Простые и сложные процентные ставки

 

Тема № 1. Простые проценты

С экономической точки зрения  процент представляет собой плату за использование денежных средств одного лица (кредитора) другим лицом (заемщиком, дебитором), выраженную в сотых долях от исходной суммы.

Основная единица времени (год, квартал, месяц, день) называется базовой.

Временной интервал, в конце (а иногда - в начале) которого начисляются проценты за этот интервал, называется конверсионным периодом или  периодом начисления.

Если длина конверсионного периода совпадает с базовой единицей

времени, то соответствующая  процентная ставка называется эффективной.

Кредитор является инвестором, а предоставленные им заемщику средства - капиталом.

При заключении финансового  или  кредитного соглашения стороны

(кредитор и заемщик)  договариваются о размере процентной ставки. Под процентной ставкой понимается относительная величина дохода за фиксированный отрезок времени.

Проценты различаются по базе их начисления. Применяется постоянная или последовательно изменяющаяся база для расчета. В последнем случае за базу применяется сумма, полученная на предыдущем этапе наращения  или дисконтирования, т.е. проценты начисляются на проценты. При постоянной базе используют  простые, при измененной -сложные процентные ставки.

                         Наращение по простой процентной ставке.

Под наращенной суммой ссуды (долга, депозита, других видов выданных в долг или инвестированных денег) понимают первоначальную ее сумму с начисленными процентами к концу срока.

                                   ,                                              (1.1)

P - первоначальная сумма,

n - срок,

i  - ставка наращения (десятичная  дробь).

Рассмотрим наиболее распространенный в практике случай - с годовым  периодом начисления. Выразим общий срок  n  в виде дроби:

  ,   где

t - число дней ссуды;

k - число дней в году или временная база.

При расчете простых процентов  предполагают что  k = 360 (12 месяцев  по 30 дней). Если k = 360, то получают обыкновенные или коммерческие проценты. Также применяют k = 365, 366 дней, в этом случае получают точные проценты.

В кредитных соглашениях иногда предусматриваются изменяющиеся во времени процентные ставки. При этом наращенная на конец срока сумма  определяется по следующему уравнению:

                                                          (1.2)    

    -  ставка простых процентов в периоде t,

                   t=1,2,...,m;

   -  продолжительность периода ;           .

В практике при инвестировании средств, в краткосрочные депозиты

прибегают к, последовательному  неоднократному повторению наращения  по  простым процентам в пределах заданного общего срока т.е. реинвестированию полученных на каждом этапе наращения средств. В этом случае :

                                             ,                       (1.3)

 где   m - количество  реинвестиций.

                        Погашение задолженности частями.

Необходимым условием финансовой или кредитной операции в любой  форме является сбалансированность вложений и отдачи.

Краткосрочные обязательства  иногда погашаются с помощью последовательности частичных платежей. В этом случае надо решить вопрос о том, какую сумму взять за базу для расчета процентов и каким путем определять  остаток задолженности.

Первый метод, который, применяется в основном в операциях со сроком  более года, называется  актуарным. Актуарный метод предполагает последовательное начисление процентов на фактические суммы долга. Частичный платеж идет в первую очередь на погашение процентов, начисленных на дату платежа. Если величина платежа превышает сумму начисленных процентов, то разница  идет на погашение основной суммы долга. Непогашенный остаток долга служит базой для начисления процентов за следующий период и т.д. Если же частичный платеж меньше начисленных процентов, то никакие зачеты долга не делаются.

Второй метод назван правилом торговца. Он обычно применяется коммерческими фирмами в сделках со сроком не более года. Здесь возможны два варианта. Если срок ссуды не превышает год, то сумма долга с начисленными на весь срок процентами остается неизменной до полного погашения. В случае, когда срок превышает год, расчеты делаются для годового периода задолженности. В конце года  из суммы задолженности вычитается наращенная сумма накопленных частичных платежей. Остаток погашается в следующем году.

                         ,                 (1.4)

i -   банковская процентная ставка;

S  - остаток долга на  конец срока или года;

D- наращенная сумма долга;

K - наращенная сумма платежей;

R_j- сумма частичного платежа;

n - общий срок ссуды;

t_j- интервал времени от момента платежа до конца срока ссуды или года.

        Наращение и выплата процентов в потребительском кредите.

В потребительском кредите проценты, как правило, начисляются на всю  сумму кредита и присоединяются к основному долгу уже в  момент кредита. Такой метод называется разовым начислением процентов. Погашение долга с процентами производится частями (обычно равными суммами) на протяжении всего срока кредита:

                                                ,                                       (1.5) 

n  - срок кредита; 

m - число платежей в году.

              Дисконтирование  и учет по простым процентным ставкам.

Термин  дисконтирование  употребляется как средство определения

любой стоимостной величины, относящейся  к будущему, на некоторый, более ранний момент времени.

