Шпаргалка по "физике"

Обратим внимание на тот факт, что интегральное отражение обратно  пропорционально коэффициенту ослабления лучей μ. Для сильнопоглощающих кристаллов дифрагированная часть излучения мала.

2. Отражение при прохождении через кристаллическую пластинку.

Пусть серия отражающих плоскостей (hkl) перпендикулярна грани кристаллической пластинки толщиной t (рисунок). Расстояния, которые проходят в кристалле лучи, отражающиеся от разных элементов объема, все одинаковы и равны tsecθ₀. Интегральная отражательная способность равна

 

Где V-объем, равный соответственно

 

Обратим внимание, что интегральное отражение максимально, когда

 

Это, конечно, сильно ограничивает область применения метода, т.к. для сильнопоглощающих  кристаллов толщина пластинки должна быть очень мала. Достоинством метода является возможность сравнения  интенсивностей отражения от плоскостей, принадлежащих одной зоне.

 

Интегральное отражение  от кристаллического порошка

В рассмотренных ранее  примерах кристалл приводится в отражающее положение путем вращение его  по отношению к падающему пучку. В методе порошка в силу беспорядочной  ориентировки зерен образец может  без вращения отражать лучи по всем возможным для данного вещества направлениям.

Мы видели ранее, что обратное пространство порошка получается путем  вращения узла [[HKL]] обратной решетки вокруг возможных осей, проходящих через нулевой узел. Поэтому обратное пространство для данного (HKL)  является сферой радиуса с центром в узле [[000]]. Для различных (HKL) имеем набор сфер имеет толщину, определяемую размерами узла [[HKL]] обратной решетки или, в конечном счете, размерами рассеивающих зерен или блоков.

На рисунке показано образование  дебаевского кольца (HKL) при пересечении сферы Эвальда со сферой нормалей к плоскости (HKL).

Как видно, не все порошинки  при данном направлении падающего  луча дадут отражения в данное дебаевское кольцо. Отражние в него дадут только те порошинки, у которых  нормаль к плоскости (HKL) попадает в кольцо, являющееся местом пересечения сферы Эвальда и сферы, образованной узлами [[HKL]] обратных решеток зерен порошка. Подсчитаем вероятность того, что отражение от порошинок попадает в данное дебаевское кольцо. Для этого возьмем сферу произвольного радиуса R. В центре сферы P разместим мысленно отражающие плоскости (HKL) разных порошинок и проведем нормали к ним. Если разориентировка порошка совершенно беспорядочна, то точки выхода нормалей покроют сферу равномерно.

Рассмотрим зерна, для  которых нормали к выбранной  плоскости лежат между конусами с половинными углами раствора p и p. Для этих зерен отраженные лучи образуют конус, который на пленке даст дебаевское кольцо.

Обозначим W вероятность того, что нормаль к (HKL) попадает в угловой интервал между p и p. Очевидно, что эта вероятность равна отношению площади полосы между конусами нормалей с углами p и p к площади всей сферы. Тогда

 

Если в облучаемом объеме V порошка находится N зерен (порошинок), то из них в данное дебаевское кольцо дадут отражение NW зерен. Тогда

 

Поскольку dθ мало, то можно заменить на . Пусть – средняя отражательная способность одного зерна. Энергия, отраженная в направлении dθ всем объемом порошка, равна

 

В этой формуле число p учитывает число равнозначных плоскостей формы {HKL}, дающих отражение в данное дебаевское кольцо. Это число называется «фактором повторяемости».

После интегрирования получим

V

где V=N<V>, а <V> - средний размер зерна.

Эта формула определяет энергию, отраженную внутрь всего дебаевского  кольца за единицу времени.

 

Вторичная экстинкция

Точность вычисления интенсивности  ограничена эффектом, который носит  название «экстинкция». Этот эффект возникает  потому, что на первичный пучок  воздействует сам процесс дифракции  лучей.

В формулах интенсивности, полученных выше, предполагалось, что коэффициент  μ есть обычный коэффициент поглощения данного кристалла. Однако это не совсем верно. Луч, который доходит до какого-либо отражающего блока, проходит сначала через другие блоки, лежащие на меньшей глубине. В некоторых из этих блоков плоскости данного типа почти параллельны отражающим плоскостям и, следовательно, отражают какую-то часть излучения. Поэтому интенсивность волны, доходящей до отражающего блока, уменьшена не только вследствие обычного поглощения, но и вследствие отражения от почти параллельных вышележащих блоков. Таким образом, уменьшается и интенсивность дифрагированного луча. Формально это уменьшение интенсивности можно учесть, если ввести в выражение для интегрально интенсивности эффективный коэффициент поглощения вместо обычного коэффициента μ. Этот эффективный коэффициент будет тем больше, чем меньше величина разориентировки блоков и чем больше интенсивность рассматриваемого рефлекса.

Дарвином было предложено использовать эффективный коэффициент  поглощения в виде:

 

где g – есть постоянный для данного мозаичного кристалла коэффициент, а Q – удельная отражательная способность кристалла.

Это явление увеличения эффективного поглощения лучей в мозаичных  кристаллах Дарвином было названо вторичной  экстинкцией.

Обратим внимание на то, что  лучи, отраженные разными блоками, не являются когерентными в силу беспорядочного расположения блоков и их разориентировки. Поэтому для получения результирующего эффекта можно складывать только интенсивности этих лучей, а не амплитуды волн.

 

Отражение от идеальных кристаллов. Динамическая теория Дарвина.

Во всех расчетах в кинематической теории мы вводили некоторые предположения  относительно падающего и дифрагированного лучей. В частности, предполагали, что  луч проходит в кристалле со скоростью, равной его скорости в вакууме. Не учитывали взаимодействие падающей и отраженной волн. Не учитывали  преломления лучей на границе  кристалла с вакуумом. Не учитывали  то, что отраженная от какой-то плоскости  внутри кристалла волна может  еще отражаться обратно в направлении  падающего пучка. Если во всем объеме кристалла не нарушена правильность в расположении плоскостей, то у  дважды отраженного пучка будут  определенные фазовые соотношения с первичным пучком, что приводит к изменению амплитуды последнего. Нужно также учитывать, что и в направлении первичной волны идет волна, рассеянная в этом же направлении. Фаза ее отличается от фазы падающей волны. Рассеянная и падающая волны вместе образуют волну, которая несколько отличается по фазе от падающей волны. Это означает, что в кристалле волна распространяется с другой фазовой скоростью.

 

Показатель преломления  кристалла

Рассмотрим изменение  фазовой скорости в кристалле. Пусть  на грань кристалла падает волна  под углом θ, отличным от угла Брегга. Это соответствует отсутствию отраженной волны. Однако в направлении падающей волны будет существовать волна, рассеянная другой стороной плоскости. Амплитуду этой волны можно определить так же как в случае отражения от атомной плоскости. Для этого величину надо заменить на , т.е. на значение функции атомного рассеяния для излучения, рассеянного в том же направлении, что падающая волна. Обозначим амплитуду волны, рассеянной в направлении падения через q₀. Для этой величины запишем следующее выражение:

 

После прохождения  сквозь атомную плоскость амплитуда  прошедшей волны А будет равна сумме амплитуд падающей волны А₀ и волны, рассеянной в направлении падения А₁ (рисунок). Величину А₁ можно представить так:

p;       

Тогда

 

Если  мало, то

.

Таким образом, амплитуда  проходящей волны должна отличаться от амплитуды падающей волны на фазовый  множитель . Заметим, однако, что энергия падающего пучка должна быть равна энергии проходящего пучка, так как отраженная волна отсутствует. Это обстоятельство требует выполнения равенства . Можно дать следующую трактовку этого равенства. Амплитуда волны, рассеянной в направлении падения, очень мала по сравнению с . На векторной диаграмме (рисунок) можно показать, что добавка к вектора с изменение фазы на угол очень близкий к p/2 приведет только к некоторому повороту вектора .

Таким образом, при прохождении  атомной плоскости в первисной  волне происходит только изменение  фазы на .

Допустим теперь, что волна  проходит в кристалле через p плоскостей (рисунок). Общее изменение фазы равно . Кроме этого, пересекая p плоскостей, волна проходит расстояние . Это соответствует отставанию по фазе на p. Полное отставание по фазе равно:

p

Преобразуем выражение для 

ppppp

p

p

ppppp.

Таким образом, при прохождении  в кристалле расстояния x происходит изменение фазы волны на величину p. В вакууме этому же расстоянию x соответствовало бы изменение фазы волны, равное p. Другими словами, величина (1-δ) является показателем преломления кристалла. Обозначим показатель преломления через n. Получим

p.

Если элементами структуры  кристалла являются не отдельные  атомы, а группы, то в формуле вместо f(0) нужно использовать F(0).

