Шпаргалка по "физике"

Рассмотрим вопрос рассеяния  рентгеновских лучей с точки  зрения кинематического приближения, т.е.:

1. Пренебрегаем взаимодействием рассеянных волн с падающей волной и ослаблением последней из-за рассеяния.
2. Рассматриваем только однократное рассеяние.
3. Пренебрегаем поглощение в кристалле как падающей, так и рассеянной волной.

Такие допущения оправданы, если рассеивают кристалл малого объема и (или) с малой рассеивающей способностью центров.

 

Когерентное рассеяние  лучей

Под действием электромагнитного  поля падающей волны (рентгеновского излучения) электрон начинает колебаться с частотой, равной частоте колебаний электрического поля падающей волны. Колеблющаяся заряженная частица излучает во всех направлениях электромагнитные волны, частота которых  равна частоте колебаний электрона, а значит, и частоте падающей волны. Так возникает когерентное рассеяние электроном, механизм которого описывается в виде двух последовательных процессов: энергия первичной волны передается электрону, превращаясь в кинетическую энергию движения заряда; электрон отдает ее в виде рассеянной волны, то есть происходит обратное превращение энергии механического движения в энергию электромагнитного излучения. Основные особенности когерентного рассеяния рентгеновских лучей описываются на основе представлений классической электродинамики.

В соответствии с законами электродинамики амплитуда напряженности E_q электрического поля, создаваемого колеблющейся частицей с электрическим зарядом q на расстоянии R от этой частицы, выражается уравнением:

).

Как видно  из рисунка, φ – угол между направлением движения колеблющейся частицы и направлением испускаемых лучей; с – скорость света; p – так называемый дипольный момент колеблющейся заряженной частицы, равный qx_max.

В рассматриваемом нами случае q=-e, так что

 

 

Интенсивности рентгеновского излучения (как и любого другого  излучения электромагнитной природы) относятся между собой как  квадраты амплитуды соответствующих  электрических или магнитных  полей. Если обозначим через I_φ интенсивность рассеянных колеблющимся электроном рентгеновских лучей, идущих под углом φ к направлению движения электрона, а через I₀ – интенсивность первичного рентгеновского излучения, то

;

 

Разложим напряженность  поля падуещего излучения на две составляющие: Е_0║, лежащую в плоскости первичного и рассеянного лучей, и Е_0┴, перпендикуляной к этой плоскости. Если первисное излучение не поляризовано, то усредненные значения этих составляющих равны между собой, так что

│Е_0║│²=│Е_0┴│² = │Е₀│²/2.

Как видно из рисунка, для  составляющей Е_0║ угол φ₁=90°-2θ, где 2θ – угол между первичным лучем и направлением рассеяния, а для Е_0┴ φ₂=90°. В соответствии с этим, обозначив интенсивности рассеянных в направлении 2θ лучей, обусловленных обеими составляющими излучения, через I_φ1 и I_φ2, имеем

.

Данное уравнение носит  название уравнения Томсона, а множитель  – поляризационного множителя.

Рисунок. Схема рассеяния  рентгеновских лучей электронами

Поток энергии, рассеянный каждым электроном, распределяется по разным направлениям неравномерно. На расстоянии R от рассеивающего электрона интенсивность лучей, рассеянных под углом ψ к направлению пучка первичных лучей, выражается так:

где e и m – заряд и масса электрона; с – скорость света; I₀ – интенсивность первичных лучей.

Неравномерность рассеяния  лучей электроном обусловлена явлением поляризации при рассеянии.

Рисунок. Интенсивность рассеяния  лучей в зависимости от угла рассеяния (классическая теория).

На рисунке видно, что  интенсивность рассеяния максимальная в направлении первичного луча (ψ=0) и во встречном направлении (ψ=180°), минимальна (в два раза меньше максимальной) – в плоскости, перпендикулярной лучу.

 

Некогерентное рассеяние

При рассеянии коротковолнового рентгеновского излучения существенную роль играют квантовые эффекты. При  квантовом (комптоновском) рассеянии  рентгеновский фотон взаимодействует  с электроном по законам соударения упругих шаров. «Электрон отдачи»  приобретает в результате удара  дополнительную кинетическую энергию, фотон же равную по величине энергию  теряет, а потому длина его волны  увеличивается.

