Теория массового обслуживания

Система обслуживания может состоять из нескольких разнотипных каналов обслуживания, через которые должно пройти каждое обслуживаемое требование, т.е. в обслуживающей системе процедура обслуживания требований реализуется последовательно. Механизм обслуживания определяет характеристики выходящего (обслуженного) потока требований.

Рассмотрев основные компоненты систем обслуживания, можно констатировать, что функциональные возможности любой системы массового обслуживания определяются следующими основными факторами:

• вероятностным распределением моментов поступления заявок на обслуживание (единичных или групповых);
• вероятностным распределением времени продолжительности обслуживания;
• конфигурацией обслуживающей системы (параллельное, последовательное или параллельно-последовательное обслуживание);
• количеством и производительностью обслуживающих каналов;
• дисциплиной очереди;
• мощностью источника требований.

В качестве основных критериев эффективности функционирования систем массового обслуживания в зависимости от характера решаемой задачи могут выступать:

• вероятность немедленного обслуживания поступившей заявки;
• вероятность отказа в обслуживании поступившей заявки;
• относительная и абсолютная пропускная способность системы;
• средний процент заявок, получивших отказ в обслуживании;
• среднее время ожидания в очереди;
• средняя длина очереди;
• средний доход от функционирования системы в единицу времени и т.д.

Итак, предметом теории массового обслуживания является установление зависимости между факторами, определяющими функциональные возможности системы, и эффективностью ее функционирования. В большинстве случаев все параметры, описывающие систему массового обслуживания, являются случайными величинами или функциями, поэтому эти системы относятся к стохастическим системам.

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Классификация  систем массового обслуживания

Согласно общей классификации система массового обслуживания разделяется на три подсистемы.

Первая подсистема - это система массового обслуживания без потерь. Под термином система без потерь (с полным ожиданием) понимают систему, в которой, если все приборы заняты, требование становится в очередь и не покидает ее до тех пор, пока не будет обслужено.

Вторая подсистема - это система с частичными потерями. Подобная подсистема характеризуется тем, что требование либо не становится в очередь, если эта очередь превышает по длине некоторую величину (система с ограниченной длиной очереди), либо становится в очередь, но покидает ее, если время пребывания в ней превышает определенную величину (система с ограниченным временем пребывания), или, если время ожидания в очереди начала обслуживания превышает определенную величину (система с ограниченным временем ожидания начала обслуживания).

Третья подсистема - это система без очередей. Под этим термином понимают систему, в которой требование покидает систему, если все обслуживающие устройства (приборы) заняты. В такой системе, очевидно, очереди не может быть.

Системы, имеющие очередь, подразделяются на системы с одной очередью и системы с несколькими очередями.

Все системы массового обслуживания делятся на системы с одним каналом и системы с конечным числом каналов обслуживания. Под термином канал понимают обслуживающее устройство в цехе, пропускающее через себя требование. В тех случаях, когда приборов много удобно (математически более просто) считать, что их бесконечное число.

Все системы массового обслуживания можно разделить на системы с бесконечным числом требований (например, запросы на телефонные переговоры, на обслуживание покупателей, автомашины на бензозаправках и т.д.) и с конечным числом требований в системе (группа ремонта станков в цехе: число станков известно, тренировка футболистов футбольной команды, лечение больных студентов в институтской поликлинике и т.п.).

теория массовое обслуживание математический

Представленная классификация, конечно, не исчерпывает все множество различных систем массового обслуживания. Эти системы могут классифицироваться и по другим признакам.

Так, весьма важной характеристикой является дисциплина обслуживания, под которой понимают порядок выбора требований из очереди. В соответствии с этим системы подразделяются на четыре вида.

СМО с типом дисциплины "первый пришел - первый обслуживается" - дисциплина "живой очереди";

СМО с типом дисциплины "последний пришел - первый обслуживается" - примером такой системы является склад, заполненный изделиями, из которого на доработку удобно брать изделия, поступившие последними;

СМО с типом дисциплины выбора требований случайным способом;

СМО с типом дисциплины выбора требований в соответствии с присвоенными приоритетами.

