Математические методы в экономике

 

 

№95. Известны следующие данные о национальной экономике: технология производства отображается производственной функцией  y = 28N – N²; спрос фирм на инвестиции – 

I = 20 – 3i; спрос государства на  блага равен 55 ед.; спрос домашних хозяйств на блага отображается формулой  C = 0,55y, их спрос на деньги как имущество – L_им = P(160–8i), а предложение на рынке труда – W^S = 0,5N + 10P; в обращении находится 140 ден. ед., и скорость их обращения – 16 оборотов в период; государство установило единую ставку подоходного налога: T_y = 0,2. 

1) Каковы равновесные  значения P, y, N, W, i ? 

2) Как изменятся  значения P и i при сокращении количества денег в обращении до 100 ден. ед.? 

3) Постройте  графики модели IS–LM, модели  y^S(P)–y^D(P) и рынка труда.

Стабилизационная политика в открытой экономике

 

№96. Обменный курс рубля к доллару в январе 1998 г.равнялся 6 р./дол., а в январе 2001 г. – 28,4 р./дол. За это время ИПЦ в США возрос в 1,074 раза, а в России – в 3 раза. Как за это время изменился реальный обменный курс рубля к доллару?

 

 

№97. Ожидаемый темп инфляции в стране A  равен 9%, а в стране B – 5%. В стране A ставка процента равна 12%. Какова должна быть ставка процента в стране B, чтобы в соответствии с концепцией непокрытого процентного паритета между этими странами не было перелива капиталов?

 

 

№98. Годовая номинальная ставка процента по безрисковым вложениям в стране A равна 11%, а за границей – 8%. Ожидается, что годовой прирост уровня цен в стране A составит 15%, а за границей – 10%. Руководствуясь теориями процентного паритета и паритета покупательной способности, определите: 

1) каков будет обменный курс страны A к началу следующего года, если к началу текущего он равнялся 55 ден. ед.; 

2) каковы будут  балансы страны A по счету текущих операций и счету движения капиталов, если страна имеет плавающий валютный курс.

 

 

№99. При фиксированных значениях обменного курса валюты, заграничной ставки процента, уровней цен в отечестве и за границей спрос домашних хозяйств на отечественные блага характеризуется функцией C = 5 + 0,8y, а на импортные –

Z = 0,1y; инвестиционный спрос предпринимателей задан функцией I = 6 – 1,5i, а экспорт благ равен 10 ед.

1)Постройте  линию IS.

2) Как изменится  расположение линии IS, если описанная экономика окажется закрытой?

 

 

 

№100. Точка E на рисунках 1а и 1б представляет исходное состояние экономики при фиксированных значениях P, P^Z и e.

(рис. )

1) Чем различаются  исходные условия, представленные  на рис. 1а и 1б?

2) Вследствие  прироста государственных расходов  линия IS сдвинулась вправо.

Опишите последствия  прироста государственных расходов в каждом из вариантов.

 

 

№101. Текущая экономическая конъюнктура маленькой страны с открытой экономикой при заданных уровнях цен в стране и за границей представлена на рис. 6 точкой E.

Опишите экономическое  состояние страны и предложите мероприятия  стабилизационной политики, необходимые для достижения двойного равновесия: а) при фиксированном валютном курсе; б) при плавающем валютном курсе.

 

 

№102.  В маленькой относительно мирового хозяйства стране производятся и потребляются два вида благ – A и B. Известны функции спроса и предложения этих благ внутри страны:  

 

,

 

где P_A  и P_B соответственно цены благ, выраженные в рублях.  На денежном рынке страны установилась ставка процента i =  8%. На мировом рынке цена блага A равна 58 дол., цена блага B – 45 дол.; ставка процента за границей – i^Z = 4%. Цены благ и ставка процента в мировом хозяйстве не зависят от экономической активности рассматриваемой страны. В стране действует плавающий режим валютного курса национальных денег. Известна функция чистого экспорта капитала этой страны:

                      NKE = [i^Z – i + (e^e – e)/e]×10000$, 

где e^e – ожидаемое инвесторами значение обменного курса денег данной страны. 

1) Определить  текущий обменный курс денег  этой страны, если инвесторы ожидают, что он стремится к уровню, обеспечивающему нулевое сальдо торгового баланса.

2) Представьте  ситуацию графически.

