Простые и сложные процентные ставки

Среднегодовые темп роста  цен    и темп инфляции  (h)  находятся на основе величины 

  .

Поскольку инфляция является цепным процессом (цены в текущем  периоде, повышаются на  %  относительно уровня,  сложившегося в предыдущий период),  то индекс цен за несколько таких периодов равен произведению цепных индексов цен:

                                      ;                                           (2.40)

Если  h - постоянный ожидаемый (или прогнозируемый)  темп инфляции за период,  то за  n  таких периодов получим:

                                             ,                                         (2.41)

Рассмотрим проблему обесценивания  денег при их наращении.  В общем случае:

                                                   ,                                                   (2.42)

При наращении по простой ставке,  имеем:

                                   ,                              (2.43)

Увеличение наращенной суммы с  учетом сохранения покупательной способности денег имеет место тогда, когда      .

При наращении по сложным процентам

                             ,                                  (2.44)

Если    h/100 < i  происходит  малый рост.  Ставка по простым процентам  , которая только компенсирует инфляцию определяется по уравнению:

                                            

Для сложных процентов   .

Ставку,  превышающую    ,  называют  положительной ставкой процента .

 

Тема № 3. Конверсия платежей ,эквивалентность  процентных ставок

В практике часто возникают случаи, когда необходимо заменить  но обязательство  другим.  Например,  с более  отдаленным сроком платежа, досрочно погасить задолженность, объединить несколько платежей в  один (консолидировать платежи) и т.п.  В таких ситуациях  неизбежно возникает вопрос о принципе,  на котором должно базироваться изменение контракта. Таким общепринятым принципом является финансовая эквивалентность обязательств, которая предполагает не изменчивость финансовых  отношений сторон  до  и после изменения контракта.

Сравнение платежей предполагает использование некоторой процентной ставки и следовательно результат зависит от выбора ее величины.  Допустим, что сравниваются два платежа    и   по срокам     и измеряемыми от одного момента  времени, причем       и в зависимости    от    размера   процентной  ставки. 

        Для  любой ставки  , а при   .   Результат сравнения  зависит  от  критического  (барьерного)  размера ставки     .

                                

Находим

                                              ,                            (3.1)

Из уравнения (3.1.) следует, что чем больше различие в строках, тем больше величина  , отношение       оказывает противоположное влияние.

Если дисконтирование  производится по сложной ставке, то

                    

     Откуда:

                                                                         (3.2)

  Пример:  Сравниваются два платежа 2 млн.  руб. с выплатой через два года и 3 млн.  руб.  с выплатой через 4  года.  Согласно  уравнению (3.2.)  определяем критический уровень сложной % ставки:

                                  или    22,47 %       

                   Определение суммы консолидированного потока.

В общем случае, когда  ,  причем,     искомую величину находим как сумму наращенных и дисконтированных платежей.

                                       (3.3)

     Где           - размеры объединяемых платежей со сроком   ;

                   - размеры платежей со сроком     ;

             .

Когда  ,

                                        ,                                (3.4)

  Консолидацию платежей, можно осуществить и на основе сложных

ставок. Для общего случая  

                              ,       (3.5)

Пример.   Платежи в 1 и 2 млн. руб. со сроком уплаты два и три года объединяются в один со сроком 2,5 года. При консолидации используется сложная ставка 20%. Искомая сумма составит:

                      тыс. руб.

                 Определение срока консолидированного платежа.

Если при объединении  платежей задана  величина  консолидированного платежа  ,то возникает задача определения его срока   . В этом случае уравнение эквивалентности удобно представить в виде равенства современных стоимостей соответствующих платежей.

При применении простой  ставки:

                                

откуда:

                           ,                              (3.6)

При консолидации  платежей на основе сложных процентных ставок, уравнение эквивалентности запишется  следующим образом:

                        

Примем:           ,

Тогда:    

                                ,                         (3.7)

Для частного случая    

                                         ,           (3.8)

Общая постановка задачи изменения  условий выплаты платежей.

Если приведение платежей осуществляется на некоторую начальную дату,  то получим следующие уравнения эквивалентности в общем виде:

при использовании простых процентов:

                             ,       (3.9)

при использовании сложных процентов:

                          

  - параметры заменяемых платежей;  - параметры заменяющих платежей.

                     Эквивалентность процентных ставок.

Формулы эквивалентности  ставок  получим исходя из равенства  взятых попарно множителей наращения.

                                      ;

- ставки простых и сложных процентов.

                              ,           (3.10)

                                ,           (3.11)

                                   ,               (3.12)

                                ,                (3.13)

где  n - срок в годах; 

        i - ставка  наращения;

        d - учетная ставка.

Тема № 4. Потоки платежей.

                             Постоянные финансовые ренты.

Погашение за должности  в рассрочку, периодическое поступление доходов от  инвестиций,  выплата пенсий и т.д.  - называют потоки платежей.

Потоки платежей  могут  быть регулярными и нерегулярными.  В  нерегулярном потоке платежей членами  являются  как  положительные (поступления), так и отрицательные величины (выплаты),  а соответствующие платежи могут  производится  через  разные  интервалы времени.

Поток платежей, все члены  которого положительные величины, а  временные интервалы между платежами одинаковы,  называют финансовой рентой или просто рентой.

Рента характеризуется  следующими параметрами:  член ренты - размер отдельного платежа, период ренты - временной интервал между двумя последовательными платежами, срок ренты - время от начала первого периода ренты до конца последнего периода,  процентная ставка. 

По количеству выплат членов ренты на протяжении года,  ренты  делятся на  годовые,  P - срочные (P - количество выплат в году),  непрерывные (много раз в году).

                     Обобщенные параметры потоков платежей.

Анализ потока  платежей  предполагает  расчет  одной из двух обобщающих характеристик:  наращенной суммы или современной стоимости.

Наращенная сумма - сумма всех членов потока платежей  с начисленными на них к концу срока процентами.

Современная стоимость потока платежей - сумма всех его членов, дисконтированных  на начало срока ренты или некоторый упреждающий момент времени.

Допустим, имеется ряд  платежей  ,  выплачиваемых спустя время после некоторого начального  момента  времени,  общий  срок

выплат  n лет. Необходимо определить наращенную на конец срока  сумму  потока платежей,  если проценты начисляются раз в году по сложной  ставке  i , то:

                                   ,                                   (4.1)

Как видим, наращенную сумму в заданных условиях получают методом прямого  счета.  Современную стоимость  такого потока найдем  прямым счетом - как сумму  дисконтированных  платежей.  Обозначив  эту величину, как A, получим:

                                 ,                                              (4.2)

где  - дисконтный множитель по ставке i.

Между величинами A и S существует функциональная зависимость:

                                  ,                                              (4.3)

           Наращенная сумма постоянной ренты постнумерандо.

Очень важным является различие рент по моменту выплат плате-

жей в пределах периода. Если платежи осуществляются в конце периодов,  то  такие  ренты называют обыкновенными или  постнумерандо, если же платежи производятся в начале периодов,  то  их  называют пренумерандо.

                              Годовая рента.

В  течении n лет в банк в конце каждого года вносится  по  R  руб

На взносы начисляются  сложные проценты по ставке   % годовых.      Все члены   ренты,  кроме последнего, приносят проценты - на первый член ренты начисляются  (n-1)  год, на второй  (n-2)  и т.д.

                   .

Если переписать этот ряд в обратном порядке, то получим геометрическую прогрессию со знаменателем (1+ i ) и первым членом R.

                       ,                               (4.4)

Обозначим           ;

                         ,                                                   (4.5)

При начислении процентов m раз в  году:

                                 ,                                               (4.6)

Пусть рента выплачивается  Р  раз в году равными суммами, про-

центы начисляются один раз в  конце года тогда:

                                  ,                                                   (4.7)

При p=m

   ,                                        (4.8)

        Современная стоимость постоянной ренты постнумерандо.

Рассмотрим годовую  ренту постнумерандо,  член которой равен R,  срок ренты  n,  ежегодное дисконтирование. В  этих условиях дисконтированная величина первого платежа равна ,  второго -  ,

... последнего -  

  ,                (4.9)

Множитель на который умножается R называется коэффициентом  приведения ренты и обозначается  

При             ,                     (4.10)

Пример.  Рента постнумерандо характеризуется следующими пара

метрами: R = 4 млн. руб., n = 5.

При дисконировании по сложной ставке процента,  равной 18,5%

годовых получим:

           млн. руб.,  т.е.  12,368 млн.руб.  размещенных под 18,5% годовых, обеспечивают ежегодную выплату по 4 млн. рублей в течении 5 лет.

Годовая рента, начисление процентов  m  раз в году:

                                       ,                                       (4.11)

    Рента p-срочная (m=1).

                               ,                                                       (4,12)

Рента  р - срочная   (р=m)

                              ,                                          (4.13)

           Сравнение современных постоянных стоимостей  рент 

                          постнумерандо с разными условиями.

Величина современной стоимости  заметно  зависит  от  условий наращения процентов  (точнее  дисконирования)  и частоты выплат в  течении года.