Лекции по "Физике"

Если для заданных P и T моль газа занимает молярный объем, то при тех же условиях масса газа m займет тот же объем.

Тогда получим выражение:

Выражение (5) является уравнением Клапейрона-Менделеева для произвольной массы газа. Если взять

где k – постоянная Больцмана, то получим

Давление идеального газа при данной температуре прямо пропорционально  концентрации его молекул. При одинаковых температурах и давлении все газы содержут в единице объема одинаковое число молекул.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Число молекул, содержащихся в 1 м³ газа, при нормальных условиях называется числом Лошмидта. Оно равно 2,68×10²⁵ 1/м³.

ОСНОВНОЕ УРАВНЕНИЕ  МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГАЗА.

Рассмотрим одноатомный идеальный газ, предположив, что молекулы движутся хаотически, число взаимных столкновений между молекулами газа пренебрежимо мало по сравнению с числом ударов о стенки сосуда, удары абсолютно упругие.

Выделим на стенке сосуда некоторую  элементарную площадку DS.

При каждом соударении молекула, движущаяся перпендикулярно площадке, передает импульс

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m₀×v – (– m₀×v)  = 2m₀×v,

где m₀ – масса молекулы, v – ее скорость.

За время Dt площадки DS достигнут только те молекулы, которые заключены в объеме цилиндра с основанием DS и высотой v×Dt. Число их равно   n×DS×v×Dt, где n – концентрация молекул.

Для упрощения расчетов хаотическое  движение молекул заменяют движением  вдоль трех взаимно перпендикулярных направлениях так, что в любой  момент времени вдоль каждого из них движется ¹/₃ часть всех молекул, причем половина из них движется в одну сторону, а половина – в обратную сторону. Тогда число ударов молекул, движущихся в заданном направлении и ударяющихся о площадку DS, будет равно

При столкновении все они передают импульс

Тогда давление газа, оказываемое  им на стенку сосуда

Если газ в объеме V содержит N молекул, которые двигаются со скоростями v₁, v₂, …, v_n, то рассматривают среднюю квадратичную скорость

которая характеризует всю совокупность молекул газа, тогда

Выражение (3) – это основное уравнение  молекулярно-кинетической теории идеальных  газов. Учитывая, что   n = N / V, получим

где E – суммарная кинетическая энергия всех молекул. Т.к. масса   m = m₀×N, то можно записать

Сравним с уравнением Менделеева-Клапейрона, получим:

или, зная, что   m = m₀×N_A   и   R = k×N_A, получим

Средняя кинетическая энергия поступательного  движения одной молекулы идеального газа

При температуре равной 0 К средняя  энергия равна нулю, следовательно  давление тоже равно нулю. Таким образом, термодинамическая температура является мерой средней кинетической энергии поступательного движения молекул идеального газа, и формула (8) раскрывает молекулярно-кинетическое толкование температуры.

ЗАКОН МАКСВЕЛЛА О  РАСПРЕДЕЛЕНИИ МОЛЕКУЛ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА ПО СКОРОСТЯМ И ЭНЕРГИЯМ ТЕПЛОВОГО ДВИЖЕНИЯ.

По молекулярно-кинетической теории, как бы не изменялись скорости молекул  при столкновениях, средняя кинетическая энергия, а следовательно и средняя  квадратичная скорость молекул массой m в газе, находящемся в состоянии равновесия, при постоянной температуре остается неизменной и рассчитывается по формуле (7).

Это объясняется тем, что в газе, находящемся в состоянии равновесия, устанавливается некоторое стационарное, не меняющееся со временем, распределение молекул по скоростям, которое подчиняется вполне определенному статистическому закону. Этот закон был теоретически выведен Максвеллом, который предположил:

1) газ состоит из очень большого числа N тождественных молекул, находящихся в состоянии беспорядочного теплового движения при одинаковой температуре;

2) силовые поля на газ не действуют.

Закон Максвелла описывается некоторой  функцией f(v), названной функцией распределения молекул по скоростям. Если разбить диапазон скоростей молекул на интервалы равные dv, то на каждый интервал скорости будет приходиться некоторое число молекул dN(v), имеющих скорость, заключенную в этом интервале. Функция f(v) определяет относительное число молекул

скорости которых лежат в  интервале от v до v + dv, т.е.

Применяя методы теории вероятности, Максвелл нашел функцию f(v) – закон распределения молекул газа по скоростям

Из формулы (2) видно, что конкретный вид функции зависит от рода газа, т.е. от массы молекулы и от параметра состояния T. Приведем график функции (2):При возрастании скорости множитель

уменьшается гораздо быстрее, чем  растет множитель v², поэтому функция f(v), начинаясь от нуля, достигает максимума при v_в и затем асимптотически стремится к нулю. Относительное число молекул

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

скорости которых лежат в  интервале от v до v + dv, находится как площадь заштрихованной полоски и равно 1. Это означает, что функция f(v) удовлетворяет условию нормировки

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Скорость, при которой функция распределения молекул идеального газа по скоростям максимальна, называется наиболее вероятной скоростью.

Значение наиболее вероятной скорости можно найти, продифференцировав формулу (2) по аргументу v, прировняв результат к нулю, используя условие максимума для выражения

Средняя арифметическая скорость определяется по формуле

Итак, по результатам распределения  Максвелла по скоростям были получены скорости, характеризующие состояние газа:

1) наиболее вероятная;

2) среднеарифметическая;

3) среднеквадратичная.

Сравнивая формулы (1) и (2), перейдем от переменной v к m₀×v² / 2:

где dN(E) – это число молекул, имеющих кинетическую энергию поступательного движения, заключенную в интервале от E до E + dE. Таким образом, функция распределения молекул по энергиям теплового движения имеет вид:

ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА  РАСПРЕДЕЛЕНИЯ БОЛЬЦМАНА.

