Простые и сложные процентные ставки

Пусть годовая ставка равна j , а число периодов начисления в году  равно m. Проценты начисляют по ставке j/m. Ставку  j  называют номинальной.

Формулу наращения можно  представить следующим образом:

                                       ,                                              (2.7)

Пример:  Какова сумма долга через 25 месяцев, если  первоначальная

величина 500 тыс. руб., проценты сложные , ставка 20 % годовых, начисляются  поквартальные .

                                    руб.

                                  руб. 

                                             Эффективная ставка.

Эффективная ставка – это годовая ставка сложных процентов, которая дает тот же результат, что и   m-раззовое начисление процентов по ставке               

                                                                    

откуда

                                                 ,                             (2.8)

При  m>1,  эффективная  ставка  ( i )  больше номинальной  ( j ) при  m=1;  i=j.

Замена в договоре номинальной  ставки  j при  m-разовом начислении процентов на эффективную ставку  i не изменяет финансовых обязательств участвующих сторон т.е. обе ставки эквивалентны в финансовом отношении.

                Дисконтирование по сложной ставке процентов.

Применим математическое дисконтирование по сложной ставке процента.  На основе (2.1) получим:

                                   ,                      (2.10)

                                    ,                 (2.11)

Величину    называют дисконтным множителем.  Для случаев, когда проценты начисляются  m  раз в году, получим:

                                 ,                           (2.12)

                                           ,                          (2.13)

Величину  Р , полученную дисконтированием  S,  называют  современной стоимостью  S. Разность  S-P ,  в случае когда  Р  определено дисконтированием,  называют  дисконтом ( D ).  ;

.

  Операции со сложной учетной ставкой.

В практике учетных операций иногда применяют сложную учетную ставку.  Дисконтирование по сложной  учетной ставке осуществляется по формуле:

                                           ,                                   (2.14)

где  d- сложная учетная ставка.

Дисконтирование по сложной учетной ставке выгоднее для должника, чем дисконтирование по простой учетной ставке.  сказанное становится понятным при сравнении формул для дисконтных множителей:

    и   ,  где -  простая,   d - сложная учетная ставка. Согласно первой формуле значение дисконтного множителя равномерно уменьшается по мере роста  n  и достигает нуля при  ,  согласно второй множитель экспоненциально уменьшается и достигает нуля лишь в пределе,  при .

        Номинальная и эффективная учетная ставка.

По аналогии с номинальной  и эффективной ставкой процентов  вводится понятие номинальной и эффективной учетной ставки:

                                            ,                              (2.15)

f - номинальная годовая учетная ставка.

Эффективная учетная ставка характеризует результат дисконтирования за год.  Она находится из равенства

                                    

откуда            .

Для одних и тех же условий операций эффективная учетная  ставка меньше номинальной.

                   ,   (2.16)     или            ,   (2.17)

Непрерывные  наращение  и  дисконтирование - непрерывные  проценты.

В практических финансово-кредитных  операциях непрерывное наращение, т.е. наращение за бесконечно малые  отрезки времени,  применяется  крайне редко.

Существенно большее значение непрерывное наращение имеет в анализе сложных финансовых проблем, например, при обосновании и выборе инвестиционных  решений,  в финансовом проектировании.

При непрерывном наращении  процентов применяют особый вид  процентной ставки - силу  роста.  Сила  роста характеризует относительный прирост наращенной суммы за бесконечно малый промежуток времени.  Она может быть постоянной или изменяться во времени.

При дискретном начислении процентов  m  раз в году по номинальной  ставке  j  наращенная сумма определяется по уравнению:

                                                

При    именем:

                          ,

                                    ,                        

                                            .

Для того,  чтобы отличить непрерывную ставку от дискретной,  силу роста обозначают,  как    ,  тогда:

                                            ,                            (2.18)

Дискретные и непрерывные  ставки наращения находятся в  функциональной зависимости между собой.  Из равенства множителей наращения    следует:

                                    ,                                    (2.19)

                                       ,                                        (2.20)

Пример.   Сумма, на которую начисляются проценты,    равна 2 млн. руб.,  сила роста - 10 %,  срок - пять лет,  наращенная сумма составит:

                                     руб.

Непрерывное наращение по ставке  равнозначна наращению за тот же срок сложных годовых %  по ставке

                или   10,517090 %.

Дисконтный множитель  на основе силы роста находится из уравнения (2.18)

                                          .