В финансовой практике часто сталкиваются с задачей, обратной наращению процентов: по заданной сумме S, которую следует уплатить через некоторое время n , необходимо определить сумму полученной ссуды P.  Такая ситуация может возникнуть, например при разработке условий контракта.  Расчет P по S необходим и тогда, когда проценты с суммы S удерживаются вперед, т.е. непосредственно при выдаче ссуды. В этом случае говорят, что сумма S дисконтируется или учитывается, сам процесс начисления процентов и их удержание называется учетом, а удержанные проценты - дисконтом  В зависимости от вида процентной ставки применяют два метода дисконтирования - математическое дисконтирование и банковский  (коммерческий) учет. В первом случае используется ставка наращения, во втором - учетная ставка.

Математическое дисконтирование  представляет собой формальное решение задачи, обратной наращению первоначальной суммы ссуды.

                                               ,                                  (1.6)

                                                 ,                                  (1.7)

D - дисконта.

Банк или иное финансовое учреждение до наступления срока  платежа по векселю или иному  платежному обязательству приобретает  его у владельца по цене, которая меньше суммы, указанной на векселе, т.е. покупает (учитывает) его с дисконтом (т.е. со скидкой). Получив при наступлении срока векселя деньги, банк реализует дисконт. При учете векселя применяется банковский или коммерческий учет, согласно этому методу проценты за пользование ссудой в виде дисконта начисляются на сумму, подлежащую уплате в конце срока. При этом применяется учетная ставка d.

                              ,                                   (1.8)

Для ставки наращения  прямой задачей является определение наращенной суммы, обратной - дисконтирование. Для  учетной ставки, наоборот, прямая задача заключается в дисконтировании, обратная - в наращении .

Ставка                Прямая задача              Обратная задача

     i                                                     (1.9)

     d                                          

Учетная ставка отражает фактор времени более жестко. Например, при d = 20 %  уже 5-ти летний срок достаточен для того, чтобы владелец векселя ничего не получил при его учете.

             Определение  срока ссуды и величины процентной ставки

Необходимые для расчета  продолжительности ссуды в годах и днях по-

лучим, решив уравнения (1.1) и (1.8) относительно n:

              ,     (1.10)                         ,          (1.10)

                    ,    (1.12)                      ,         (1.11)

По этим же уравнениям можно  определить и процентные ставки:

            ,        (1.14)                         ,          (1.12)

 

Тема № 2. Сложные проценты

В средне и долгосрочных финансово-кредитных  операциях применяют сложные  проценты. База для начисления сложных процентов (в отличие от простых) не остается постоянной - она увеличивается с каждым шагом во времени, абсолютная сумма начисляемых процентов возрастает, и процесс  увеличения суммы долга происходит с ускорением. Присоединение начисленных процентов к сумме, которая послужила базой для их начисления, называют капитализацией процентов.

Наращенная сумма по сложным процентам вычисляется  по уравнению:

                                      ,                                           (2.1)

где

S - наращенная сумма;

P - первоначальный размер долга  (ссуда, кредит и т.д.);

i  - процентная ставка;

n - число лет наращения.

Пример: Какой величины достигнет долг, равный 1 млн. руб. через пять  лет при росте по сложной ставке 15,5% годовых ?

           руб.

Формула (2.1) предполагает постоянную ставку на протяжении всего 

срока начисления процентов. Неустойчивость кредитно-денежного рынка заставляет модернизировать <классическую> схему, с помощью применения  плавающих ставок. В этом случае общий множитель наращения определяется  как произведение частных множителей:

где

  - последовательные во времени значения ставок;

  -  периоды, в течении  которых  <работают> соответствующие   ставки.

Пример: Срок ссуды - 5 лет, договорная процентная ставка 12% годовых плюс  моржа 0,5%  в первые два года и 0,75%  в оставшиеся.

            .

Часто срок для начисления процентов не является целым числом. В 

правилах  ряда коммерческих банков для некоторых операций в  этих случаях,  проценты начисляются только за целое число лет. В большинстве же случаев  учитывается полный срок. При этом применяются два метода. Согласно первому (общему), расчет ведется непосредственно по формуле (2.1). Второй, смешанный  метод предполагает начисление процентов за целое число лет по формуле сложных процентов и по формуле простых процентов за дробную часть периода:

                                                                (2.2)

где   a + b = n

        a - целое число периодов

        b - дробная часть периода.

Для сопоставления результатов  наращения по разным процентным  ставкам достаточно сравнить соответствующие множители наращения. Нетрудно убедиться в том, что при одинаковых уровнях  % ставок соотношения  этих множителей существенно зависит от срока. Для срока меньше года:

                            ,                                       (2.3)

для срока больше года:

                              ,                                         (2.4)

              Различия  в последствиях применения  простых и сложных процентов

наиболее наглядно проявляется  при определении времени, необходимого для  увеличения первоначальной суммы в N раз.

Для простых процентов:

                                  ,                                                       (2.5)

Для сложных процентов:

                                ,                                                   (2.6)

                                Номинальная ставка

В современных условиях проценты капитализируются не один, а несколько раз в году - по полугодиям, кварталам и т.д. Некоторые зарубежные коммерческие банки практикуют даже ежедневные начисления процентов.  При начислении % несколько раз в году можно воспользоваться  формулой  (2.1),  параметр n в этих условиях будет означать число периодов начисления, а под ставкой i следует понимать ставку за соответствующий период. В контрактах  фиксируется не ставка за период, а годовая ставка в % и указывается  период начисления %.