Закон сохранения количества движения, если пренебречь релятивистскими  поправками имеет вид

,

а закон сохранения энергии

 

Если считать, что ν' близко к ν, то длина волны λ_2θ лучей, рассеянных под углом 2θ к направлению первичного пучка, выражается так:

 

Рисунок. Схема, иллюстрирующее квантовое рассеяние

 

 

где h – постоянная Планка; m₀ – масса покоящегося электрона, с – скорость света.

Как видно из формулы, всего  сильнее изменяется длина волны  при рассеянии в направлении, обратном направлению первичного луча: здесь Δλ=0,0484 Å.

Для лучей большой длины  волны (например, 1 Å) даже ее максимальное изменение относительно невелико и составляет 4-5%. Но для жестких рентгеновских и γ-лучей длина волны в результате квантового рассеяния может увеличиться вдвое и даже в несколько раз.

Рисунок. Интенсивность рассеяния лучей  в зависимости от угла рассеяния (квантовая теория).

Интенсивность лучей при  квантовом рассеянии зависит  от угла рассеяния сильнее, чем при  классическом, и притом тем резче, чем больше энергия кванта ω₀=hν. При ω₀=1 Мэв на долю рассеяния под углами, большими 90°, приходится всего 10-20% от общей энергии рассеянных лучей вместо 50% при классической, а при ω₀ =10Мэв рассеяние под углами 10-15° вдвое слабее, чем в направлении первичного луча.

 

Функция атомного рассеяния

Рассеяние рентгеновских  лучей происходит главным образом  на электронах. Ядра атомов рассеивают рентгеновские лучи очень слабо. Поэтому, рассматривая рассеивающую способность  атома, имеет смысл сравнивать ее с рассеивающей способностью одного электрона. В дальнейшем нам придется выражать рассеивающую способность  атома, ячейки, кристалла в электронных  единицах, т.е. по сути дела, определять, во сколько раз рассеяние данным объектом больше, чем рассеяние электроном.

За единицу измерения  интенсивности рассеянного излучения  в рентгеноструктурном анализе  берется интенсивность лучей, рассеянных свободным электроном. Конечно, здесь  возникает осложнение, обусловленное  тем, что в веществе мы имеем не свободные, а связанные электроны. Но, как показывают расчеты, рассеяние  на внешних, слабо связанных с ядром электронах, можно достаточно точностью рассматривать как рассеяние на свободных электронах.

Введем понятие функции  атомного рассеяния (атомный фактор). Определим функцию атомного рассеяния  как отношение амплитуды волны, рассеянной атомом, к амплитуде волны, рассеянной свободным электроном:

Таким образом, функция атомного рассеяния или атомный фактор, является безразмерной величиной.

 

Классический расчет функции атомного рассеяния

Рассмотрим расчет функции  атомного рассеяния на основе классического  подхода. Предположим:

1. Электроны локализованы в объеме порядка объема атома;
2. Электроны атома слабо связаны друг с другом;
3. Частота рентгеновского излучения много больше частоты собственных колебаний электронов, но не настолько больше, чтобы были заметны релятивистские эффекты.

Рассмотрим два варианта расположения атомов: атомы в узлах  кристаллической решетки и атомы  в газе. С точки зрения рассеяния  одним атомом, конечно, несущественно  где они находятся – в газе или в решетке. Однако, если рассматривать интенсивность рассеянных лучей, то обнаруживается, что в случае кристаллической решетки наблюдается явление интерференции когерентных волн, рассеянных разными атомами, что приводит к резкому увеличению интенсивности дифракционных максимумов. В случае же газа волны, рассеянные разными атомами, не являются когерентными и мы наблюдаем простое сложение интенсивностей этих волн. Итак, в первом случае складываются амплитуды волн, а интенсивность пропорциональна квадрату суммарной амплитуды. Во втором случае складываются интенсивности.

 

 

Рассеяние атомами кристалла

Предположим, что кристалл образован атомами одного элемента. Допустим также, что тепловое движение атомов отсутствует. Для упрощения  расчетов рассмотрим сначала одноэлектронный  атом.

Пусть центр атома совпадает  с узлом кристаллической решетки. Так как рассеяние происходит на электроне, а он расположен на нектором расстоянии от центра атома, в уравнение волны, рассеянной таким атомом должен быть введен фазовый множитель , где k=2p/λ. Обозначим r - вероятность того, что электрон находится в объеме на конце радиус-вектора .

Амплитуда волны, рассеянной атомом, будет равна:

,

где a_е – амплитуда волны, рассеянной одним электроном. Так как интенсивность рассеянной волны определяется как энергия, переносимая за какой-то промежуток времени, для ее определения необходимо брать среднее значение амплитуды, т.е.