 

Поправка к уравнению  Вульфа-Брегга

Рассмотрим две соседние плоскости в кристалле, грань  которого параллельна отражающим плоскостям. Если выполняется условие отражения, то разность фаз волн, отраженных от соседних плоскостей, равна 2pm, где m – целое число. При прохождении через атомную плоскость фазы и проходящего, и отраженного пучков изменяются на (-q₀). При этом одна из волн проходит через плоскость дважды.

Пусть Δ есть разность фаз, появившаяся в результате прохождения волной 1 расстояния ABC между плоскостями, Δ - разность фаз вследствие двукратного пересечения плоскости (рисунок).

Общая разность фаз этих двух волн равна: Δ. Если выполняется условие максимума дифракции, эта разность фаз должна быть кратна 2p. Обратим внимание, что при этом угол, отвечающий максимуму, не будет уже равен .

pppp

 

Мы получили уравнение, которое  тоже может быть названо уравнением Вульфа-Бренгга, но с поправкой на преломление лучей. Как мы видели, причина этой поправки состоит в изменении фазы волны при прохождении сквозь атомную плоскость.

Так как величина δ мала, то эта поправка также невелика.

 

Отражение от семейства  плоскостей кристалла с учетом многократных отражений

Следующей нашей задачей  будет вычисление интенсивности  отражения от грани идеального кристалла. Будем полагать, что внешняя грань  кристалла параллельна системе  отражающих плоскостей с межплоскостным расстоянием d. Пусть номера этих плоскостей от поверхности вглубь кристалла будут 0, 1, 2, 3….p-1, p, p+1, … Обозначим также А – амплитуду волны, проходящей в кристалл, В – амплитуду отраженной волны. Такие волны сопровождают каждую плоскость кристалла. Амплитуда волны, падающей на внешнюю грань А₀, амплитуда суммарной волны, отраженной от внешней грани, В₀ (рисунок). Поглощение волн в кристалле пока не учитываем.

В основе расчетов, проведенных  Дарвином лежит представление о  взаимном обмене энергий между первичным  и отраженным пучками. Для плоскостей p и p+1 были получены следующие выражения для амплитуд волн:

 

 

 

 

…………………………………………………..

Из этой системы можно получить отношение амплитуды пучка, отходящего от поверхности кристалла, к амплитуде падающей волны:

p

где . Изменение фазы p.

 

Область полного отражения  от грани малопоглощающего кристалла

Рассмотрим угол θ₁, соответствующий максимуму дифракции. Мы видели, что в случае учета преломления лучей этот угол отличается от θ₀ на величину Δθ₁. Этому углу соответствует изменение фазы φ₁ при прохождении волной расстояния между плоскостями:

pp

При этом наличие mp говорит о близости к углу θ₀, когда φ₀=mp. Если возьмем угол θ, немного отличающийся от θ₁ и θ₀, то изменение фазы можно записать так:

p

ε  - малая величина, которая обращается в 0, когда θ=θ₁.

Для соотношения  существует следующая зависимость от θ (рисунок). Середина области полного отражения находится при , что соответствует θ=θ₁. Область простирается от до .

p             p

Ширина всей области отражения  равна 2.

Таким образом, пределы области  полного отражения:

pp

Эта область тем шире, чем  больше длина волны и чем больше отражательная способность атомной  плоскости кристалла. Величина области  невелика и составляет всего несколько  секунд. Относительно брегговского угла отражения эта область располагается следующим образом:

 

Величина γ зависит от состояния поляризации:

             

 

Интегральное отражение  от грани малопоглощающего кристалла

Найдем величину интегрального  отражения . Интегральное отражение численно равно площади под кривой на рисунке (предыдущий параграф). Эта площадь состоит из двух частей: области полного отражения и крыльев кривой.

Для подсчета площади крыльев  кривой нужно взять интеграл по ε от или от от функции , считая q постоянными. Расчет показывает, что площадь под крыльями кривой составляет всей площади, ограниченной кривой. Тогда на область полного отражения приходится . Вся площадь под кривой будет в раза больше площади прямоугольника шириной 2. Получим

 

Для неполяризованного излучения 

p

 

Тогда

p

Таким образом, мы получили выражение, определяющее интегральное отражение  от грани идеального малопоглощающего кристалла. Если сравним с выражением, которое мы получили ранее в рамках кинематической теории

 

то увидим, что они существенно отличаются. Для мозаичного кристалла получается гораздо большее значение интегральной интенсивности. Причина этого состоит в явлении, называемом «первичной экстинкцией».