Другими вариантами классификаций могут быть следующие.

Поступление требований может быть единичным и групповым.

Требования могут обслуживаться параллельно работающими приборами, но может быть и система, в которой приборы расположены последовательно так, что как только будет обслужено требование первым прибором, то начнет обслуживаться и другое и т.д.

Интенсивность обслуживания прибором может быть постоянной или зависеть от длины очереди, приоритетов или каких-либо других факторов.

Наконец, системы массового обслуживания различают по характеру входного потока и по характеру обслуживающих устройств.

 

 

 

 

II. Практическое применение теории массового обслуживания

1. Постановка задачи

В универсаме к узлу расчета поступает поток покупателей с интенсивностью λ = 101 человек в час. Средняя продолжительность обслуживания контролером-кассиром одного покупателя об. = 3 минуты. Рабочее время 12 часов (2 часа обеденный перерыв). Средняя з/п одного контролера-кассира составляет 25000руб. в месяц. Кассовый аппарат стоит 11000руб. (срок службы 5 лет). Стоимость канцтоваров (бумага, кассовая лента, ручки и т.д.) на одного кассира составляет 150 руб. в месяц.

Арендная плата в месяц составляет 23000 руб. Коммунальные услуги составляют 10000 руб. Налоги составляют 12580 руб.

Средний размер покупки - 500руб.

Определить:

а) Минимальное количество контролеров-кассиров nmin, при котором очередь не будет расти до бесконечности, соответствующие характеристики обслуживания при n=nmin и прибыль фирмы при этих условиях.

б) Оптимальное количество nопт. контролеров-кассиров, при котором относительная величина затрат, связанная с издержками на содержание каналов обслуживания и с пребыванием в очереди покупателей, задаваемая, например, как

Cотн. = , будет минимальна, и сравнить характеристики обслуживания при n=nmin и n=nопт. Определить прибыль фирмы при n=nопт.

в) Вероятность того, что в очереди будет не более трех покупателей.

 

 

 

 

 

2. Решение задачи

Задача представляет собой яркий пример СМО с ожиданием.

Необходимо найти:

А). Минимальное количество контролеров-кассиров nmin, при котором очередь не будет расти до бесконечности, соответствующие характеристики обслуживания при n=nmin и прибыль фирмы при этих условиях.

Находим среднее число занятых каналов по формуле 1.31.

По условию l=101 (1/ч) =1,68 (1/мин).

 

 

Очередь не будет расти до бесконечности при условии, что среднее число занятых каналов будет меньше, чем реальное количество кассиров. На числовой оси наименьшее натуральное целое число, большее, чем 3,36, есть число 4. Значит минимальное количество кассиров =4. Рассчитаем основные характеристики этой СМО с количеством кассиров =4. Вероятность того, что канал свободен. По формуле (1.27) получаем:

 

 

Таким образом, можно заключить, что 2,3% времени касса свободна.

Вероятность того, что заявка окажется в очереди, рассчитаем по формуле 1.30:

 

 

Среднее число заявок в очереди. Воспользовавшись формулой 1.31, получаем:

 

 

Среднее время ожидания в очереди

 

 

Среднее число заявок в системе

 

 

Рассчитаем прибыль фирмы при этих условиях.

Прибыль = выручка - себестоимость. На себестоимость продукции отнесем заработную плату 4-х кассиров, амортизационные отчисления от использования основных средств (кассовые аппараты), материальные затраты на канцелярию, арендную плату, затраты на коммунальные услуги, а также начисленные предприятию налоги. При расчете заработной платы будем считать, что фирма работает без выходных, а отчетный период равен 30 дням.

 

З/П.4-х кассиров = 4 кассиров*25 т. р. =100000 р.

 

Начислена амортизация основных средств:

 

р.

 

Материальные затраты на канцелярию 150*4=0,6 т. р.

Арендная плата = 23 т. р.

Затраты на коммунальные услуги = 10 т. р.

Начисленные предприятию налоги = 12580 т. р.

Значит себестоимость по осуществлению предпринимательской деятельности предприятия = 100000+14666,7+600+23000+10000+12580= 160846,7 р.

