Простые и сложные процентные ставки

Если обозначить современные стоимости:

А (p;m), причем  (1;1) - годовая рента  с ежегодным начислением процентов,  (p; ¥ ) - p-срочная рента с непрерывным начислением процентов.

Для  одних  и тех же годовых  сумм выплат и процентных ставок

(i =j =d ) получим:

A(1; ¥)   <   A(1;m)   < A(1;1)   < A(p; ¥ )  <

<A(p;m)    <   A(p;m)    <   A(p;m)    <   A (p;1).

   m>p>1          p=m>1         p>m>1.

Зависимость между наращенной и современной стоимостью постоянной ренты.

Для годовых и p-срочных постоянных рент постнумерандо с ежегодным  начислением  %

                             ,                                          (4.14) 

                         ,                                             (4.15)

Для рент с начислением процентов m раз в году:

                          ,                                     (4.16)

                               ,                                 (4.17)

      Определение параметров постоянных рент постнумерандо.

                             Определение члена ренты.

Исходные условия: задается S или A и набор параметров, кроме  R

 Из формулы (4.5).

                             ,                                          (4.18)

И формулы (4.9.)

                                                ,                                         (4.19)

                         Расчет срока ренты.   

Кол-во         Кол-во                      S                                  A

платежей      начислений

в году           в году

                    m=1                    

    p=1

                      m>1       

                      ------------------------------------------------------------------------------

                      m=1 

    P>1

                      m=p         

      m¹p       

При расчете  срока ренты необходимо принять во внимание следующие моменты:

1. Расчетные значения срока будут  дробные. Для годовой ренты  в качестве n удобнее принять меньшее ближайшее число. У p-срочной ренты результат округляется до ближайшего целого числа периодов - np. Например, для квартальной ренты получено n = 6,28 года, откуда np = 25,12 квар. Округляем до 25, в этом случае n = 6,25 года.

2. Если округление производится  до меньшего целого числа, то  наращенная сумма  или  современная  стоимость  ренты  оказывается меньше заданной.  Возникает необходимость в соответствующей  компенсации. Например,  если речь идет о погашении за должности путем выплаты  постоянной ренты, то компенсация может быть осуществлена  соответствующими платежом в начале или конце срока или с повышением  суммы члена ренты.

                    Определение размера %  ставки.

Расчет процентной  ставки  по  остальным параметрам ренты не так  прост,  приходится применять итерационные методы  (например, Ньютона - Рафаона).

С помощью этого метода последовательным приближением решает-

ся нелинейное уравнение   f(x)=0.  Общий вид рекурентного соотношения

                                ,                              (4.20)

где    k - номер итерации.

Приняв в уравнении (4.4)   q=1+i  , получим

                               ;

или                         ;

                                            ;    

                            ,                                  (4.21)

Начальное значение q выбирают так, чтобы      было близко к

заданной величине отношения   .

Аналогичным путем определяют функцию  и ее  производную, когда заданной является современная стоимость ренты:

                                    ,

                                     .

Наращенные суммы и современные  стоимости других видов

                                                     постоянных рент.

Различие между рентами постнумерандо  и пренумерандо заключается в  числе периодов начисления процентов. Легко понять что каждый член  последней  из  указанных рент "работает" на один период больше, чем в ренте постнумерандо.

                 

                     и т.д.

Важным частным случаем является рента с платежами в середине периода. В этом случае умножение производится на   .

                                  Отложенные ренты.

Современная стоимость отложенной ренты равна  дисконтированной величине современной стоимости немедленной   ренты:

                       ,                                     (4.22) 

Пусть годовая рента постнумерандо  делится между двумя участниками (наследниками). Рента имеет параметры: Условия деления:  а) каждый  участник  получает   50 %   капитализированной   стоимости   ренты; 

б) рента выплачивается последовательно  с начало первому, затем второму участнику.      Определить срок получения ренты первым участником.

                          ;

                             ;

                               ;

                               ,                                    (4.23)

                       Постоянные   непрерывные   ренты.

Предложение о непрерывности  ренты  увеличивает  возможности количественного анализа производственных долгосрочных инвестиций.        Приведем уравнения для вычислений коэффициента приведения  и коэффициента наращения, без вывода:

                                  ,                                        (4.25)

                                          ,                                           (4.26)

Очевидно, переход от дискретных взносов  постнумерандо к непрерывным  увеличивает соответствующие коэффициенты в  i / ln(1+i)  раз.

                     .

Пример.    Ожидается,  что доходы от эксплуатации месторождения полезных ископаемых составит 1 млрд.  руб.  в год,  продолжительность разработки - 10 лет, отгрузка и реализация продукции непрерывная и равномерная.  Капитализированная  стоимость  дохода  при дисконтировании по ставке  10 %   составит:

                               6446,91  млн.  руб.

Формулы (4.25) и (4.26) предполагают непрерывное  поступление платежей и дискретное начисление процентов.  Для получения формул для непрерывных процентов, вспомним, что

                         сила роста :

                            ,                                                  (4.27)

                              ,                                                     (4.28)

            Определение срока и размера ставки для постоянных

                                     и непрерывных рент.

Определим   n (срок)  из  (4.27)  и  (4.28)

                                   ,                                        (4.29)

                                     ,                                       (4.30)

Сила роста определяется по методу Ньютона-Рафcона

                                ;

                                ;

                           ,                            (4.31)

Тема № 6. Планирование погашения задолженности.

Ипотечные ссуды. Форфейтовые операции. Облигации.

      I    Планирование погашения задолженности.

Разработка плана  погашения  займа  заключается  в составлении  графика периодических платежей должника.

Методы определения размера  срочных уплат существенно зависят от условий погашения долга,  которые предусматривают: срок займа, продолжительность льготного  периода,  уровень  и  вид процентной ставки,  методы уплаты процентов и способы погашения основной суммы долга.

Если по условиям займа должник  обязуется вернуть сумму долга в конце  срока в виде разового платежа,  то он должен предпринять меры для обеспечения этого.  При значительной сумме долга обычная мера заключается  в создании погасительного фонда.  Погасительный фонд создается из последовательных взносов на которые начисляются проценты.

Допустим накопление производится путем регулярных  ежегодных

взносов R, на которые начисляются  сложные проценты по ставке  i. Одновременно происходит выплата процентов за долг по ставке  g.  В этом случае срочная уплата составит:

           Y = D×g + R                                               (6.1)

Поскольку фонд должен быть накоплен за  N  лет, соответствующие   взносы образуют постоянную ренту с параметрами: R, N, i.

Допустим рента постнумерандо, тогда:

                            ,                                  (6.2)

Если условия контракта предусматривают  присоединение процентов к сумме  основного долга,  то срочная уплата определяется по уравнению:

                      ,                                          (6.3)

Создание фонда - выгоден должнику когда  i > g.

Если взносы следуют арифметической прогрессией,  то

                          ,                         (6.4)

где     a - разность прогрессии.

В геометрической прогрессии :

                                     ,                                       (6.5)

где    q - знаменатель прогрессии.

                    Льготные   займы  и  кредиты.               

Грант-элемент  - это условная потеря заимодавца,  которая связана с применением более низкой процентной ставки,  чем ставка кредитного рынка.  Грант - элемент определяется в двух видах: абсолютной и относительной величинах.

Размер абсолютного  грант-элемента определяется по уравнению:

                      W = D - G,                                                      (6.6)

Относительный грант-элемент определяется по уравнению:

                              W=1 - G/P  ,                                                    (6.7)

где   G - современная величина платежей, рассчитанная по ставке кредитного рынка;

или:              

             ,                                        (6.8)

                                                   ,                                      (6.9)

где       - коэффициент приведения постоянных годовых рент постнумерандо, определенные для процентных ставок  i  и g;   i>g.

II.  Ипотечные ссуды.

Ипотеки - ссуды под залог.

          Модификации  схемы ипотек:

     - ссуды с ростом  платежей;

     - ссуды с периодическим  увеличением взносов;

     - ссуды с льготным  периодом;

     - ссуда с залоговым  счетом.

Наиболее распространенной является ипотечная ссуда,  условия которой предполагают равные взносы должника. Взносы ежемесячные постнумерандо или пренумерандо.

Для месячных взносов постнумерандо:

                    ,                                                        (10)

Для рент пренумерандо:

                       ,                                        (6.11)

Ипотеки с ростом платежей.

Общая схема такой ссуды:  первый взнос минимален,  затем  на некотором  начальном интервале они увеличивается с постоянным темпом, далее они постоянны.

В этом случае:

                 ,                            (6.12)

   - расходы в первом месяце  ;

  g    - ежемесячный темп роста расходов  ;

  m   - первый интервал (рост суммы погашения)  ;

 M   - второй интервал (постоянство погашения) .

III.   Форфейтовые операции.