Дисконтный множитель  =  .

 

 

 

Переменная сила роста.

Пусть сила роста изменяется во времени,  следуя определенному  закону - непрерывной функции времени:  ,  тогда наращенная сумма и сохраненная стоимость определяются по уравнениям:

                   

Рассмотрим варианты определения  множителя наращения для случаев,  когда величина    представляет собой линейную и экспоненциальную функцию.  Если это линейная функция   ,  где - начальное значение силы роста,   а - ее прирост,  то

  .

Множитель приращения определяется по уравнению

                                    ,                                 (2.21)

Рассмотрим ситуацию,  когда сила роста изменяется по геометрической прогрессии: ,  - начальное значение силы роста, а - постоянный темп роста.

В этом случае:

Сам множитель определяется по уравнению:

  ,                                      (2.22).

                       Определение срока платежа и процентных ставок.

При разработке условий  финансовых операций часто бывает необходимо решить обратную задачу - определить продолжительность  ссуды или определить уровень процентной ставки.

Срок платежа.  Приведем формулы расчета  n  для различных условий наращения процентов и дисконтирования.  При наращении по смежной годовой ставке  i  по номинальной ставке  j  ,  соответственно получим:

                                          ,                                (2.23)

                                       ,                    (2.24)

При дисконтировании по сложной  годовой учтенной ставке  d  и  по номинальной учтенной ставке  f :

                                          ,                              (2.25)

                                      ,                    (2.26)

При наращении по постоянной силе роста    и по изменяющейся с постоянным темпом силе роста:

                                            ,                                 (2.27)

                                           ,             (2.28)

 Величина процентной ставки.

Приведем формулы для  расчета ставок  i,  j,  f,    для различных условий   наращения  процентов  и  дисконтирования.                         

При наращении по сложной  годовой ставке процентов и по номинальной ставке  m  раз в году находим:

                                              ,                                             (2.29)                                        ,                                   (2.30)

При дисконтировании  по сложной учетной ставке и по номинальной  учетной ставке,

                                                    ,                                        (2.31)

      ,                                                 (2.32)

При наращении по постоянной силе роста

                                                      ,                                         (2.33)

При наращении  по изменяющейся с постоянным шагом силе роста

                                                    ,                                 (2.34) 

                                      Кривые  доходности.

Любая кредитная операция предполагает использование некоторого значения процентной ставки,  с которой согласились обе стороны,  участвующие в операции.  Для практика важно представить себе зависимость изменения размера ставок в зависимости от различных факторов.

Наиболее важным фактором является срок операции. При всех прочих равных условиях ссуда на пять лет более рискованна, чем на два года и менее.  Компенсировать риск владельцу денег может повышение доходности.

Существуют две конкурирующие  теории объясняющие  ²поведение² доходности - теория ликвидности  и  теория ожиданий.  Первая изменение доходности связывает с увеличением риска ликвидности по мере увеличения срока.  Согласно второй теории утверждается,  что форма кривой может рассматриваться как обобщенная характеристика ожиданий инвесторов.

         Конверсия  валюты  и  наращение  сложных  % .

Рассмотрим схему:

                         СКВ ® Руб ® Руб ® СКВ

                  ,                                                 (2,35)

     ;     K - темп роста валюты.

Определим доходность операции  в целом из уравнения  (2,29)

                         ,                                                  (2,36)

Подставив в эту формулу    получим:

            ,                                                     (2.37)

Максимально допустимое значение  К  при котором доходность операции будет равна доходности при прямом инвестировании валютных средств по ставке  j  определяется по уравнению:

   .

                              Наращение  процентов, налоги  и  инфляция.

                                   Налоги  на  полученные  проценты.

При начислении простых  процентов

                      

где   - реально наращенная сумма,

          g   - ставка налога на  %.

В долгосрочных операциях  при начислении налога на сложные  %  возможны следующие варианты: налог начисляется на весь срок сразу или последовательно в конце каждого года.  В первом случае:

         ,   (2.38)

Во втором случае налог  определяется за каждый истекший год.  Сумма налогов за весь срок не зависит  от метода начисления.

   ,            (2.39)

Инфляция.

Изменение покупательской способности денег за некоторый  период измеряется с помощью индекса  

  -  индекс цен.

Под темпом инфляции понимается относительный прирост цен за период  (H),  измеряется в %.

Например,  если темп инфляции равен 130 % , то цены за этот период выросли в 2,3  раза.