Показатели Ляпунова для индексов фондовых рынков

Большинство хаотических, естественных аттракторов - это случайные (нерегулярные) фракталы. Уравнения, описывающие реальные процессы, имеют плавающие параметры, потому что мы не способны поддерживать постоянство управляющих параметров. Поэтому такие системы часто переходят от точечного аттрактора к предельному циклу или даже сразу к странным аттракторам.

Для оценки текущей ситуации в нелинейной теории были введены  показатели Ляпунова: положительный  показатель дает информацию о том, насколько быстро разбегаются близлежащие точки, отрицательный - как долго система восстанавливается после испытанного ею возмущения.

Показатели Ляпунова позволяют классифицировать аттракторы:

• Точечный аттрактор характеризуется тремя отрицательными показателями (-,-,-) по всем трем осям пространства: процесс сходится к точке.
• Трехмерный предельный цикл имеет два отрицательных показателя и один равный нулю (0,-,-): предельные циклы имеют две размерности, конвергирующие одна в другую, и одну размерность, в которой нет изменений.
• Трехмерные странные аттракторы характеризуются показателем (+,0,-). То есть они в значительной степени зависимы от начальных условий (+) и имеют тенденцию сильно менять будущее поведение при малых изменениях начальных условий. Отрицательный показатель заставляет дивергирующие точки оставаться в области аттрактора. В случае странного аттрактора равновесие определяется тем, как далеко могут удалиться значения, прежде чем вернуться к умеренным пределам аттрактивной области. Одно из возможных объяснений странного аттрактора на рынках капитала объясняется тем, что напряжение порождается психологическими или техническими факторами, но истинная стоимость возвращает цены в разумный диапазон.

Теперь, наконец, надо сказать, что мы можем твердо оценить надежность только такой системы, уравнения, движения которой нам известны. В реальности мы никогда не знаем всех переменных, с определенностью включенных в систему, и опираемся только на неполные экспериментальные данные и нечеткий эмпирический анализ. В экономических временных рядах, подобных ценам фондового рынка, кроме всего перечисленного выше, еще и смешиваются устойчивые и турбулентные состояния. Ну и, конечно, рынки подвергаются влиянию плохо измеряемых сил.

Согласно исследованиям, финансовые рынки США, Англии и Германии имеют фрактальную размерность между 2 и 3. Японский рынок более сложен и обладает фрактальной размерностью 3,05. Это значит, что для описания первых трех рынков достаточно 3-х переменных, а японский нужно моделировать в четырехмерном пространстве. Ожидания рынка определяют степень его разогретости, а ценности рынка - пределы аттрактора. Это первые две переменные. Рыночная ликвидность акций, видимо, представляет собой третью переменную, определяющую нелинейную динамику рынка.

Рынок есть сложная динамическая система, которая развивается, чтобы выжить. Неопределенность и сложность факторов, ее определяющих, позволяет ей не быть скупленной одним инвестором, после чего она перестала бы существовать. Так что надо отдать должное рынку как организму - он преуспевает в борьбе за выживание. Его задача - обеспечить ликвидность акций, а вовсе не в том, чтобы установить справедливые цены или гарантировать стабильность некой торговой системы. Как и у любой нелинейной системы, все циклы рынка сходны в глобальных характеристиках и отличны в деталях. Например, любой бычий (тенденция курса к повышению) или медвежий (тенденция к понижению) рынок состоит из падающих и растущих цен на протяжении подъема и спада бизнес-цикла. Однако причины и обстоятельства этих колебаний индивидуальны у каждого цикла. Поэтому важно понимать, что рыночный аттрактор связан со своеобразием бизнес-цикла, а не с торговлей как таковой.

Для инвесторов это означает, что всегда есть возможности для  извлечения прибыли, но нет системы, которая могла бы это гарантировать.

Общего эффективного с инженерной точки зрения метода исследования устойчивости произвольной нелинейной системы не существует.

