Показатели Ляпунова для индексов фондовых рынков

Другими словами, точное предсказание состояний нелинейной системы возможно только на интервале времени t_r, а на временах, больших t_r, возможны лишь статистические предсказания. Для одномерного отображения энтропия Колмогорова равна положительным значениям показателя Ляпунова: K₀ = l > 0.

Вычислив, таким образом, K₀, можно определить время разбегания двух соседних траекторий за время t_r º t_r/t₀ . При полной неустойчивости различие в траекториях растет со временем экспоненциально. Для конкретно заданной экономической системы с фазовыми переходами, таким образом, можно определить, будет ли ее движение неустойчивым.

Небольшой сбой с таких  траекторий приводит к практически  непредсказуемому поведению фазовой траектории, анализ таких явлений чрезвычайно важен для практики, так как начальные условия задаются всегда с ограниченной точностью. Например, курс валюты на торгах задается с ограниченной точностью. Энтропия Колмогорова может служить своеобразным индикатором периодического (квазипериодического) поведения параметра порядка (K₀ = 0), хаотического (K₀ > 0) и случайного (K₀¥®).

Для регулярного движения первоначально близкие точки остаются близкими.

Для хаотического движения первоначально близкие точки расходятся экспоненциально.

Для случайного движения первоначально близкие точки распределяются с равной вероятностью по всем возможным интервалам.

Далее рассмотрим особенности  хаотических свойств курсов валют.

 

2.3 Хаотические свойства курсов валют

Одни экономисты считают  валютный рынок полностью детерминированным, другие полагают, что он ведет себя совершенно хаотически. Подход, который излагается в данной работе, сочетает в себе особенности как классического детерминистского, так и хаотического описаний поведения рынка [4]. Детерминизм проявляется в существовании трендов, отражающих глобальный порядок, а хаотичность — в наличии локального беспорядка. Их сочетание в реальной жизни всегда кажется непознанным, а потому и непредсказуемыми для большинства являются скачки курсов основных валют, так же как и других макроэкономических переменных. Особенно важно это для экономик регионов, обладающих мощными топливно-энергетическими ресурсами, открытыми относительно внешних связей.

Цель этого раздела  — продемонстрировать возможность  применения методов нелинейной динамики к анализу хаотических состояний валютного рынка. Для анализа использовались временные зависимости фунта относительно доллара и евровалюты для одного и того же интервала времени, начиная с 6 января 2004 года. Особенность этих временных рядов заключена в том, что временной интервал предоставления курсов — один час.

Здесь не предлагается описание новых торговых стратегий по покупке  или продаже валюты или способов надежного прогнозирования валютных рынков, за исключением тех моментов, которые касаются определения времени  прогнозирования. Определение времени прогнозирования, установление количественных критериев определенности состояния системы по анализу временных рядов — это то существенно новое, что привносится в экономическую теорию нелинейной динамикой.

Время достоверного прогноза. Две траектории курсов валют, близкие друг к другу в фазовом пространстве в некоторый начальный момент времени, должны экспоненциально расходиться за малое в среднем время, если исходить из того, что рынки валют хаотичны.

Рассуждать о том  является ли совместная система четырех валют (евровалюты, фунта и рубля относительно доллара) системой с перемешиванием, если с течением времени (t_r) информация о начальных условиях в них полностью утрачивается можно по наибольшему показателю Ляпунова.

В данном примере был использован метод совмещения траекторий по начальному значению. Полученный ряд является частью хаотического аттрактора. Из рис. 3 следует, что в рассматриваемой системе двух валют (евро и фунт) можно выделить два характерных наклона относительно шкалы времени: первый наклон соответствует времени t_r1 час, второй — t_r2.

Рис. 3 – Увеличение первоначально  близкой разницы курсов фунта  и евровалюты со временем для начального момента времени 06.01.2004 г. График соответствует 183 ч непрерывного наблюдения

Максимальное расстояние hd ограничено размерами аттрактора, чем и объясняется насыщение, наблюдаемое в конце недельного цикла. Как известно, ожидание определяет «степень разогретости» рынка [6], в то время как формирующиеся ценности в силу конечного капитала определяют ограниченность описываемого аттрактора.

Наибольший показатель Ляпунова в этом случае равен l₁ = 0,12, и время достоверного прогнозирования, как это следует из графика, равно t_r1~14 ч, т. е. соизмеримо с дневным временем продаж. За это время рассматриваемая система забывает начальные условия и выходит на плавно возрастающий уровень разницы курса валют; последнее время равно t_r2~100 ч. Это время соизмеримо с периодом еженедельного (или близкого к нему десятидневного) цикла продаж. Эти выводы, полученные методами нелинейной динамики, отражают реальную ситуацию на торгах валют, когда покупателями и продавцами игра строится по дневному и недельному (десятидневному) циклам. 

Эти примеры по валюте в полном объеме отражают достоверность расчетных данных, так как даны с шагом 1 час, а не 1 год, что приводит к определению более обоснованных временных трендов.

Таким образом, объясняется  практическая значимость показателей Ляпунова для исследования динамики индексов фондовых рынков.

Заключение

В соответствии с поставленной целью все поставленные перед  нами задачи были успешно реализованы. Что позволило нам придти к определенным выводам.

Развитие теории динамических систем внесло много нового в понимание происхождения хаотичности и привело к ряду важнейших открытий. Обоснование эргодической гипотезы Больцмана для определенного класса систем, доказательство сохранения квазипериодического движения при возмущении интегрируемых систем (теорема Колмогорова–Арнольда–Мозера), введение энтропии Колмогорова, подковы Смейла и У–систем Аносова стимулировало развитие новых направлений современной математики и математической физики, отражающих всю глубину проблем, рассматриваемых в нелинейной динамике. В результате было показано, насколько типичным и всеобщим явлением оказывается хаотическое поведение в системах с небольшим числом степеней свободы. Стало очевидным, что хаотические свойства могут проявлять самые разнообразные нелинейные системы, и если хаос не обнаруживается, то, возможно, лишь потому, что либо он возникает в очень малых областях параметрического пространства, либо при нефизических значениях параметров. Таким образом, проблема предсказуемости, первоначально появившись в достаточно сложных системах (таких как гидродинамические или системы статистической механики, фондовые рынки), стала общей для многих направлений современной науки.

В связи с этим в  последнее время стало интенсивно развиваться новое направление в нелинейной динамике и синергетике, посвященное проблемам предсказуемости поведения хаотических систем, управления их динамикой и возможности подавления хаоса.

Развитие этих методов, а также знание закономерностей  самоорганизации дает возможность в самом прямом смысле вмешиваться в деятельность существующих биосистем и управлять их динамикой.

Развитие теории динамических систем дает возможность по–новому и с достаточно общей точки зрения подойти к созданию систем обработки и передачи информации. Углубление и дальнейшее обобщение полученных в этой области результатов позволит вплотную приблизиться к решению проблемы искусственного интеллекта.

Общего эффективного с инженерной точки зрения метода исследования устойчивости произвольной нелинейной системы не существует.

Теоретическое решение  проблемы устойчивости было дано А.М. Ляпуновым в 1891г. Основную роль здесь играет возможность построения специальной скалярной функции векторного аргумента, то есть скалярной функции на фазовом пространстве системы. Эта функция называется функцией Ляпунова.

Согласно последним  исследованиям, современные рынки  являются нелинейными системами, что  очевидно для специалистов. Поэтому  их отличают следующие характеристики:

1) долговременные корреляции  и тренды как результат обратной связи; 
2) колебания между "справедливыми" состояниями и критическими точками; 
3) временные ряды прибылей имеют фрактальную структуру, то есть фрагмент каждой траектории будет подобен траектории в целом; 
4) надежность прогнозов тем более уменьшается, чем более далеким является прогнозируемый момент (сильная зависимость от начальных условий и слабеющая, но долговременная память).

В реальности мы никогда  не знаем всех переменных, с определенностью  включенных в систему, и опираемся  только на неполные экспериментальные данные и нечеткий эмпирический анализ. В экономических временных рядах, подобных ценам фондового рынка, кроме всего перечисленного выше, еще и смешиваются устойчивые и турбулентные состояния. Ну и, конечно, рынки подвергаются влиянию плохо измеряемых сил.

Согласно исследованиям, финансовые рынки США, Англии и Германии имеют фрактальную размерность  между 2 и 3. Японский рынок более  сложен и обладает фрактальной размерностью 3,05. Это значит, что для описания первых трех рынков достаточно 3-х переменных, а японский нужно моделировать в четырехмерном пространстве. Ожидания рынка определяют степень его разогретости, а ценности рынка - пределы аттрактора. Это первые две переменные. Рыночная ликвидность акций, видимо, представляет собой третью переменную, определяющую нелинейную динамику рынка.

Рынок есть сложная динамическая система, которая развивается, чтобы  выжить. Неопределенность и сложность  факторов, ее определяющих, позволяет  ей не быть скупленной одним инвестором, после чего она перестала бы существовать. Так что надо отдать должное рынку как организму - он преуспевает в борьбе за выживание. Его задача - обеспечить ликвидность акций, а вовсе не в том, чтобы установить справедливые цены или гарантировать стабильность некой торговой системы. Как и у любой нелинейной системы, все циклы рынка сходны в глобальных характеристиках и отличны в деталях. Например, любой бычий (тенденция курса к повышению) или медвежий (тенденция к понижению) рынок состоит из падающих и растущих цен на протяжении подъема и спада бизнес-цикла. Однако причины и обстоятельства этих колебаний индивидуальны у каждого цикла. Поэтому важно понимать, что рыночный аттрактор связан со своеобразием бизнес-цикла, а не с торговлей как таковой.

Для инвесторов это означает, что всегда есть возможности для извлечения прибыли, но нет системы, которая могла бы это гарантировать.

Общего эффективного с инженерной точки зрения метода исследования устойчивости произвольной нелинейной системы не существует.

Теоретическое решение  проблемы устойчивости было дано А.М. Ляпуновым в 1891г. Основную роль здесь играет возможность построения специальной скалярной функции векторного аргумента, то есть скалярной функции на фазовом пространстве системы. Эта функция называется функцией Ляпунова.

Показатели Ляпунова играют важную роль в теории гамильтоновых и диссипативных динамических систем. Они дают вычислимую количественную меру степени стохастичности. Помимо этого, существует тесная связь между показателями Ляпунова и другими характеристиками случайности, такими, как энтропия Колмогорова или фрактальная размерность.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список использованной литературы

1. Шустер Г. Детерминированный  хаос. Введение. М.: Мир, 1988. C. 240.

2. Лихтенберг А., Либерман  М. Регулярная и стохастическая  динамика. М.: Мир, 1984. C. 528.

3. Быстрай Г. П. Методы  синергетики в анализе структурных  сдвигов в промышленности: разработка  унифицированных моделей и алгоритмов  анализа устойчивости текущих  состояний в условиях внешнего  и внутреннего управления // Вестник  кибернетики. Тюмень: Изд-во ИПОС СО РАН, 2003. Вып. 2. С. 71–88.

4. Методы нелинейной динамики в построениепрогноза изменения некоторых показателей в топливной энергетике (Наталья Петрова. Современная картина динамики рынков,  "Экономические стратегии", 2003, №2, стр. 106-111)

5. Bystrai G. P. Dinamic Chaos in Macroeconomics: The Problem of Formalized Description: Conf. «Evolutionary Econ. and Chaos Theory», Amsterdam, May 6–8, 1993. Amsterdam, 1993. P. 17–18.

6. Берже П., Помо И., Видаль К. Порядок в хаосе. М.: Мир, 1991.

7. Быстрай Г. П., Студенок  С. И., Иванова С. И. Детерминированный  хаос при фазовых переходах  I рода в системе жидкость —  пар // ТВТ. 2003. Т. 41, № 4. С. 579.

8. Быстрай Г. П. Детерминированный  хаос при химических реакциях  в межфазном слое при высоких температурах // ТВТ. 2004. Т. 42, № 1. C. 81.

9. Петерс Э. Хаос  и порядок на рынках капитала. М.: Мир, 2000.

10. Быстрай Г. П., Николаева  Е. В., Журкина А. В. и др. Валютные  рынки: математическое моделирование  хаотических состояний. Препринт. Екатеринбург: УрО РАН, 2001. 63 с.

11. Федер И. Фракталы. М.: Мир, 1990.

12. Занг В. Б. Синергетическая  экономика. Время и перемены  в нелинейной экономической теории. М.: Мир, 1999.