРАВНЕНИЕ ДИНАМИКИ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Моментом силы M относительно точки O называется физическая величина, численно равная векторному произведению радиус-вектора на силу F.

Вектор M является псевдовектором. Его направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от вектора r к вектору F. Модуль момента силы определяется выражением

M = F×r×sina = F×l               (2)

r×sina = l – это кратчайшее расстояние между линией действия силы и точкой O. l называется плечом силы.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Моментом силы относительно неподвижной оси z называется скалярная величина M_z равная проекции вектора M, определенного относительно произвольной точки O данной оси z.

Если ось z совпадает с вектором M момента силы, то M_z находится по формуле

Найдем выражение для  работы при вращении тела. Пусть  сила F приложена в точке B, находящейся на расстоянии от оси z равном r.

Угол a – это угол между направлением силы и радиус-вектором r.

 

 

 

 

При повороте тела на малый угол dj точка приложения B проходит путь

dS = r×dj,

и работа равна произведению проекции силы на направление смещения на величину этого смещения:

dA = F×sina×r×dj               (4)

 

 

 

 

 

Согласно формуле (2) получим:

dA = M_z×dj.

Таким образом, работа при  вращении тела равна произведению момента  действующей силы на угол поворота. Т.к. работа идет на увеличение кинетической энергии

тогда получаем               M_z×dj = I×w×dw

Продифференцируем обе части по dt:

Уравнение (5) представляет собой уравнение динамики вращательного  движения твердого тела относительно неподвижной оси.

Если ось z совпадает с главной осью инерции, проходящей через центр масс, то имеет место векторное равенство

МОМЕНТ ИМПУЛЬСА. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Моментом импульса материальной точки A относительно неподвижной точки O называется физическая величина, численно равная векторному произведению

где вектор r – радиус-вектор, проведенный из точки O в точку A, – импульс тела, вектор L – псевдовектор, его направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от вектора r к вектору p.

Модуль момента импульса

L = p×r×sina = p×l               (2)

где l – плечо вектора p относительно точки O.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Моментом импульса относительно неподвижной оси z называется скалярная величина L_z равная проекции на эту ось вектора момента импульса, определенного относительно произвольной точки O указанной оси.

При вращении абсолютно  твердого тела вокруг неподвижной оси  каждая точка тела движется по окружности радиусом r_i с некоторой скоростью v_i, причем вектор скорости, а следовательно и вектор импульса, перпендикулярны радиус-вектору, т.е. радиус-вектор является плечом вектора импульса и согласно выражению (2)

L_i = m_i×v_i×r_i               (3)

Тогда момент импульса абсолютно  твердого тела будет определяться суммой

Зная, что   v = w×r_i, получим

L = åw×r_i×m_i×r_i = w×åm_i×r_i² = w×I.

Получаем:                                              L = w×I               (4)

Продифференцировав выражение (4) по dt, получим:

Выражение (5) – еще  одна форма уравнения динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси: производная момента импульса твердого тела относительно оси равна моменту сил относительно той же оси. В замкнутой системе тел момент внешних сил M = 0, следовательно

Выражение (6) представляет собой закон сохранения момента  импульса: момент импульса замкнутой системы сохраняется, т.е. не изменяется со временем.

Закон сохранения момента  импульса – фундаментальный закон  природы. Он связан со свойством симметрии пространства – его изотропностью, т.е. с инвариантностью физических законов относительно выбора направления осей координат системы отсчета (относительно поворота замкнутой системы в пространстве на любой угол).

ЗАКОНЫ КЕПЛЕРА. ЗАКОН ВСЕМИРНОГО ТЯГОТЕНИЯ.

В начале 16 века польским ученым-астрономом Коперником была обоснована гелиоцентрическая система, согласно которой движение небесных тел объясняется  движением Земли и других планет вокруг Солнца, а также суточным вращением Земли.

К началу 17 столетия Кеплер, обработав и уточнив результаты многочисленных наблюдений датского астронома Томаса Браги, изложил законы движения планет:

1) каждая планета движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце;

2) радиус-вектор планеты за равные промежутки времени описывает одинаковую площадь;

3) квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся как углы больших полуосей их орбит.

В последствии Исаак  Ньютон, изучая движение небесных тел, на основе законов Кеплера и применяя законы динамики, открыл всеобщий закон  всемирного тяготения:

Между любыми двумя материальными  точками действует сила взаимного притяжения прямо пропорциональная произведению масс этих точек и обратно пропорциональная квадрату расстояния между ними. В данном случае F – сила всемирного тяготения, G – гравитационная постоянная

Физический смысл  гравитационной постоянной:

Если материальные точки  массами по 1 кг находятся на расстоянии 1 м, то сила взаимного притяжения равна 6,67×10^–11 Н.