Теоретическое решение  проблемы устойчивости было дано А.М. Ляпуновым в 1891г. Основную роль здесь играет возможность построения специальной скалярной функции векторного аргумента, то есть скалярной функции на фазовом пространстве системы. Эта функция называется функцией Ляпунова.

Идея Ляпунова очень  проста, рассмотрим двухмерный случай и функцию Ляпунова . Пусть имеется нелинейное уравнение движения в двухмерном фазовом пространстве  

Движение будет устойчивым, если функция Ляпунова удовлетворяет следующим требованиям:

1.Линии уровня функции Ляпунова замкнуты;

2.Функция Ляпунова неотрицательна;

3.Скалярное произведение градиента функции Ляпунова и вектораскорости в любой точке отрицательно:

;

Рис. 1- Функция Ляпунова

В самом деле, скалярное  произведение градиента функции  Ляпунова и вектора скорости в  любой точке своим знаком показывает тупой или острый угол α. Если угол α тупой, то вектор скорости направлен внутрь линии уровня, и траектория движения стремится войти  внутрь линии уровня и далее двигаться к началу координат. Если, наоборот, α острый, то траектория стремится от начала координат. Очевидно, что в первом случае система устойчива, а во втором случае - нет.

Данное скалярное произведение есть также полная производная функции Ляпунова по времени.

Теперь дадим формулировку теоремы Ляпунова. Теорема Ляпунова  (эскиз формулировки).

Пусть найдется функция  такая, что ее производная вдоль траектории системы отрицательна, т.е. выражение отрицательно. Тогда система устойчива.

К сожалению, не существует общего метода построения функции Ляпунова для произвольной нелинейной системы.

Однако к настоящему времени функции Ляпунова построены практически для всех наиболее важных классов нелинейных систем, встречающихся на практике.

Более того, если построена функция Ляпунова, то через нее удается выразить такие показатели качества переходного процесса как перерегулирование время переходного процесса и т.д.

Один из важнейших  классов нелинейных систем, для которых  можно построить функцию Ляпунова, это случай наличия единственной нелинейности F(x) в системе, как в методе гармонической линеаризации. Тогда функцию Ляпунова можно выбрать в виде:

В случае линейной системы  функцию Ляпунова можно всегда выбрать  в виде квадратичной формы.

 

2.2 Показатели Ляпунова

Показатели Ляпунова играют важную роль в теории гамильтоновых и диссипативных динамических систем. Они дают вычислимую количественную меру степени стохастичности. Помимо этого, существует тесная связь между показателями Ляпунова и другими характеристиками случайности, такими, как энтропия Колмогорова или фрактальная размерность[5].

При вычислении показателей Ляпунова в наиболее простых задачах нелинейной динамики обычно рассматривают систему трех нелинейных дифференциальных уравнений или одного логистического отображения

(1)

здесь а — параметр уравнения.

Такое отображение в  конечно-разностной форме дает в  широком интервале значений параметра  не только периодические, но и хаотические  решения, отличающиеся по некоторым своим свойствам от соответствующих непрерывных решений. Конечно-разностный вид этого уравнения соответствует временному предоставлению статистических данных: они указываются для определенного временного интервала — квартала, года.

Если в системе  — мера начального расстояния между двумя исходными точками для параметра порядка (переменной) h, то спустя малое время t = k расстояние между траекториями и (k — порядковый номер итерации), выходящими из этих точек, становится равным [6]

(2)

где l — показатель Ляпунова (рис. 1). Расстояние между двумя расчетными соседними траекториями определяется величиной

Аналогичные предположения  можно высказать, если обращаться к  другим отображениям, в том числе  применяемым в анализе фазовых переходов. На рис. 2, а представлены регулярные колебания hd_k (показатель Ляпунова 
l < 0), на рис. 1, б — возникновение хаотических пульсаций (l > 0).

В отличие от классической динамической теории фазовых переходов  Ландау-Халатникова, для которой  реализуется одно из двух устойчивых состояний h₁ (или h₂) при возрастании одного из параметров, например, времени последействия, описываемая переменная начинает осциллировать в малой окрестности одной из фаз (рис. 2, а). Для таких движений показатель Ляпунова принимает отрицательное значение.

На рис. 2, б имеет место переход к хаотическому состоянию, что подтверждается положительным значением показателя Ляпунова. Детерминированный хаос имеет место вблизи аттрактора h₂(<0), который был задан начальным значением h₀(<0). На этом рисунке фиксируются небольшие «хаотические флуктуации» параметра порядка, лежащие в пределах, совместимых с сохранением данной фазы (гомофазные флуктуации). В этом случае время жизни детерминированной траектории (t_r) является ограниченным.

На рис. 2, в фиксируется хаотическая динамика параметра порядка, связанная с гетерофазными флуктуациями. Здесь h₁, h₂ — параметры порядка, соответствующие равновесным временным фазам. В этом отношении переменную h_k можно трактовать для данного отображения как некоторый параметр порядка, смысл которого устанавливается при решении конкретных задач в системах со структурными превращениями, в том числе в экономических системах.

Показатель Ляпунова для отображения зависит от параметра a, и он может быть вычислен по формуле

, hk+1= j(hk).

(3)

Для других отображений  возникают многопараметрические зависимости l от других управляющих параметров.

Если анализ ведется  на макроэкономическом уровне, то для  такой системы можно указать  область параметров, в которой решение ведет себя хаотически,— это область детерминированного хаоса l > 0. При l > 0 соответствующий макроэкономический режим является локально неустойчивым и хаотическим; при l = 0 — нейтрально устойчивым; при l < 0 — устойчивым и периодическим.

Рис. 2. Хаос и эволюция «расстояния» между двумя итерациями 
отображения при заданных отличающихся начальных условиях.

Расстояние между двумя соседними траекториями и (k — порядковый номер итерации) определялось величиной hd_k=  
a) d₀ = 10^-3,  l = -0,22; б) d₀ = 10^-3,  l = 0,70;  в) d₀ = 10^-8 , l = 0,76.

Энтропия Колмогорова. Энтропия Колмогорова — важнейшая  характеристика хаотического движения в фазовом пространстве произвольной размерности. 

Термодинамическая энтропия S есть мера беспорядка в данной системе. Простой пример системы, в которой S растет, — молекулы газа, которые вначале помещены в одну половину куба и которым затем внезапно открывается возможность заполнить весь сосуд. Беспорядок в системе нарастает, так как молекулы больше не отделены от другой половины куба. Этот беспорядок связан с ростом нашего незнания о состоянии системы (до того как была убрана перегородка, о расположении молекул мы знали больше).

Более строго, энтропия S, определенная как:

,

(4)

где {P_i} — вероятности для системы оказаться в состояниях {i}, есть мера информации, необходимая для определения местоположения системы в некотором состоянии i, т. е. S есть мера незнания о системе.

Итак, энтропия Колмогорова (метрическая энтропия) пропорциональна скорости потери информации о состоянии системы с течением времени и является мерой экспоненциальной скорости разбегания траекторий динамической системы. Определение метрической энтропии — необходимый элемент комплексного анализа на детерминированный хаос, она может быть использована в анализе фазовых переходов в различных системах.

Время, за которое  система забывает начальные условия. При определении информационной энтропии в виде S(t) = K₀t (t¥®) со сколь угодно большой точностью огрубления фазового пространства ®m0 энтропия максимума не достигает. Анализ существенно упрощается, если зафиксировать конечный порядок огрубления фазового пространства m₀, тогда за время t_r область GD = m₀ расширяется до предельного значения В результате время жизни фазовой траектории связано с метрической энтропией К₀ = l соотношением:

(5)

Отметим, что в формуле  Г. М. Заславского [4] предельное значение нормировано: