Методики прогнозирования продаж на месяц

 
 

 

2 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ СБОРА  И ОБРАБОТКИ ДАННЫХ, МОДЕЛИРОВАНИЯ  И ПРОГНОЗИРОВАНИЯ 

       Для достижения поставленных в дипломе  целей необходимо было составить  базу данных по проданной продукции в пакете EXCEL, чтобы собрать необходимые данные для расчетов. Рассмотреть линейные и нелинейные регрессионные модели, с целью выбора наиболее адекватной модели для прогноза динамики изменения продаж. А для этого изучить методы корреляционного анализа для выделения самых значимых факторов, влияющих на продажи. Изучить анализ погрешностей. 

2.1 Некоторые  определения 

    Нормальные  случайные величины играют основополагающую роль в теории планирования эксперимента в экономике.

    Определение: многомерной случайной величиной (МСВ) называется функция , отображающая вероятностное пространство в n-мерное евклидово пространство [17].

    Определение: матрицей ковариаций А для МСВ называется матрица с элементами

.

    Матрица ковариаций характеризует степень случайного разброса компонент МСВ , поэтому ее определитель служит для нахождения обобщенной дисперсии.

    Определение: матрицей корреляций R для МСВ называется нормированная ковариационная матрица, элементы которой задаются соотношением

.

    Замечание: матрицу R часто называют еще матрицей парных корреляций между одномерными случайными величинами и .

    Для оценки A и R на некоторой совокупности эмпирических данных часто используют выборочные матрицы ковариаций и корреляций [15].

    Определение: выборочной матрицей ковариаций назовем матрицу вида:

,

где k–число векторов в генеральной совокупности (размер выборки), X – выборочная матрица, μ – вектор выборочного математического ожидания, каждая компонента которого вычислена по соответствующему столбцу матрицы X: ,

    Определение: выборочной матрицей корреляций называется матрица, состоящая из элементов вида 

. 

2.2 Корреляционный анализ 

       Коэффициенты  корреляции характеризуют степень линейной связи между результатом и соответствующим фактором при устранении влияния других факторов, либо между двумя факторами.

       Формула выборочного коэффициента корреляции переменных x и y имеет вид: 

             ,    (2.3)

где: у – функция, зависимая переменная,

    х – аргумент, независимая переменная (признак – фактор),

    n – количество наблюдений,

     - среднее значение х, равное ,

     - среднее значение y, равное

    По  формуле коэффициента корреляции видно, что он будет положителен, если отклонения переменных x и y от своих средних значений имеют, как правило, одинаковый знак, и отрицательным – если разные знаки [12].

       Коэффициент корреляции является безразмерной величиной; его величина не зависит от выбора единиц измерения обеих переменных. Величина коэффициента корреляции меняется от -1 в случае строгой линейной отрицательной связи до +1 в случае строгой линейной положительной связи. Случаи положительной и отрицательной корреляции переменных (с близкими по модулю коэффициентами корреляции) изображены на рисунке 2.1.

       Рисунок 2.1 - Типы зависимостей и коэффициент корреляции 

       Близкая к нулю величина коэффициента корреляции говорит об отсутствии линейной связи  переменных, но не отсутствия связи  между ними вообще. Это видно из правой части рисунка 2.1. Последнее вытекает из того, что каждой паре одинаковых отклонений переменной x от ее среднего значения соответствуют равные по абсолютной величине положительное и отрицательное отклонения переменной y от ее среднего значения. Соответственно, произведения этих отклонений «гасят» друг друга в числителе формулы коэффициента корреляции, и он оказывается близким к нулю [11,12]. Результаты рассчитанных коэффициентов корреляции смотреть в приложении А.

       На  основе рассчитанных коэффициентов  корреляции можно строить модели, причем обычно в модели входят те параметры, которые имеют наиболее большие значения коэффициентов корреляции. Одними из таких моделей являются регрессионные модели. 

2.3 Линейные по коэффициентам модели 

       Имеем величину, зависящую от факторов:

        .     (2.4)

       Каждому набору факторов ставится в соответствии вектор – столбец:

        .

       Пространство  размерности n , в котором определен вектор х, называют факторным пространством [9,20].

       В каждой точке  получаются наблюдения функции со случайной ошибкой .

       Ошибки  удовлетворяют следующим условиям:

2. ;
3. .

        - ковариация ошибки.

       Ошибки  наблюдения независимы, тогда

        ,

        -дисперсия случайной ошибки  в точке  .

       По  результатам таких наблюдений будем  оценивать функциональную зависимость в линейном по параметрам виде

        ,

        - остаток ряда.

       Введем  следующие обозначения:

        ;

        ;

        .

       Тогда в новых обозначениях:

        ,

        ,

       где: - матрица ковариации ошибок наблюдения с элементами .

       Введем

        ;

        -столбец коэффициентов ряда.

        , если  - ортонормированные на функции, т.е.

       

       

       В новых обозначениях система линейных уравнений по неизвестным коэффициентам  с_i в точках наблюдений принимает вид:

               .

       В матричном виде:

        ;

       Необходимо  оценить коэффициенты С по наблюдениям Z.

       Так как Z – наблюдения со случайными ошибками, то мера точности может быть вероятностной.

        - оценка функции f.

       Θ – оценка С.

       Будем искать оценки с помощью МНК (метод  наименьших квадратов) [1,9].

       Строим  оценки:

       

       Для нахождения минимума применим признак  экстремума:

       

       Полученное решение последней системы и есть минимум функции, так как максимум достигается при .

        ;

       Или в матричном виде:

        ;

        - оценка с по МНК.

       Решение этой системы единственно, если - не вырождена. 
 
 
 
 

2.4 Анализ  погрешностей

 

• Расчет  коэффициента детерминации

       Одной из оценок адекватности регрессионной  модели, мерой качества уравнения  регрессии, характеристикой прогностической  силы анализируемой регрессионной  модели является коэффициент детерминации, определяемый по формуле [10,11]:

                       (2.5)

       Величина  показывает, какая часть вариации зависимой переменной обусловлена вариацией объясняющей переменной. Чем ближе к 1, тем лучше регрессия аппроксимирует эмпирические данные, тем теснее наблюдения примыкают к линии регрессии и между переменными y и x существует линейная функциональная зависимость. Если = 0, то вариация зависимой переменной полностью обусловлена воздействием неучтённых в модели переменных, и линия регрессии параллельна оси абсцисс [19].

• Расчет среднеквадратического отклонения.

       Среднеквадратическое  отклонение определяется по формуле [14]:

            (2.6)

            где: n – количество наблюдений.

• Расчет коридора ошибок:

       Квадрат коридора ошибок определяется по формуле [1,9]:

       В тех же обозначения, введенных в  начале данного пункта, имеем:

          => (2.7)

       

,

        , если     (2.8)

      Если  неизвестна и равна константе, то тогда ее оценкой будет следующее выражение:

        .   (2.9)

      Для того, чтобы определить с каким  уровнем доверия мы рассчитали погрешность, можно воспользоваться неравенством Чебышева.

        .   (2.10)

   где - задаваемый уровень доверия [14]. 
 

 

3 РАСЧЕТНАЯ ЧАСТЬ 

3.1 Прогноз предпраздничных  продаж 

3.1.1 Прогноз предпраздничных продаж на 23 февраля и 8 марта 

       Для анализа были использованы недельные данные об объеме отгруженной продукции, кг. – недельные данные с 01.01.2006 по 07.01.2007.

       Рассмотрев  динамику продаж, можно сделать вывод, что имеются особенности пред и после праздничной торговли. Особенно существенно на продажи влияют такие праздники, как Новый год, пасха, 8 марта, 23 февраля. Для специалиста по планированию очень важно заранее иметь представление о пред и после праздничных продажах.

       Для составления методики прогноза продаж воспользуемся прогнозированием при помощи временных рядов. Под временным рядом понимают экономические величины, зависящие от времени. При этом время предполагается дискретным.

       Пусть. . Рассмотрим временной ряд . Обычно в поведении временного ряда выявляют две основные тенденции – тренд и периодические колебания.

       При этом под трендом понимают зависимость  от времени линейного, квадратичного  или иного типа, которую выявляют тем или иным способом сглаживания (например, экспоненциального сглаживания) либо расчетным путем, в частности, с помощью метода наименьших квадратов. Другими словами, тренд – это очищенная от случайностей основная тенденция временного ряда.