Основи фінансової математики у шкільній програмі. Впровадження задач фінансової математики на уроках в старшій школі

Розв’язання:

З  15 вересня 2011 - 15 вересня  2012                          360 днів – 5% річних;

З 16 вересня 2012  – 30 вересня  2012                          14 днів 10% річних;

1 жовтня 2012 –15 вересня  2013                                   344 днів  - 12 %  річних;

Отже

P=50000(1+

 

P=58427,77

1.3 СУТЬ СКЛАДНИХ ВІДСОТКІВ ТА ПРИКЛАДИ ЇХ ВИКОРИСТАННЯ У БАНКІВСЬКІЙ СПРАВІ

• Складні відсотки - це відсоткові гроші, при нарахуванні яких за базу береться нарощена сума попереднього періоду.

В результаті таких фінансових дій проценти набігають не тільки на початкову суму кредиту, але й на суму процента. Формула складних відсотків:

 (1.4)

Де початкова сума боргу - P ,а  сума боргу з приєднаними відсотками - P(1+i). Через 2 роки  сума боргу з приєднаними відсотками складе  , через n років - .

У практичних розрахунках в основному застосовують дискретні відсотки, тобто відсотки, що нараховуються за однакові інтервали часу (рік, півріччя, квартал і т.д.). Нарощення по складних відсотках є зростанням за законом геометричної прогресії, перший член якої дорівнює P, а знаменник .

Відзначимо, що при терміні n<1 нарощення за простими відсотками дає більший результат, ніж по складним, а при n>1 - навпаки. У цьому неважко переконатися на конкретних числових прикладах. Найбільше перевищення суми, нарощеної за простими відсотками, над сумою, нарощеної по складних, (при однакових відсоткових ставках) досягається в середній частині періоду.

У тому випадку, коли ставка складних відсотків змінюється в часі, формула   нарощення має наступний вигляд:

                               

                            (1.5)

де – послідовні значення ставок відсотків, що діють у періоди відповідно.

Розглянемо на прикладі задачі.

Задача1. У договорі зафіксована змінна ставка складних відсотків, яка визначається як % річних плюс маржа % в перші два роки, % у третій рік, % в четвертий рік. Визначити величину множника нарощення за 4 роки.

Розв’язання:

 Розглянемо формулу  ,

- множник нарощення. Отже:

 

Відповідь: 2,19375

 

Складні  відсотки – це відображення об’єктивної реальності. Адже вони урівноважують усіх клієнтів банку, які мають на меті швидко збільшити свій прибуток, переоформивши депозит. Складний відсоток запобігає таким ситуаціям встановлюючи однакові умови усім клієнтам.

Для уникнення процедури вилучення і повторного вкладу всі сторони кредитної чи депозитної угоди  заздалегідь домовляються про  нарахування складних відсотків.

 

Перший розділ роботи містить систематизований виклад теоретичного матеріалу одного із основних розділів фінансової математики – фінансового числення. У ньому наведені основні означення, формули, алгоритми фінансових розрахунків, якими користуються безліч людей різних сфер виробництва та обслуговування. Кожне теоретичне твердження ілюструється задачею з поясненням ходу її розв’язання.

 

 

 

 

РОЗДІЛ 2      

 ПРАКТИЧНЕ  ВИКОРИСТАННЯ ВІДСОТКІВ ТА ПРИКЛАДИ ЇХ ЗАСТОСУВАННЯ. ПЕДАГОГІЧНИЙ ЕКСПЕРИМЕНТ

2.1 ПРИКЛАДИ ЗАСТОСУВАННЯ  ПРОСТИХ ВІДСОТКІВ У БАНКІВСЬКІЙ  СПРАВІ

Задача 1. Вкладник відкриває рахунок в банку на суму 1500 грн. . Річна відсоткова ставка рівна 15% . Яка кількість грошей буде на рахунку: через місяць, рік, два роки, десять років, якщо вважати .

Розв’язання.

(грн.) – коштів на рахунку  через місяць;

(грн.) – коштів на рахунку  через рік;

  (грн.) – коштів на  рахунку через два роки;

  (грн.) – коштів на  рахунку через 10 років.

Відповідь: 1518,74; 1725; 1950; 3750 грн.

Задача 2. Сума 10000 грн. вкладена в момент часу під 8 % річних: а) на два роки; б) на один рік, на завершення якого нарощена сума вкладається (реінвестується) ще на один рік. Знайти для обох випадків нарощену суму на кінець 2-го року?

Розв’язання.

а)  (грн.) – отримана сума на кінець 2-го року;

б)  (грн.) – отримана сума на кінець 1-го року;

(грн.) – отримана сума  на кінець 2-го року.

Відповідь: 11600; 11664 грн.

Задача 3. Капітал 5000 грн. вкладений в банк на 240 днів під звичайний точний процент розміром 10%(Рік не високосний). Знайти, яку суму ми отримаємо через 240 днів?

    (грн.)

Відповідь: 5328,76 грн.

Задача 4. Капітал 2000 грн. вкладений в банк з 6.06 по 17.09 під  5%  річних. Знайти величину капіталу на 17.09?

Розв’язання.

      ,

      (грн.)

Відповідь: 2200 грн.

Задача 5. Підприємство отримало в банку 35000 грн. на 10 місяців із ставкою 15% річних. Визначити:а) прибуток з капіталу; б) загальну суму.

Розв’язання.

       ,   ,  

   а) грн.

   б) грн.

Відповідь: 4357,5; 39357,5 грн.

Задача 6. Нехай в угоді, розрахованій на рік, прийнята ставка простих відсотків на перший квартал у розмірі 15% річних, а на кожен наступний на 1% менше, ніж у попередній. Визначимо множник нарощення за весь термін угоди.

Розв’язання.

    

Відповідь: 1,135.

Задача 7. Сума 100 млн. грн. покладені 1 січень на місячний депозит під 20% річних. Яка нарощена сума, якщо операція повторюється 3 рази?

Розв’язання.

Якщо нараховувати точні відсотки (365/365), то

         (млн. грн...)

Нарахування звичайних відсотків (360/360) при реінвестуванні дає

          (млн. грн.)

Відповідь:   105,013;   105,084 млн. грн.

Задача 8. Нехай рахунок з початковою сумою 100 грн. при річній ставці 20% відкрили в момент часу . Через рік відкривається рахунок на суму 110 грн. з тією самою ставкою. Знайти час, коли накопичені суми на обох рахунках зрівняються?

Розв’язання.

Динаміка цих рахунків описується рівняннями:

          ,  

          ,

Кошти на обох рахунках співпадуть в момент , який визначається рівнянням

                

                     

Відповідь: 6 років.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.2 ПРИКЛАДИ ЗАСТОСУВАННЯ  СКЛАДНИХ ВІДСОТКІВ У БАНКІВСЬКІЙ  СПРАВІ

Задача 1. Початкова сума вкладу  складає 500, а відсоткова ставка нарахувань 5%. Знайти: а) накопичену суму та відсотки за перші 3 роки;

Розв’язання.

а) накопичену суму за 3 роки визначимо за формулою:

            ,

              

а відсотки за той же період складуть

         

Відповідь: 578,81 грн.

Задача 2. Якого розміру сягне борг, рівний 1 млн. грн., через 5 років за умови, наростання по складній відсотковій ставці 15,5% річних?

Розв’язання.

       (грн.)

Відповідь: 2055464,22 грн.

Задача 3.Нехай банк виплачує відсоток по вкладам у розмірі 10% річних протягом 1 року, 15% річних – протягом 2-го року та 8% річних – протягом 3-го року. Якщо вкладник мав на рахунку на початку 1-го року 500, то який розмір вкладу у кінці кожного року?

Розв’язання.

В кінці 1-го року вклад:

                     

В кінці 2-го року вклад:

                      

В кінці 3-го року вклад:

                       

Відповідь: 550;  632,5;   683,1.

Задача 4.Нехай банк виплачує 12% річних за складною відсотковою ставкою. Яку суму треба покласти в банк, щоб отримати 1000: а) за 2 роки; б) за 2,5 роки при неперервній схемі нарахування?

Розв’язання.

а) У цьому випадку , а відповідно маємо:

          

б) У цьому випадку , отримаємо:

          

Відповідь: 797,19;    753,28.\

Задача 5.  Підприємству необхідно отримати 96 000 грн. через 6 років. Банк дає 9% з щомісячним компаундом. Яку суму потрібно покласти (інвестувати)?

Розв’язання.

    ,   %,   ,   .

          %,     

    грн.

Відповідь: 67037 грн.

Задача 6. За який термін в роках сума, рівна 75 млн. грн., досягне 200 млн. грн. при нарахуванні відсотків по складній ставці 15%, раз на рік.

Розв’язання.

              (років)

Відповідь: 7,0178 років.

 

 

 

2.3  КОМПЛЕКС  ЗАДАЧ ФІНАНСОВОЇ МАТЕМАТИКИ

2.3.1 Прості відсотки 

Задача 1.Вкладник поклав у банк грн.. під 9% річних. Яка сума буде у нього на рахунку через рік?

Задача 2. Вкладник відкриває рахунок в банку на суму 500 грн., та для простоти підрахунків . Річна відсоткова ставка рівна 12%. Яка кількість грошей буде на рахунку: через місяць, рік, два роки, десять років?

Задача 3. Капітал розміром  200 тис. грн.. вкладений в банк на 10 місяців під 12% річних. Знайти суму, яку отримаємо в кінці року.

Задача 4. Кредит на суму 45000грн. було видано на 90 днів під 4% річних. Знайти  точний простий процент та суму, яку потрібно повернути. Рік не високосний.

Задача 5. Через 90 днів після позики було виплачено рівно 1000 грн. Скільки було зайнято, якщо 1000 грн. включають основну суму і звичайний простий відсоток при 12%?

Задача 6. Капітал 10800 грн. вкладений в банк на 6 місяці під 4% річних. Знайти нарощену суму капіталу?

Задача 7. Контракт передбачає наступний порядок нарахування відсотків: перший рік – 16%, у кожному наступному півріччі ставка зростає на 1%. Необхідно визначити множник нарощення за 2,5 роки.

Задача 8. Яку суму необхідно вкласти зараз на 2 роки під 5% річних, щоб отримати 1000 грн.?

Задача 9*. Яка повинна бути тривалість позики в днях для того, щоб борг, рівний 100 тис. руб., збільшився до 120 тис. руб. при умові, що нараховуються прості відсотки по ставці 25% річних (365 днів).

Задача 10** Нехай рахунок з початковою сумою 1000 грн. при річній ставці 20% відкрили в момент часу . Через 2 роки  відкривається рахунок на суму 1100 грн. з тією самою ставкою. Знайти час, коли накопичені суми на обох рахунках зрівняються?

2.3.2 Складні відсотки

Задача 1. Початкова величина вкладу складає 200. Період нарахування 1 місяць. Знайти накопичену суму та відсотки за 5 років і 3 місяці, якщо місячна ставка нараховується по вкладу 3%?

Задача 2. У договорі зафіксована змінна ставка складних відсотків, яка визначається як % річних плюс маржа % в перші два роки, % у третій рік, % в четвертий рік. Визначити величину множника нарощення за 4 роки.

Задача 3.Термін позики – 5 років, базова відсоткова ставка – 12% річних плюс маржа 0,5% в перші два роки та 0,75% в наступні роки. Знайти множник нарощення у цьому випадку?

Задача 4. Нехай банк виплачує відсоток по вкладам у розмірі 15% річних протягом 1 року, 12% річних – протягом 2-го року та 10% річних – протягом 3-го року. Якщо вкладник мав на рахунку на початку 1-го року 1500, то який розмір вкладу у кінці кожного року?

Задача 5. Позика була видана на два роки – з 1 травня 2005р. По 1 травня 2007р. Розмір позики 10 млн. руб. Необхідно розподілити нараховані відсотки (ставка 14%) по календарним рокам.

Задача 6.* Знайти річну ефективну ставку, яка відповідає 30% річній номінальній ставці, яка нараховується двічі на рік.

Задача 7.* Нехай банк виплачує 15% річних за складною відсотковою ставкою. Яку суму треба покласти в банк, щоб отримати 100000: а) за 2 роки; б) за 2,5 роки при неперервній схемі нарахування?

Задача 8.* За який термін в роках сума, рівна 75 млн. руб., досягне 200 млн. руб. при нарахуванні відсотків по складній ставці 15%, раз на рік та щоквартально?

Задача 9.* Термін до погашення векселя рівний 2 рокам. Дисконт при його обліку склав 20%. Якій складній річній обліковій ставці відповідає цей дисконт?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.4 ОРГАНІЗАЦІЯ ПЕДАГОГІЧНОГО ЕКСПЕРИМЕНТУ ТА АНАЛІЗ ЙОГО РЕЗУЛЬТАТІВ.

 

Під час проведення дослідження, об’єктом якого є навчально-виховний процес з алгебри 10 класу, а предметом – задачі з фінансової математики, проводився педагогічний експеримент.

На першому етапі дослідження проводився констатуючий експеримент, завданнями якого було:

• проаналізувати літературу з даного питання.

На цьому етапі були використані наступні методи дослідження: аналіз державних документів, навчальних програм, навчально-методичної літератури з проблеми дослідження, спостереження за навчальним процесом.

На другому етапі дослідження проводився пошуковий експеримент, завданнями якого були:

• розробити окремі компоненти методичної системи, спрямованої на формування вмінь розв’язувати задачі різної складності з фінансової математики;
• упровадити розроблений комплекс теорії та задач в практику навчання учнів 10 класу та проаналізувати результати експериментального навчання та скоригувати експериментальні матеріали.

На цьому етапі дослідження використовувались наступні методи дослідження спостереження, педагогічний експеримент, діагностика його результатів.

На третьому етапі дослідження проводився формувальний експеримент, завдання якого полягали в перевірці ефективності розробленої методики.