Т.к. на любое тело, расположенное  вблизи поверхности Земли, действует  сила тяготения, под влиянием которой  и в согласии со II законом Ньютона тело начинает двигаться с ускорением g. Таким образом,

В данном месте Земли  ускорение свободного падения одинаково  для всех тел. Оно изменяется вблизи поверхности Земли в зависимости  от широты в пределах 9,78 – 9,832 м/с² (первое значение для экватора, второе для полюсов).

Это изменение обусловлено  суточным вращением Земли вокруг своей оси, а также сплюснутостью  Земли на полюсах. Если пренебречь суточным вращением Земли, то можно записать

m = r×V  (масса Земли) – величина не постоянная. На высоте h от Земли

Весом тела называют силу, с которой тело, вследствие тяготения  к Земле, действует на опору или  подвес, удерживающий его от свободного падения.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Состояние тела, при котором оно движется только под действием силы тяжести, называется состоянием невесомости.

Таким образом, сила тяжести  действует всегда, а вес проявляется  только в том случае, когда на тело кроме сил тяжести действуют  и другие силы, вследствие чего тело движется с ускорением a, а не g.

Определим работу, совершаемую силами поля тяготения при перемещении  в нем материальной точки массой m на расстоянии R. На данное тело действует сила, определяемая формулой:

При перемещении этого тела на расстояние dR совершается работа

Если тело перемещать р расстояния R₁ до R₂, то работа

Из формулы (4) видно, что  работа в поле тяготения не зависит  от траектории перемещения, а определяется начальным и конечным положением, тогда силы тяготения консервативны, а поле тяготения является потенциальным.

Обозначим

Величина   j = П / m   является энергетической характеристикой поля и называется потенциалом.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Потенциал поля тяготения j – это скалярная величина, определяемая потенциальной энергией единичной массы данной точки поля.

Согласно определению

где R – расстояние от этого тела до рассматриваемой точки, тогда можно записать

dA = –m×dj.

С другой стороны,                                    dA = F×dl = m×g×dl

Прировняем:                                                m×g×dl = –m×dj

 – величина характеризующая  изменение потенциала на единицу  длины в направлении перемещения  в поле тяготения.

В данном случае величина g, определяемая этим выражением, называется вектором напряженности, или градиентом скаляра j.

Лекция 5

ПРЕОБРАЗОВАНИЯ  ГАЛИЛЕЯ. МЕХАНИЧЕСКИЙ ПРИНЦИП ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ. НЕИНЕРЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА.

В классической механике справедлив механический принцип относительности, или принцип относительности Галилея: основы динамики одинаковы во всех инерциальных системах отсчета.

Для доказательства рассмотрим две  системы отсчета – инерциальную систему K с координатами (x; y; z), которую будем условно считать неподвижной, и систему K¢ с координатами (x¢; y¢; z¢), движущуюся относительно K равномерно и прямолинейно со скоростью u = const.

Отсчет времени начнем с момента, когда начала координат обеих  систем совпадают.

Пусть в произвольный момент времени расположение систем имеет вид (см. рисунок). Скорость u направлена вдоль OO¢, тогда

Найдем связь между  координатами произвольной точки A в обеих системах. Т.к.

запишем уравнение (1) в  проекциях на оси координат.

x = x¢ + u_x×t,    y = y¢ + u_y×t,    z = z¢ + u_z×t (2)

Уравнения (1) и (2) называются преобразованиями Галилея. В частном  случае система K¢ движется со скоростью v вдоль положительного направления оси x системы K. Если в начальный момент времени оси координат совпадают, то преобразования Галилея имеют вид:

x = x¢ + v×t,     y = y¢,     z = z¢.

В классической механике предполагается, что ход времени  не зависит от относительного движения системы отсчета, т.е. к преобразованиям (2) можно добавить

t = t¢               (3)

Продифференцировав выражение (1) по времени с учетом выражения (3), получим:

v = v¢ + u               (4),

которое представляет собой  правило сложения скоростей классической механики.

Ускорение точки A в системах отсчета K и K¢, движущихся друг относительно друга равномерно и прямолинейно, одинаково

a = a¢               (5)

Следовательно, если на точку A другие тела не действуют, т.е. ускорение равно нулю, то согласно выражению (5)   a¢ = 0,   т.е. система K¢ является инерциальной. Таким образом, из соотношения (5) вытекает подтверждение механического принципа относительности: уравнения динамики при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой не изменяется, т.е. является инвариантным по отношению к преобразованиям координат.