Рассчитаем выручку с учетом данных задачи об интенсивности обслуживания. Если человек в час, то можем посчитать, сколько людей обслуживается одним кассиром за месяц: человек. Теперь можем определить размер выручки: р.

Прибыль = 60600000-160846,7 =60439153,3 р.

Б). Оптимальное количество nопт. контролеров-кассиров, при котором относительная величина затрат, связанная с издержками на содержание каналов обслуживания и с пребыванием в очереди покупателей, задаваемая, например, как Cотн. = , будет минимальна, и сравнить характеристики обслуживания при n=nmin и n=nопт. Определить прибыль фирмы при n=nопт.

При n=4 относительная величина затрат, выражаемая как Cотн. = , будет равна Cотн= . Рассчитаем относительную величину затрат при n=5,6,7,8 и представим их в сводной таблице.

N=5

 

 

N=6

 

N=7

N=8

 

 

 

Таблица 2. Сравнительные характеристики СМО с числом каналов обслуживания n = 4,5,6,7,8.

Характеристика	N=4	N=5	N=6	N=7	N=8
Вероятность того, что канал свободен	0,023	0,037	0,041	0,043	0,043
Среднее время ожидания в очереди Toch	2,3	0,48	0,17	0,043	0,013
Затраты Cотн. =	11,6	5,35	4,56	4,471	6,48

 

 

Минимальное выражение относительная величина затрат принимает при n=7, значит . Из таблицы видно, что характеристики системы с шестью каналами обслуживания уменьшились: вероятность того, что канал свободен, увеличилась; среднее время ожидания в очереди сократилось; затраты на содержание каналов обслуживания и с пребыванием в очереди покупателей уменьшились.

Это говорит о несомненном росте эффективности функционирования СМО при увеличении обслуживающих каналов с 4х до 7ти.

Теперь рассчитаем прибыль для СМО с количеством обслуживающих каналов n=7.

 

З/П.7 кассиров*25 т. р. = 175 т. р.

 

Начислена амортизация основных средств: р.

 

Материальные затраты на канцелярию 150*7=1050 р.

Арендная плата = 23 т. р.

Затраты на коммунальные услуги = 10 т. р.

Начисленные предприятию налоги = 12580 р.

Значит себестоимость по осуществлению предпринимательской деятельности предприятия = 175000+25666,7+1050+23000+10000+12580= 247296,7 р.

Рассчитаем выручку с учетом данных задачи об интенсивности обслуживания. Если человек в час, то можем посчитать, сколько людей обслуживается одним кассиром за месяц: человек. Теперь можем определить размер выручки: р.

Прибыль = 106050000 - 247296,7 =105802703,3 р.

Прибыль предприятия, не смотря на рост себестоимости, возросла в два раза.

В). Для расчета вероятности того, что в очереди окажется не более трех покупателей для СМО с количеством обслуживающих каналов n=7, будем иметь ввиду, что эта вероятность будет складываться из вероятности того, что заняты все шесть каналов обслуживания и вероятности того, что в трех из них ждут своей очереди по одному человеку.

Значит

 

,

 

где каждое слагаемое найдем по формулам (1.28) - (1.29). Итак,

 

=0,144+0,272+0,228+0,153+0,086+0,041+0,02+0,009+0,005=0,958

 

Таким образом, вероятность того, что в очереди окажется не более трех покупателей, равна 95,8%.

 

 

 

 

 

 

 

Заключение

Наряду с другими экономико-математическими методами в экономическом анализе используется теория массового обслуживания. Она применяется, в частности, в розничной торговле при анализе количества обслуживаемых покупателей и продолжительности их обслуживания (при условии высокого качества их обслуживания). На эти показатели оказывают влияние различные факторы (переменные величины). Они взаимодействуют между собой в условиях процесса обслуживания покупателей, носящего стохастический характер.

На основе теории массового обслуживания выбирается оптимальный вариант организации торгового обслуживания населения, обеспечивающий минимальное время обслуживания при минимизации затрат и высоком качестве обслуживания населения.