Математические методы в экономике

Определить  линию IS до и после появления государства: а) аналитически; б) графически.

 

 

№24. На рынке благ установилось равновесие при y = 1000. Изменится ли равновесное значение НД и почему в результате следующих мероприятий правительства:

а) правительство  повысило ставку подоходного налога с 20 до 25% и одновременно увеличило  государственные расходы со 150 до 200 ед. б) правительство сократило  на 15 ед. субвенции и увеличило  на 15 ед. закупку благ.

 

 

 

№25. При C = 0,6 y^v; I = 120; G = 100; T_y = 0,25  на рынке благ установилось равновесие, но существующие производственные мощности позволяют увеличить НД в 1,25 раза. Как государство должно изменить расходы на покупку благ и (или) ставку подоходного налога, чтобы обеспечить полное использование производственных мощностей при сбалансированности государственного бюджета?

 

 

№26.  В экономике без государства и заграницы объем автономных инвестиций равен 50, а функция сбережений имеет вид S = 0,2y–100. При полном использовании производственного потенциала величина НД достигает 1000 ед.

1) Как посредством  участия государства в экономике  обеспечить производство на уровне НД полной занятости при условии, что: а) все государственные расходы должны осуществляться за счет налогов, взимаемых по прямой (единой) ставке подоходного налога; б) предельная склонность к сбережению от располагаемого дохода остается равной 0,2.

2) На сколько  при этом возрастет НД?

 

 

№27. Даны следующие зависимости, определяющие равновесие на рынке благ:

           y = C + I + G; C = C_a + y^v; T = T_yy; I = R – I_ii_.

Дополните их уравнением, недостающим для определения  равновесия на рынке, и представьте  равновесное значение национального  дохода в алгебраическом виде.

Рынок денег

 

№28. Центральный банк располагает активами в размере 60 млрд р.; он установил норму минимального резервного покрытия 20%. Коммерческие банки в качестве избыточных резервов держат 15% депозитов и выдали кредитов на сумму 65 млрд р. Спрос населения на деньги для сделок и из–за предосторожности составляет 25% получаемого ими реального дохода, а спрос на деньги как имущество определяется по формуле 36/(i–1). Уровень цен постоянно равен 1. 

1) Какова должна  быть величина реального НД, чтобы при ставке процента, равной 5, все предложенное банковской системой количество денег добровольно держало население? 

2) Как изменится  эта величина, если при прочих  неизменных условиях Центральный  банк снизит минимальную норму резервного покрытия вдвое, а коммерческие банки все приращение избыточных резервов используют для дополнительных кредитов? На сколько возрастет сумма кредитов?

 

 

№29. Из получаемых ежемесячно 10000 ден. ед. дохода домашние хозяйства определенную долю (n) держат в виде наличных денег, а другую (1 – n) в виде облигаций, приносящих 4% годовых. Плата за конвертирование пакета облигаций в деньги (на любую сумму) равна 50 ден. ед. 

1) При каком  среднем количестве наличных  денег затраты на держание  реальной кассы будут минимальны? 

2) Как изменится скорость обращения денег, если ставка процента возрастет до 9%?

 

 

№30. Олег, Семен и Илья купили по государственной облигации, имеющую номинальную цену 50 ден. ед., ежегодный гарантированный номинальный доход в 4 ден. ед. и бесконечный срок обращения. Олег ожидает, что через год курс облигации будет равен 36 ден. ед.. Семен – 40 ден. ед., а Илья – 44 ден. ед. Определите значение критической ставки процента для каждого из покупателей облигации.

 

 

№31. Предложение денег осуществляется по формуле M = 150 + 5i; скорость их обращения равна 25 оборотов за период, в течение которого создается реальный доход в размере 2900 ед. Спрос домашних хозяйств на деньги по мотиву предосторожности равен 1% получаемого ими дохода, а реальный спрос на деньги как имущество характеризуется формулой 47– 2i.

1) Определить  равновесную ставку  процента.

2) Построить  график LM.

3) Как изменится  расположение линии LM, если: а)  скорость обращения денег снизится  в 2,5 раза? Почему? б) уровень цен  снизится на 1/4?

4) За сколько в ситуации 3) можно продать облигацию, купленную в ситуации 1) за 600 ден. ед.?

 

 

№32. Денежная база страны составляет 5000, а количество находящихся в обращении денег равно 20000 ден. ед.; при этом минимальная норма резервного покрытия равна 10%, а доля наличных денег у населения равна 1/5 всей суммы кредитов,  предоставленных коммерческими банками.

Определить: а) запланированные избыточные резервы  коммерческих банков; б) на сколько  возросло бы количество денег в обращении  при отсутствии избыточных резервов?

 

 

№33. При реальном НД, равном 1000, в обращении находится 900 ден. ед. и на рынке денег установилось равновесие при ставке процента, равной 8%. Функции спроса на деньги для сделок и как имущество соответственно равны l_сд = 0,25y и l_им = 4800/i.

Какова предельная склонность к предпочтению ликвидности по мотиву предосторожности?

 

 

№34. В обращении находится 250 ден. ед., каждая из них в среднем совершает 10 оборотов в год. Предельная склонность к предпочтению ликвидности в качестве имущества равна 8 реальным ден. ед. Спрос на деньги из–за предосторожности равен нулю. Когда годовая ставка процента поднимается до 25%, тогда спрос на деньги как имущество тоже становится равным нулю. Текущая ставка процента равна 12%. 

1) При какой  величине НД в этих условиях уровень цен будет равен 1? 

2) Каковы будут  номинальные объемы спроса на  деньги для сделок и в качестве  имущества, если при тех же значениях ставки процента  и реального НД уровень цен возрастет на 25%?

3) Каковы будут  номинальные объемы спроса на  деньги для сделок и в качестве имущества после восстановления равновесия на денежном рынке?

Рынок ценных бумаг

 

 №35. Пассив баланса коммерческого банка содержит следующие статьи (млн руб.): вклады до востребования – 500; срочные вклады – 250; собственный капитал –  100,  Норматив минимального резервного покрытия по вкладам до востребования равен 15%, а по срочным вкладам –  10%. 

1) На какую  сумму банк сможет увеличить  кредиты, если половина вкладов  до востребования будет переоформлена на срочные вклады? 

2) Как изменится  эта сумма, если владельцы срочных  вкладов на 40% своих возросших депозитных средств купят у банка ценные бумаги? 

 

 №36. Текущий баланс коммерческого банка имеет следующий вид (млн руб.).

 

Актив		Пассив
Обязательные резервы	280	Бессрочные депозиты	1000
Избыточные резервы	100	Срочные депозиты	800
Облигации	620	Собственный капитал	50
Кредиты	850
Всего	1850	Всего	1850

 

Для бессрочных вкладов Центральный  банк установил 20%-ную норму минимального

резервного покрытия, а  для срочных –10%-ную.

 

1) В этот банк обратились  за очередной ссудой в размере  350 млн р. Может ли банк предоставить такую ссуду?

 

2) В связи с повышением  рыночной ставки процента при  неизменной депозитной ставке по срочным вкладам владельцы последних приобрели в своем банке облигаций на сумму 500 млн р. Какую максимальную ссуду может теперь предоставить рассматриваемый банк и как будет выглядеть его баланс после предоставления такой ссуды?

 

 

№37. На основе приведенных данных о взаимонезависимых доходностях двух акций A  и B:

Доходность	Момент наблюдения
	I	II	III	IV	V	VI
rA	25	-10	10	5	35	13
rB	0	15	-5	5	20	25

 

1) определить  ожидаемые значения доходности  и риска портфелей, содержащих: а) только акции A; б) только акции B; в) поровну акций A и B;

2) составить  портфель с минимальным риском.

 

 

№38. Леня намерен за счет сбережений сформировать портфель из двух разновидностей ценных бумаг. Первая из них имеет: ;  вторая соответственно . Отношение Лени к риску представлено функцией полезности ,  где r_p и – соответственно доходность и степень риска портфеля. Определить оптимальную структуру портфеля для Лени.

 

 

 

№39. Не склонный к риску индивид желает составить портфель из акций компаний A  и B. Акции имеют следующие характеристики: .  Доходности акций не зависят друг от друга.

1) Определить  стандартное отклонение портфеля, обладающего минимальным риском.

2) Как индивид,  стремящийся к минимизации риска, изменит структуру портфеля, если доходность акции компании A возрастет до 13?

 

 

№40. Федор формирует портфель ценных бумаг из облигаций с гарантированной доходностью 13% и акций с ожидаемой доходностью 25% при стандартном отклонении 4.  На какую максимальную доходность портфеля Федор может рассчитывать, если он желает, чтобы степень риска его доходности, измеренная стандартным отклонением, не превышала 2? Какова при этом должна быть структура портфеля?

 

 

№41. 1) За какую цену можно продать облигацию номинальной стоимостью 10 тыс. р., с годовым купоном 2.5 тыс. р. за 6 лет до ее погашения, если в данный момент I=10% и покупатель ожидает, что в течение этих 6 лет рыночная ставка процента будет равна 10%?  2) При каком годовом доходе эта цена равнялась бы 10 тыс. р.?

 

 

№42. На момент понижения дисконтной ставки с 20 до 15% Константин имел пакет облигаций общей номинальной стоимостью 150 тыс. р., обеспечивающий годовой доход 30 тыс. р. До момента гашения данных облигаций остается 5 лет. 

1) На сколько изменилась текущая ценность имущества Константина в результате снижения дисконтной ставки? 

2) На сколько  в связи с понижением ставки  процента изменится ценность его накоплений к моменту гашения облигации? 

3) Влияет ли  на величину ожидаемых накоплений снижение ставки процента за год до гашения облигации?

 

 

№43. Номинальная цена облигации, выпущенной на 8 лет, равна 100 ден. ед. При предположении, что текущая ставка процента, равная 8%, не изменится до момента гашения облигации, определить  рыночную цену облигации в момент выпуска (t = 0) и за 3 года до ее гашения (t = 5), если по ней ежегодно выплачиваются дивиденды в размере: а) 10; б) 8; в) 6 ден. ед.

 

 

 №44.  В обращении находится 5 видов облигаций номинальной ценностью 100 р. каждая, со следующими отличительными характеристиками.

 

Вид облигации	годовой доход (руб)	срок до гашения (лет)
I	10	8
II	10	2
III	8	5
IV	6	2
V	6	8

 

1) Определить  рыночные цены каждой из них  в текущем году (t = 0) и в периоды: t = 1; t = 2; t = 5; t = 8.

2) Изобразите  результат вычислений графически в системе координат B_i,t.

 

 

№45. На основе представленных в таблице данных 10 наблюдений за уровнем доходности акций компаний A и B определите среднеожидаемую доходность и стандартное отклонение каждой и составленного из них портфеля с минимальным риском.

 

	Момент наблюдения
	I	II	III	IV	V	VI	VII	VIII	IX	X
rA	20	-8	10	5	25	22	-5	15	0	6
rB	-2	12	-3	5	15	12	5	0	10	-4

 

 

№46. Инвестор может использовать свои сбережения для покупки акций двух фирм, A и B. Ожидаемые доходности этих акций независимы друг от друга и соответственно равны: . Наряду с этим существует кредитный (денежный) рынок, на котором можно ссужать и брать взаймы под гарантированный процент i = 5%. Определить структуру имущества данного инвестора, если его функция полезности имеет вид  , где r_v, – доходность и риск портфеля; cov(A,B) = 0.

 

 

№47. На денежном рынке можно ссужать или занимать деньги по фиксированной ставке i = 5%. На фондовом рынке обращаются два вида акций:  ; cov(A,B) = 0.  Инвестор желает иметь от своих сбережений 11% дохода. Определить:

1) необходимую для достижения  поставленной цели структуру  вложений;

2) ожидаемую доходность  и риск рыночного портфеля акций.

IS–LM модель

 

№48. Заданы функции, определяющие поведение экономических субъектов на рынках благ и денег: C = 0,6y + 50; I = 200 – 20i; l_сд = 0,4y; l_им = 500 – 50i. В обращении находится 400 ден. ед.

1) Как они распределятся  между l_сд и l_им при достижении совместного равновесия на рынке благ и финансовых рынках?

2) На рынке благ, кроме  спроса домашних хозяйств и  предпринимателей, появляется спрос  государства в размере 50 ед., который  финансируется за счет займов  у населения. Как это изменит величину частных инвестиции и потребления при прежнем поведении предпринимателей и домашних хозяйств?