.

Среднее значение этой функции  подсчитаем через плотность вероятности  положения электрона:

r

Так как  есть функция атомного рассеяния f, то для нее получим выражение

r

Таким образом, функция атомного рассеяния есть трансформанта Фурье  от функции распределения электронной плотности в атоме.

Подсчитаем этот интеграл. Будем считать атом сферически симметричным. В качестве объема возьмем шаровой слой шириной rda и толщиной dr. Вектор есть вектор обратной решетки, пунктирная линия показывает след кристаллической плоскости (hkl), которой принадлежит рассматриваемый атом.

Элемент равен:

paa

apama

m=p

Для функции атомного рассеяния  получим:

rmapaarpmmm

ma  maa  mm

mmmmmmm

prmm.

Так как m=p, то функция f зависит от θ, а точнее от , т.е. от направления рассеяния.

Обозначим pr, где - вероятность того, что электрон находится в сферическом слое между и . При таком определении справедливо:

.

Функция атомного рассеяния  равна:

mm.

Перейдем теперь к многоэлектронным атомам. Введем для каждого электрона функции: ; ; ;….

Функция атомного рассеяния  будет выражаться через сумму  верочтностных функций:

mmmm

Здесь есть вероятность того, что в слое от до есть электрон. Условие нормировки этой функции:

.

Проведем анализ выражения функции атомного рассеяния.

1. Пусть угол θ очень мал. Когда θ стремится к нулю, то m также стремится к нулю. Предел отношения mm равен 1. В этом случае функция атомного рассеяния равна:

.

Таким образом, при уменьшении угла рассеяния до нуля функция атомного рассеяния стремится к числу, определяющему количество электронов в данном атоме, т.е. к значению порядкового  номера элемента.

2. Допустим θ=p/2, величина m стремится к 4p/λ. Тогда mm окажется меньше 1. В этом случает функция атомного рассеяния .

Рассеяние атомами газа

При рассмотрении процесса рассеяния  атомами газа необходимо прежде всего учесть, что между волнами, рассеянными разными атомами, нет определенных фазовых соотношений, эти волны являются некогерентными. Поэтому можно складывать и усреднять только интенсивности этих волн.

Рассмотрим многоэлектронные атомы. Пусть z – число электронов в атоме.

В каждый отдельно взятый момент атомы отличаются разной конфигурацией  электронов в них. Нам необходимо провести усреднение интенсивностей рассеянных волн по большому числу независимых  атомов, которые могут занимать в  пространстве любые положения. Однако такое усреднение можно заменить эквивалентной операцией – взять  интенсивность излучения, рассеянной на какой-то конфигурации электронов в  одном атоме и усреднить по всем возможным конфигурациям и  направлениям. Конечно при такой операции не учитываются внешние интерференционные эффекты, вызванные связью электронов в разных атомах, но, если среднее расстояние между атомами велико по сравнению с длиной волны излучения, то это можно не учитывать.

Пусть положение всех z электронов определяется векторами , , …. Амплитуда волны, рассеянной атомом будет определяться конфигурацией атомов в нем:

.

Интенсивность, рассеянная атомом, получается путем усреднения по всем конфигурациям интенсивности от одного атома, выраженной в электронных  единицах:

 

Выделим в этом выражении  слагаемые с n=m. Таких слагаемых всего z. Каждое из них будет равно 1.

Рассмотрим далее слагаемые  с . Для нахождения их среднего значения введем вероятности того, что электроны n и m находятся внутри малых элементов объема и на концах векторов и :r и r. Произведение вероятностей rr дает вероятность того, что одновременно электрон n находится в объеме , а электрон m  - в объеме .

Чтобы получить среднее значение слагаемого в выражениях для интенсивности, умножим его значение на вероятностный  множитель и проинтегрируем по объемам  и

rr

Предполагая, что оба электрона  независимы n и m друг от друга и оба интеграла можно вычислить независимо. Определим каждый интеграл как функции рассеяния и индивидуальных электронов в атомах.

Воспользуемся возможным  преобразованием суммы:

 

Получим для отношения  интенсивностей:

 

 

Обозначим . Это есть функция рассеяния для всего атома. Тогда

 

Сравним теперь формулы интенсивности, выведенные для атома в кристаллической  решетке и для атома в газе. Предположим, что в обоих случаях  имеется N атомов. Интенсивность излучения, рассеянного газом, равна сумме из N средних интенсивностей или: