Концептуальные и математические основы системной методологии принятия решений

Процедуры согласования управленческого решения с вышестоящими органами, заказчиками, клиентами следующие:

1. Оформить документацию  на физических и юридических  лиц, с которыми необходимо  согласовать решение, временные  периоды согласования.

2. Документально оформить акт согласования.

Процедуры принятия решения:

1. Документально подтвердить  отсутствие в вариантах решения  противоречивости.

2. Документально оформить  набор критериев для выбора  решения: наименования и значения.

3. Документально зафиксировать отклонения параметров решения от запланированных критериев.

4. Документально оформить  процедуру принятия решения с  указанием даты, ответственных лиц.

Процедуры утверждения  решения:

1. Оформить документацию  о физических и юридических  лицах, у которых нужно утвердить решение.

2. Документально оформить  акт утверждения.

Процедуры организации  выполнения решения:

1. Оформить документацию  о начале реализации решения  с указанием необходимых элементов.

2. Разъяснить исполнителю  содержание и порядок выполнения  задания.

3. Разъяснить исполнителям  их права, ответственность и  полномочия при выполнении задания.

4. Обсудить с исполнителями  неучтенные факторы для успешного  выполнения работ.

5. Акцентировать внимание  на важности предстоящей работы, выделить средства для реализации решения.

6. Активизировать работу  исполнителей по эффективной  реализации решения.

7.Осуществлять контроль  за ходом реализации задания.

8. Сдать документацию  по реализованному решению в  архив.

 

 

7. РАЗНОВИДНОСТИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ

 

7.1. Динамические модели.

Динамические модели стали развиваться во многом благодаря  развитию вычислительной техники, так  как связаны с необходимостью решать большое число (сотни) уравнений за короткий промежуток времени. Эти уравнения являются более или менее сложными математическими описаниями того, как функционирует исследуемая система и даются они в форме выражений для “уровней” различных типов, “темп” изменения которых регулируется управляющими функциями. Уравнения для уровней описывают накопление в системе таких, например, величин, как вес, количество энергии, количество организмов, а уравнения для темпов управляют изменением этих уровней во времени. Управляющие функции отражают правила, регулирующие функционирование системы. В динамических моделях часто используются уравнения неразрывности - соотношения между потоками переменной в какую-то часть системы и из нее со скоростью изменения этой переменной.

Пример 4. Пусть некоторый экономический регион производит несколько (n) видов продуктов исключительно своими силами и только для населения данного региона. Предполагается, что технологический процесс отработан, а спрос населения на эти товары изучен. Надо определить годовой объем выпуска продуктов, с учетом того, что этот объем должен обеспечить как конечное, так и производственное потребление.

Составим математическую модель этой задачи. По ее условию даны: виды продуктов, спрос на них и  технологический процесс; требуется  найти объем выпуска каждого  вида продукта.

Обозначим известные  величины:

c _i — спрос населения на i-й продукт (i=1,...,n);

a _ij — количество i-го продукта, необходимое для выпуска единицы j -го продукта по данной технологии ( i=1,...,n ; j=1,...,n);

Обозначим неизвестные  величины:

х _i — объем выпуска i-го продукта (i=1,...,n);

Совокупность с =(c₁ ,...,c_n ) называется вектором спроса, числа a_ij - технологическими коэффициентами, а совокупность х =( х₁ ,...,х_n ) - вектором выпуска.

По условию задачи вектор х распределяется на две части: на конечное потребление (вектор с) и на воспроизводство (вектор х-с ). Вычислим ту часть вектора х которая идет на воспроизводство. По нашим обозначениям для производства х_j количества j-го товара идет a_ij · х_j количества i-го товара. Тогда сумма a_i1 · х₁ +...+ a_in · х_n показывает ту величину i-го товара, которая нужна для всего выпуска х =( х₁ ,...,х_n ). Следовательно, должно выполняться равенство:

 

х_i - с_i = ai1 · х₁ +...+ a_in · х_n

 

Распространяя это рассуждение  на все виды продуктов, приходим к  искомой модели:

х₁ - с₁ = a₁₁ · х₁ +...+ a_1n · х_n

х₂ - с₂ = a₂₁ · х₂ +...+ a_2n · х_n

....................................................

х_n - с_n = a_n1 · х_n +...+ a_nn · х_n

Решая эту систему  из n линейных уравнений относительно х₁ ,...,х_n и найдем требуемый вектор выпуска.

Для того, чтобы написать эту модель в более компактной (векторной) форме, введем обозначения:

Квадратная (nxn) —матрица А называется технологической матрицей. Легко проверить, что наша модель теперь запишется так: х-с=Ах или

 

х- Ах = с

 

7.2. Балансовые модели.

Балансовые модели представляют моделируемый объект как совокупность неких потоков вещества и энергии, баланс которых рассчитывается на каждом шаге моделирования. Являются разновидностью динамических моделей. В настоящее время эти модели получили очень широкое распространение благодаря наглядности и сравнительно простой реализации. Однако применение их возможно лишь при решении, общеметодологических вопросов: баланс каких веществ является наиболее важным для рассмотрения; насколько целесообразно подробно прослеживать потоки данного вещества; как, выразить смену режимов трансформация веществ и т.п.

Пример 5. Баланс четырех отраслей за предыдущий период имеет матрицу межотраслевых производственных связей вида  и матрицу валовой продукции вида . Необходимо определить конечный продукт Y и чистый продукт C каждой отрасли.

Конечный продукт Y получается в результате вычитания из каждого  элемента матрицы валовой продукции  суммы элементов соответствующих  строк  матрицы   x_ij.   Например, первое   значение y_i   равно   

100-(10+20+15+10)=45. Чистый продукт  С получается в результате вычитания из каждого элемента матрицы валовой продукции Х суммы элементов соответствующих столбцов матрицы x_ij. Например, первое значение  C₁ равно 100-(10+5+25+20)=40. В результате, получим основную балансовую таблицу:

Поставим теперь другую задачу: рассчитаем конечный продукт каждой отрасли на будущий период, если валовый продукт окажется равным . Для решения этой задачи найдем коэффициенты прямых затрат:

По формуле получим,

Важнейшей задачей межотраслевого баланса состоит в отыскании такого вектора валового выпуска X, который при известной матрице прямых затрат А (или при возможности рассчитать этот показатель) обеспечивает заданный вектор конечного продукта Y.

 Из уравнения можно выразить валовый продукт:  
      
     Матрица  называется матрицей полных затрат. Каждый элемент S_ij матрицы S есть величина валового  выпуска продукции j-й отрасли,  необходимого  для обеспечения выпуска единицы конечного продукта i-й отрасли.  
     Пример 6. В некотором регионе имеются две основные отрасли народного хозяйства: машиностроение (м/с) и сельское хозяйство (с/х). Баланс этих отраслей за отчетный период определяется матрицами , . Вычислим остальные показатели и заполним основную балансовую таблицу

 
     Предположим, что на будущий  период планируется конечная продукция в объемах . Нужно определить, какой валовый продукт x_новый при этом нужно планировать.  Найдем коэффициенты прямых затрат: 
        
      
     Найдем матрицу . Обратную матрицу найдем методом алгебраических дополнений.  
     Определитель равен . Алгебраические дополнения:  
     Транспонируем ее: . Делим каждый элемент на определитель: . 
Валовый продукт:

 
     Таким образом, нужно планировать  валовый выпуск машиностроения  в размере 221 ед., а сельского  хозяйства в размере 254 ед.

7.3. Поиск равновесия.

Этот подход основан  на постулате о том, что любая  большая система может иметь  состояние равновесия. Например, в  экономических системах это равновесие между спросом и предложением (по Н.Д.Кондратьеву – это равновесие «1-го порядка»), равновесие в структуре цен (равновесие 2-го порядка), равновесие основных капитальных благ» - промышленных изделий, сооружений, квалифицированной рабочей силы, технологий, источников энергии и т.д. (равновесие 3-го порядка).

В экологии может рассматриваться равновесие между определенной численностью хищников и их жертв, между загрязнением окружающей среды и ее способностью к самовосстановлению.

Поиск равновесия очень  важен для исследования экономических  и экологических систем. При этом следует различать динамическое и статическое равновесие.

Динамическое («подвижное») равновесие предполагает непрерывный  обмен веществом и энергией между  системой веществ и энергии, поглощаемых  и выделяемых системой одинаковы. При  динамическом равновесии сохраняется соответствие между частями системы, все размеры которой одновременно меняются.

Статическое равновесие означает сохранение того же соответствия при неизменных размерах (величинах) частей системы и системы в  целом. Можно проиллюстрировать  поиск равновесия на примере определения состояния насыщения рынка. Для этого было предложено уравнение

 

где х – количество товара, t - время,  А,Р – константы.

Эта функция описывается  «затухающей кривой». Было показано, что она описывает ряд общественных и экономических процессов, например, насыщение рынка книгами по специальным дисциплинам и т.п., если выполняются такие условия, как

- незаменимость товара,

- неизменность цен; 

- отсутствие спекулятивных  перепродаж;

- приобретение каждым покупателем равного количества;

- отсутствие повторных покупок товара.

Разумеется, это достаточно примитивное уравнение, которое  не соответствует подвижному и динамическому  равновесию. Для построения более  адекватных моделей с равновесием  необходимо использование обратных связей

 

 

8. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ВЕКТОРНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ

 

В реальных задачах выбора наиболее предпочтительного решения, возникающих на практике, как правило,  присутствуют несколько критериев  оптимальности. Можно привести много  примеров, когда требуется найти  решение, для которого достигались наилучшие значения сразу по нескольким критериям. Наиболее распространенная задача, которую мы решаем очень часто  (не облекая  ее в термины оптимизации)  - это поиск покупки, которая была как можно качественнее и как можно дешевле.

Задачи выбора некоторого решения из множества допустимых решений с учетом нескольких критериев  оптимальности называют многокритериальной задачей оптимизации. 

Многокритериальные задачи широко распространены в техническом  проектировании, например, задача проектирования компьютера с максимальным быстродействием, максимальным объемом оперативной памяти и минимальным весом или задача проектирования электрического двигателя с максимальной мощностью, максимальным коэффициентом полезного действия, минимальным весом и минимальными затратами электротехнической стали (естественно, при ограничениях на необходимые параметры проектируемых устройств). Реальные многокритериальные управленческие задачи также широко распространены,  лозунг экономики СССР 80-х гг. - «максимум качества при минимуме затрат», несмотря на его одиозность, выражал сущность большинства проблем управления.

Под многокритериальной задачей зачастую понимают не собственно вербальное  описание задачи, а ее модель, а именно: «многокритериальная  задача – математическая модель принятия оптимального решения по нескольким критериям. Эти критерии могут отражать оценки различных качеств объекта или процесса, по поводу которых принимается решение».

Формально многокритериальная задача  как модель задается  в  виде:

,     (9.1)

где D - множество допустимых решений.  F(x) – векторная функция  векторного аргумента x,  которую  можно представить как F(x)={f1(x), f2(x), … , fk(x) },      где f1(x), f2(x), … , fk(x) – скалярные функции векторного аргумента x, каждая их которых является математическим выражением одного критерия оптимальности.   Так как в данной модели используется векторная целевая функция, ее зачастую называют задачей векторной оптимизации. Очевидно, что задача (9.1) не принадлежит классу задач математического программирования, т.к. модели этого класса задач содержат всегда только одну целевую функцию векторного аргумента. 

Сущность поставленной задачи состоит в нахождении такого ее допустимого решения, которое в том или ином смысле максимизирует (минимизирует) значения всех  целевых функций fi(x), i=1,k.  Существование решения, буквально максимизирующего все целевые функции, является редким исключением. (Если вспомнить пример о поиске одновременно очень качественной и очень дешевой покупки, то становится понятным, что нахождение такого решения – редкая удача, но, гораздо более часто,  это неразрешимая задача).

Отсюда следует, что  принципиальным моментом при решении  такого рода задач является предварительная  договоренность, а что считать  самым предпочтительным решением, т.е. надо договориться об используемом принципе оптимальности. Ранее используемый принцип оптимальности «хорошо то, что доставляет наибольшее (наименьшее) значение имеющемуся единственному критерию оптимальности» в многокритериальных задачах очевидно «не работает».

Задача векторной оптимизации в общем случае не имеет строго математического решения.  Для получения того или иного ее решения  необходимо использовать дополнительную субъективную информацию специалиста в данной предметной области, которого принято называть лицом принимающим решение (ЛПР), в английском языке - decision maker. Это означает, что при решении задачи разными специалистами с привлечением различных источников информации, скорей всего будут получены различные ответы.

Задачи векторной оптимизации, в настоящее время принято рассматривать в рамках  теории принятия решений, основной особенностью задач которой является наличие неопределенности. Эта неопределенность не может быть исключена с помощью различных приемов моделирования и объективных расчетов. В многокритериальных задачах неопределенность состоит в том, что неизвестно, какому критерию отдать предпочтение и в какой степени. Для устранения этой неопределенности необходимо, во-первых,  сформулировать  специальный принцип оптимальности, а также привлечь дополнительную субъективную информацию ЛПР, основанную на его опыте и интуиции.