 

 

№103. При фиксированных значениях обменного курса валюты, заграничной ставки процента, уровней цен в отечестве и за границей спрос домашних хозяйств на отечественные блага характеризуется функцией C = 5 + 0,8y, а на импортные – Z = 0,1y. Спрос на деньги отображается функцией l = 0,5y + 40 – 2i; инвестиционный спрос предпринимателей – функцией I = 6 – 1,5i. Функция чистого экспорта капитала имеет вид NKE  =  25 – 2,5i, а экспорт благ равен 10 ед. В обращении находятся 42 ден. ед.

1) Определить  величину эффективного спроса. Каково  состояние платежного баланса  при такой величине эффективного  спроса?

2) Какова будет  величина эффективного спроса, если государственные расходы,

финансируемые путем размещения облигаций среди  населения, будут равны 5?

Изменятся ли при  этом состояние платежного баланса  и количество находящихся

в обращении  денег?

3) Представьте  графическое решение задачи.

 

 

№104. Поведение макроэкономических субъектов в маленькой относительно мирового хозяйства национальной экономике с плавающим обменным курсом характеризуется следующими данными.

Домашние хозяйства  используют 60% располагаемого дохода на покупку отечественных благ и 15% – на покупку импортных благ. Спрос домашних хозяйств на деньги для сделок составляет 5% от их реального дохода, а спрос на деньги как имущество определяется по формуле l_им = 48 – 2i.

Функция спроса предпринимателей на инвестиции I = 100 – 5i. Существующая в стране конъюнктура характеризуется избыточными производственными мощностями и конъюнктурной безработицей. Поэтому до достижения национального дохода полной занятости  y_F = 600 увеличение производства не сопровождается ростом уровня цен. Государство закупает на рынке благ 30 ед. и формирует бюджет за счет 20% подоходного налога. В обращении находится 56 ден. ед. Экономические взаимоотношения страны с заграницей, кроме импорта потребительских благ, характеризуются функцией экспорта благ E = 250e – 20 и функцией чистого экспорта капитала при измерении всех показателей в скобке в процентах; i^z = 4.

В соответствии с Денежной программой на текущий  год количество денег должно возрасти до 66 ед.  На этом основании инвесторы ожидают повышения обменного курса национальной валюты на 20%.

Совпадет ли прогноз  относительно обменного курса с  фактическим его значением в  случае действительного увеличения количества находящихся в обращении денег до 66 ед.?

Неокейнсианство

 

№105. Для полного удовлетворения своих потребностей рабочий желал бы потреблять 15 л молока в месяц. При сложившихся ценах на блага и труд он считает целесообразным покупать 10 л молока в месяц и работать 2 ч в день сверхурочно. Поскольку он не смог найти сверхурочную работу, то скорректировал свой спрос на молоко до 9 л. Однако в связи с дефицитом молока фактически он может купить лишь 8 л в месяц.  Каков гипотетический и каков эффективный спрос рабочего на молоко?

 

 

№106. При заданной системе цен P = 2,5; W = 5 индивид принимает решение о своей экономической активности в текущем месяце, принимая во внимание, что в следующем месяце он будет в отпуске и его потребление ограничится непотребленной частью дохода текущего месяца.  Функция полезности индивида имеет вид:        

                              ,

где C₁, C₂ и N соответственно объемы потребления в первом и во втором периодах и количество отработанного времени.

1) Выведите функции:  а) потребления индивида в первом  периоде при условии, что он встречается с количественным ограничением на рынке труда; б) функцию предложения труда при наличии количественного ограничения на рынке блага в 1-м периоде; в) функцию предложения труда при ожидании количественного ограничения на рынке блага во 2-м периоде.

2) Постройте  графики эффективной функции  потребления и предложения труда  индивида в 1-м периоде и определите гипотетические значения C₁ и N при заданной системе цен?

 

 

№107.

Функция полезности представительного домашнего хозяйства U = (M/P)^0,5(16 – N)С² бюджетном ограничении PC + M = WN + 20. Представительная конкурентная фирма работает по технологии y = 9,45N^0,5.

1) Какая конъюнктура  сложится в экономике, если: а) P = 0,9; W = 1,5;

б) P = 1; W = 1,67; в) P = 1,1; W = 2,2; г) P = 1,2; W = 2?

2) Какое сочетание y, N установится в хозяйстве при каждой указанной системе цен?

3) Изобразите  в системе координат C, N для квазиравновесных состояний «поведенческий клин» представительного домашнего хозяйства и производственную функцию, отметив на ней гипотетический объем предложения.

4) Постройте  в пространстве W,P линии, разделяющие различные области квазиравновесных состояний.

Равновесие и экономический  рост

 

№108. Производство НД характеризуется производственной функцией

y_t = min{2N_t, 0,25K_t}. В периоде t₀ экономика находится в равновесии при полной занятости N = 125. 

1) При какой  норме сбережений по модели  роста Харрода–Домара в экономике  установится динамическое равновесие с темпом прироста в 4%? 

2) Какой объем  инвестиций потребуется осуществить  в период t₄ для сохранения равновесного роста?

 

 

№109. В экономике с технологией производства, представляемой производственной функцией y_t = min{5N_t, 0,2K_t}, население сберегает 20% реального дохода. В периоде t₀ было произведено 40 ед. НД, и при этом совокупный спрос равнялся совокупному предложению. Приращение капитала в текущем периоде соответствует объему инвестиций в предшествующем периоде. Темп прироста трудовых ресурсов за период 5%. 

Определить  на основе модели Харрода–Домара:

1) объемы инвестиций  в 1–м, 2–м и 3–м периодах, обеспечивающие равновесный рост.

2) каким должен  быть объем трудовых ресурсов  в 3–м периоде для обеспечения  равновесного роста? Какова при этом будет абсолютная величина безработицы?  При какой норме сбережений установилось бы динамическое равновесие при полной занятости?

3) Во сколько раз возрос  бы темп прироста НД, если бы  в период t₀ объем потребления был на 25% ниже, а инвестиционный спрос увеличился бы в соответствии с возросшими сбережениями?  В каком периоде объем потребления был бы одинаковым при исходной и повышенной нормах сбережений? 

 

№110. Производство НД отображается производственной функцией y_t = . В периоде t₀ в хозяйстве было 10 ед. труда и 640 ед. капитала. Темп прироста трудовых ресурсов равен 3% за период. Норма сбережений равна 50%. 

1) В каком направлении будет изменяться темп прироста НД в соответствии с моделью экономического роста Солоу–Свана? 

2) Ответьте на вопрос 1) при условии, что s = 0,24. 

3) Какой объем капитала  необходим в исходных условиях для равновесного роста?

 

 

№111. В хозяйстве используется  256 ед. капитала и 16 ед. труда; технология  отображается производственной функцией y_t  = (N_tK_t)^0,5; норма сбережений равна 0,2. Каков должен быть темп прироста предложения труда, чтобы в модели Солоу–Свана сохранилась существующая производительность труда?

 

 

№112. В периоде t₀ в экономике имеется 625 ед. капитала и 16 ед. труда. Условия производства представлены производственной функцией  y_t = N_t^0,75K_t^0,25.  Темп прироста трудовых ресурсов равен 2% за период; население сберегает 20% национального дохода. Основываясь на модели роста Солоу–Свана определите:

1) как изменится  средняя производительность капитала в период t₆ по сравнению с периодом t₀?  Чем объясняется такое изменение и каков предел, к которому стремится производительность капитала в данных условиях?

2) как изменится  средняя производительность труда в периоде t₆ относительно периода t₀, если в исходных условиях темп прироста трудовых ресурсов равен 5%? Чем объясняется такое изменение и каков предел, к которому стремится производительность труда в этих условиях? 

 

 

№113. В периоде t₀ в экономике имеется 237 ед. капитала и 11 ед. труда. Условия производства представлены производственной функцией  y_t = N_t^0,75K_t^0,25.   Темп прироста трудовых ресурсов равен 2% за период; население сберегает 20% национального дохода. Основываясь на модели роста Солоу–Свана определите:

1) достигнуто  ли в экономике динамическое равновесие?

2) соответствуют  ли сбережения золотому правилу  накопления?

3) динамику потребления  на одного работающего до периода t₆;

4) какой объем  капитала необходим в периоде t₀, чтобы в экономике существовал устойчивый рост с полной занятостью при норме сбережений s = 0,25?

5) сравните динамику  потребления на одного работающего  до периода t₆ в условиях задания 3) и 4).

 

 

№114. Производство национального дохода отображается функцией y_t = (1,02^tN_t)^0,6K_t^0,4. Трудоспособное население в стране увеличивается на 3% за период. Экономика находится в динамическом равновесии при соблюдении золотого правила накопления. На основе модели роста Солоу–Свана определите в периоде t₅ среднюю производительность реальной единицы труда, капиталовооруженность этой единицы и среднюю норму потребления.