Молекулы любого газа находятся  в постоянном потенциальном поле тяготения Земли. Тяготение с  одной стороны и тепловое движение молекул с другой с другой, приводят к некоторому стационарному состоянию газа, при котором давление газа с высотой убывает. Пологая, что поле тяготения однородно, температура постоянна и масса всех молекул одинакова, пусть на высоте h атмосферное давление равно P, тогда на высоте h + dh оно равно P + dP. При dh больше нуля dP должно быть меньше нуля, т.к. давление с высотой убывает.

Разность давлений P и P + dP равна весу газа, заключенного в объеме цилиндра высотой dh с основанием площадью 1 м², тогда

P – (P + dP) = r×g×dh,

где r – плотность газа на высоте h, а изменение dh настолько мало, что плотность газа можно считать постоянной, тогда

dP = –r×g×dh               (1)

Из уравнения Менделеева-Клапейрона

Подставим в формулу (1), получим

С изменением высоты от h₁ до h₂ давление меняется от P₁ до P₂, тогда

Выражение (2) определяет параметрическую  формулу. Если обозначить высоту относительно уровня моря, где давление считается  нормальным, тогда выражение (2) можно  записать в виде

При P = n×k×T

где n – концентрация молекул на высоте h. Принимая во внимание, что m = m₀×N_A, R = k×N_A, получим

m₀×g×h – это есть потенциальная энергия, тогда

Выражение (5) определяет распределение Больцмана для внешнего потенциального поля. Из него следует, что при постоянной температуре плотность газа больше там, где меньше потенциальная энергия его молекул. Если частицы имеют одинаковую массу и находятся в состоянии хаотического теплового движения, то распределение Больцмана справедливо в любом внешнем потенциальном поле.

СРЕДНЕЕ ЧИСЛО СТОЛКНОВЕНИЙ. СРЕДНЯЯ ДЛИНА СВОБОДНОГО ПРОБЕГА.

Молекулы газа, находясь в состоянии  хаотического движения, непрерывно сталкиваются друг с другом. Между двумя последовательными столкновениями молекулы проходят некоторый путь l, который называется длиной свободного пробега. В общем случае, длина пути между последовательными столкновениями различна, но т.к. мы имеем дело с огромным числом молекул и они находятся в бесконечном движении, то можно говорить о средней длине свободного пробега молекул <l>.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Минимальное расстояние, на которое сближаются при столкновении центры двух молекул, называется эффективным диаметром молекулы d.

Он зависит от скорости сталкивающихся молекул, т.е. от температуры газа. Т.к. за одну секунду молекула проходит путь равный среднеарифметической скорости и, если z – среднее число столкновений одной молекулы за одну секунду, то можно записать

Для определения z представим себе молекулу в виде шарика диаметром d, которая движется среди других «застывших» молекул, т.е.

другие молекулы не движутся. Эта  молекула столкнется только с теми молекулами, центры которых находятся  на расстоянии равных или меньших d, т.е. которые лежат внутри ломаного цилиндра радиусом d. Среднее число столкновений за 1 секунду равно числу молекул в объеме ломаного цилиндра.

<z> = n×V,   где n – концентрация молекул.

V = p×d²×<v>,   где <v> – это средняя скорость молекулы, или путь, пройденный ей за 1 секунду, тогда

<z> = p×n×d²×<v>.

При учете движения других молекул

т.е. <l>, или средняя длина свободного пробега, обратно пропорциональна концентрации n молекул.

ЯВЛЕНИЕ ПЕРЕНОСА В ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИХ  НЕРАВНОВЕСНЫХ СИСТЕМАХ.

Итак, в термодинамических неравновесных  системах возникают особые необратимые  процессы, называемые явлениями переноса, в результате которых происходит пространственный перенос энергии, массы, импульса.

К явлениям переноса относятся теплопроводность, обусловленная переносам энергии, диффузия, обусловленная переносом массы, и внутреннее трение, обусловленное переносом импульса. Для простоты ограничимся одномерными явлениями переноса. Систему отсчета выберем так, чтобы ось x была ориентирована в направлении переноса.

1) Теплопроводность.

Если в одной области газа средняя кинетическая энергия молекул  больше, чем в другой, то с течением времени вследствие постоянных столкновений молекул друг с другом происходит процесс выравниваний средних кинетических энергий молекул, т.е., иными словами, выравнивание температур.

Перенос энергии в форме теплоты  подчиняется закону Фурье:

Это величина, определяемая энергией, переносимой в форме теплоты  в единицу времени через единичную  площадку, перпендикулярную оси x. l – теплопроводность, или коэффициент теплопроводности. dt / dx – градиент температуры, равный скорости изменения температуры на единицу длины x в направлении нормалей единичной площадки. Знак «–» показывает, что при теплопроводности энергия переносится в направлении убывания температуры.

Физический смысл коэффициента теплопроводности.

Коэффициент теплопроводности l численно равен плотности теплового потока при градиенте температуры равной единице. Также коэффициент теплопроводности может быть рассчитан по формуле:

где C_V – удельная теплоемкость газа при постоянном объеме, r – плотность газа, <v> – среднеарифметическая скорость теплового движения молекул, <l> – длина свободного пробега.

2) Диффузия.

Явление диффузии заключается в том, что происходит самопроизвольное проникновение и перемешивание частиц двух соприкасающихся газов, жидкостей и даже твердых тел. Диффузия сводится к обмену масс частиц у этих тел, возникает и продолжается пока существует градиент плотности. Явление диффузии для химически однородного газа подчиняется закону Фика: