Математические методы в экономике

3) Каковы были  бы равновесные значения y, N, P, w, i, если бы в исходных условиях в обращении находилось 36 ден. ед.?

 

Теория экономических циклов

 

№78. До периода t₀ на рынке благ существовало динамическое равновесие. При этом домашние хозяйства сберегали по формуле , а предприниматели инвестировали по формуле . В периоде t₁ предприниматели увеличили автономные инвестиции до 150 ед., а с периода  t₂  вернулись к исходному их объему.

1) Основываясь  на модели экономического цикла  Самуэльсона–Хикса, определите  величину индуцированных инвестиций в периоде t₅.

2) Будут ли  в каком либо из периодов  после периода t₁ отсутствовать индуцированные инвестиции? Почему?

 

 

№79. В экономике без государства и заграницы объем сбережений в году t определяется по формуле S_t = 0,2y_t–1 – 120, При ежегодных автономных инвестициях, равных 400 ед., экономика находится в состоянии динамического равновесия. Объем индуцированных инвестиций отображается формулой  I_t = 0,25(y_t–1 – y_t–2).

1) Какова величина  равновесного НД?

2) Какова будет  величина НД в 8–м году, если  в 5–м году объем автономных  инвестиций возрастет на 100 ед.,

2а) а с  6–го года вернется к своему  исходному уровню?

2б) и сохранится  на этом уровне все последующие  годы?

3) К каким  значениям стремится НД в случаях  2а) и 2б)?

4) Какова будет  динамика НД в случаях 2а)  и 2б)?

5) Ответьте на  вопросы 1), 2), 3), 4) при условии,  что предельная склонность к  сбережению вдвое, а объем годовых автономных инвестиций в 2,3 раза больше, чем в исходном состоянии.

6) Ответьте на  вопрос 3) при условии, что объем  индуцированных инвестиций

отображается формулой I_t = y_t–1 – y_t–2.

7) В исходном состоянии  автономные инвестиции становятся убывающей функцией от ставки процента предшествующего года: I_t = 400 – 20i_t–1. Ставка процента устанавливается на денежном рынке, на котором спрос характеризуется формулой L  =  0,15y_t–1 + 120 – 6i_t, а предложение постоянно равно 360 ден. ед. и P = 1.

7а) Какова величина  равновесного НД?

7б) Какова будет динамика  НД при увеличении объема автономных  инвестиций?

7в)  Какова будет динамика  НД при увеличении объема автономных  инвестиций,

если объем индуцированных инвестиций определяется по формуле I_t = y_t–1 –  y_t–2?

7г) Ответьте на пункт  в) при условии, что предложение  денег осуществляется по формуле = 0,41y_t–1 + 20i_t, а функция сбережений имеет вид S_t = 0,4y_t–1–120.

 

 

№80. Дано: функция потребления домашних хозяйств – C = 0,75y_t–1; функция спроса населения на деньги – L = 0,125y_t–1 + 60 – 5i_t; функция автономных инвестиций – I^a = 200 – 4i_t–1; функция индуцированных инвестиций – 0,6(y_t–1 – y_t–2); объем государственных расходов – G = 470. Определить: 

1) равновесную величину  национального дохода, если банковская система поддерживает постоянное количество денег в обращении – M = 360; 

2) установится  ли новое  равновесное значение национального  дохода при увеличении государственных расходов на 80 ед. и какова после этого будет динамика национального дохода? 

3) функцию (правило) предложения  денег, гарантирующую монотонное (не колебательное) движение величины национального дохода к его новому равновесному значению при увеличении государственных расходов на 80 ед. 

4) Подтвердите ответы на вопросы 2) и 3) расчетами и графической иллюстрацией.

 

 

№81. Если в классическую модель Самуэльсона–Хикса,  объясняющую характер конъюнктурных колебаний взаимодействием мультипликатора и акселератора, включить регламентированную фискальную политику государства, предписывающую осуществлять государственные расходы по формуле G_t = G₀ + d(y_F – y_t–1); 0 < d < 1 (при полной занятости объем госрасходов фиксируется объемом G₀, а в случаях отклонения от национального дохода полной занятости расходы корректируются по указанной формуле), то расширится или сузится область устойчивого равновесия в этой модели?

Представьте результат графически.

 

 

№82. Годовой темп прироста трудовых ресурсов равен 1%. Технический прогресс, являющийся следствием роста капитала, обеспечивает ежегодное увеличение производительности труда на 2%; при этом и K_t/y_t = 4. На инвестиции направляется вся прибыль (вся доля предпринимателей в НД); прирост капитала за период равен объему осуществленных инвестиций: DK_t  =  I_t. Реальная ставка заработной платы зависит от доли занятых в общей численности трудовых ресурсов (v_t º N_t/N_t^*)  и определяется по формуле =  1,2v_t – 1. 

1) Определить  на основе модели Гудвина   динамику доли труда в НД и уровня занятости в течение ближайших 25 лет, если в исходном периоде v₀  =  0,85, а доля труда в НД равна d₀  =  0,885. 

2) При каких  значениях v  и d установится динамическое равновесие в экономике?

Теория инфляции

 

 

№83. Число работающих в состоянии полной занятости составляет 64 млн человек; при этом величина НД достигает 360 млрд р. Динамика фактической занятости (N) в течение 12–летнего периода характеризуется следующими данными. 

Год	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
N	64	70	68	60	58	58	70	64	64	66	70	64

 

1) Какова в эти годы  была: 

а) номинальная ставка зарплаты, если известно, что в 1–м году она  равнялась 15 ден. ед. и ее динамика соответствовала  теоретической кривой Филлипса с параметром a =  0,2? 

б) величина реального НД, если известно, что каждому проценту конъюнктурной безработицы соответствовало сокращение НД полной занятости на 2.5%? 

в) величина номинального НД, если известно, что ценообразование осуществлялось по методу «затраты плюс» с коэффициентом начисления на зарплату, равным 0,25?

2) Каков будет объем  совокупного предложения при  годовом темпе инфляции, равном 5%, если: 

а) отсутствуют инфляционные ожидания? 

б) инфляционные ожидания равны 5%? 

в) инфляционные ожидания равны 4%?

 

 

№84. Функция спроса на клубнику имеет вид = 9 – P_t, а функция предложения – . Известно, что в нулевом периоде на рынке было равновесие при P₀ = 2,5.  Какова будет цена клубники в периоде t₃ при:  а) статических ожиданиях?  б) адаптивных ожиданиях с коэффициентом адаптации 0,25?  в) рациональных ожиданиях?

 

 

№85. В апреле 1994 г. в России месячный темп инфляции равнялся 8,5%, а номинальная межбанковская процентная ставка по краткосрочным кредитам была 16,7%; в мае соответственно названные показатели имели следующие значения: 6,9% и 15%.  В каком из этих месяцев реальная межбанковская процентная ставка была выше?

 

 

№86. Установлено, что национальный доход полной занятости равен 1100; при увеличении конъюнктурной безработицы на 1% разность между национальным доходом полной занятости и фактическим национальным доходом увеличивается на 3%. Воздействие конъюнктурной безработицы на изменение денежной ставки заработной платы характеризуется равенством . Установление цен на блага осуществляется по принципу «затраты +». Инфляционные ожидания формируются в соответствии с концепцией статических ожиданий: .

На основе приведенных  данных постройте динамическую функцию  совокупного предложения с инфляционными ожиданиями.

 

 

№87. Построить динамическую функцию совокупного спроса на основе следующих данных о поведении макроэкономических субъектов: функция сбережений S  = –60 + 0,35y; функция инвестиций I = 180 – 10i; функция спроса на деньги l = 0,1y + 400 – 8i. Государство закупает 110 ед. благ. Установлена постоянная ставка подоходного налога – 15%. В обращении находится 840 ден. ед.

 

 

№88. Известны динамические функции совокупного спроса:

  и совокупного предложения: 

= y_F + 4500p_t – 4500 . В нулевом году в экономике установилось динамическое равновесие при y₀ = y_F =  360 и = p_t  =  0,02. Экономические агенты принимают решения на основе статических инфляционных ожиданий: =  p_t–1. С первого года темп прироста предложения денег возрос с 2 до 5%.

  Определить темп инфляции  и величину реального НД в  4–м году.

 

 

 №89. Динамическая функция совокупного спроса имеет вид

             

а функция совокупного  предложения  = y_F + 25(p_t – ). В исходном нулевом периоде экономика находится в динамическом равновесии при полной занятости и реальном НД, равном 10 ед. Темп прироста предложения денег  постоянно равен 5%. Полагая, что поведение макроэкономических субъектов основывается на статических инфляционных ожиданиях, определить динамику НД и темпа инфляции до 5–го периода, если: 

а) с 1–го периода  прирост предложения денег постоянно равен 8%; 

б) при постоянном 5%–ном приросте предложения денег  с 1–го периода государственные расходы увеличатся на 2 ед., не изменяясь в последующие периоды; 

в) при постоянном 8%–ном приросте предложения денег  с 1–го периода государственные расходы увеличатся на 2 ед., не изменяясь в последующие периоды; каков будет равновесный темп инфляции в последнем случае? 

 

 

 №90. В стране действует следующая шкала налогообложения доходов.

 

Ty (%)	12	25	60
Y (ден. ед.)	0 < Y £ 180	180 < Y £ 500	Y > 500

 

В прошедшем периоде доходы трех домашних хозяйств составляли 170, 400 и 800 р., а оптимальный размер реальных кассовых остатков каждого хозяйства  соответственно равнялся 20, 50 и 80 р. За текущий период уровень цен удвоился и вдвое возросли номинальные доходы всех хозяйств. Вследствие ожидания дальнейшего роста уровня цен домашние хозяйства сократили спрос на реальные кассовые остатки на 20%.

1) Какова общая сумма  инфляционного налога?

2) Как изменилась величина  реального располагаемого дохода  каждого из трех домашних хозяйств?

 

 

Стабилизационная политика в закрытой экономике

 

№91. Дано: производственная функция y = 60N – 3N²; функция инвестиций I = 98,2 – 4,8i; функции спроса домашних хозяйств на блага C = 0,4y; функция спроса на деньги L  = 0,04Y + P(60 – i); функция цены предложения труда W^S = 2 + 5,6N. Кроме того, известно, что G = 80; T_y = 0,25;  в обращении находится 60 ден. ед. 

1) Каковы должны  быть финансируемые за счет  займа у населения государственные расходы, чтобы ОЭР установилось при y  =  252? Как при этом изменится уровень занятости? 

2) Ответьте на  вопросы задания 1) при  W^S = 2P+5,6N. Как объяснить такое изменение занятости? В чем выражается в рассмотренных случаях «эффект вытеснения»? 

3) На сколько надо изменить  количество находящихся в обращении денег, чтобы при прочих исходных условиях реальный НД равнялся 252? Как изменение объема предложения денег повлияло на ставку процента? Почему? Как по сравнению с условиями пункта 1) изменится номинальное количество денег для сделок и в качестве имущества? 

4) а) На сколько надо  сократить объем предложения  денег, чтобы в исходных условиях в целях «охлаждения конъюнктуры» снизить занятость на 10%?  б) Как надо было бы изменить ставку подоходного налога, чтобы достичь этой же цели?

 

 

№92. Функция потребления домашних хозяйств имеет вид C = 0,6y; функция спроса на реальные кассовые остатки l = 0,48y +18 – 3i; а функция предложения труда N^S  = 0,675W;  объем инвестиций характеризуется функцией I = 8 – i; а объем выпуска – производственной функцией y = 10N^0,5. В обращении находится 19.2 ден. ед.

1) При какой занятости  в этом хозяйстве установится  ОЭР?

2) Определить объем государственных  расходов, необходимых для доведения

занятости до 4 ед.: а) ограничиваясь  моделью рынка благ; б) на основе IS–LM–модели; в) на основе модели ОЭР.

3) Чем объяснить, что  при переходе от а) к в)  в задании 2) размер расходов  постоянно увеличивается?

 

 

№93. Состояние экономики представлено следующими функциями и параметрами:

y =  28N – 2N² – производственная функция; I  =  20–3i – функция инвестиций;

l  =  0,4y + 120 – 6i – функция спроса на реальные кассовые остатки; W^S = 0,5N + 10 – функция цены предложения труда; M  =  128; G  =  40; S_y = 0,3; T_y = 0,3. 

Как за счет осуществления  комбинированной экономической политики обеспечить увеличение реального  НД на 5 ед. при сохранении ставки процента на исходном уровне?

 

 

№94. В текущем году произведен НД y = 40 в то время как y_F = 48. Государственные расходы G = 15, а действующая ставка подоходного налога T_y = 25%. С учетом исполнения бюджета в текущем году доля государственного долга в НД составила 50%. Текущая ставка процента равнялась 8%.  На основе приведенных данных определить дефицит государственного бюджета: а) общий; б) структурный; в) циклический; г) первичный.