Методики прогнозирования продаж на месяц

       Временной ряд обычно колеблется вокруг тренда, причем отклонения от тренда часто  обнаруживают правильность. Это связано с естественной периодичностью, например, сезонной или недельной, месячной или квартальной. Иногда наличие периодичности и тем более ее причины неясны, и наша задача – выяснить, действительно ли имеется периодичность.

    Будем брать за единицу времени период в одну неделю, т.к. существуют недельные колебания, т.е. понижение активности в пятницу и субботу, и всплеск активности в остальные дни недели.

       Общее представление о характере поведения  экономических показателей дает график их изменений, представленных на рисунках.

      Рассмотрим  подробно такую позицию как колбаса.

Рисунок 3.1- Динамика изменения проданной продукции с 1.01.06 – 7.01.07г.г. (время - в неделях, значения - в кг.) 

      Анализируя  динамику, представленную на  рисунке видно, что новогодняя предпраздничная неделя, а также неделя после праздника выпадает из общей линии тренда. Поэтому построим модель без учета этого «особого» периода.

    Построим  график выборочной автокорреляционной функции – коррелограмму.

Рисунок 3.2- Коррелограмма продаж колбасы 

    Из  анализа коррелограммы можно  сделать вывод о нестационарности временного ряда, а также можно  определить сезонность, так как значение выборочной автокорреляционной функции  убывает достаточно медленно с ростом лага. Под не стационарным понимается временной ряд, в котором случайный процесс, равный абсолютным приращениям значений временного ряда с некоторым лагом, не меняет функции распределения, и его параметры не зависят от времени.

    Согласно  обработанным данным можно сказать, что присутствует годовая сезонность. В связи с этим было принято решение включить в модель периодические функции синус и косинус, которыми можно описать происходящие на рынке сезонные колебания. Составим уравнение тренда:

    

,

    где   - время, в неделях;

                 - константы уравнения регрессии;

                 - искомое уравнение тренда.

                Для определения  коэффициентов и оценки модели будем  использовать программу “EViews 3.0”. Для определения коэффициентов модели программа проводит расчеты методом наименьших квадратов. 

Таблица 3.1 Формализованное описание математической модели

 

    Из  таблицы видно, что все коэффициенты значимы по критерию Стьюдента ( ). Значит построенный нами тренд адекватно описывает исходные данные.

    На  следующем рисунке  показана динамика фактического и модельного значения продукции.

    

Рисунок 3.3- Динамика фактического и модельного значения продаж колбасы (сверху) и график ошибок (снизу)

(время  – в неделях, значения –  в кг.) 

     Можно сделать вывод, что зависимость  продукции представляется уравнением вида:

Y₁=90 402, 17

Y₅₃=114 674, 48

     Таким образом, средний годовой коэффициент прироста равен:

     Предположим, что в 2007 году не произошло никаких  существенных изменений и тренд 2006 года можно продолжить и на 2007, найдем изменение объема продукции  на 23 февраля и 8 марта 2007 года.

     Так как в 2006 году 23 февраля приходилось  на четверг, а 8 марта - на среду, а в 2007 году 23 февраля – пятница, 8 марта  – четверг, то прогнозные данные на 2007 необходимо сместить на 1 день.

       Дадим оценку полученным результатам. Сделаем  это при помощи среднеквадратического отклонения. По формуле (2.6) найдем среднеквадратическое отклонение.

     Для того чтобы определить, с каким уровнем доверия мы рассчитали погрешность, можно воспользоваться неравенством Чебышева (2.10).

      Таким образом, можно сделать вывод, что при уровне доверия 0,95 прогноз на предпраздничные продажи будет лежать в коридоре: 
 
 
 
 
 
 
 
 

      Таблица 3.2 Прогноз на предпраздничные продажи 2007 года.

 

3.1.2 Сравнение полученных прогнозных данных с реальными данными 

    Проанализировав рис. 3.4 и 3.5, можно сделать вывод о том, что построенный нами тренд не всегда адекватно описывает исходные данные. Это объясняется тем, что данные за 2006 год, по которым строился прогноз, имеют необъяснимые спады и падения. Следует учитывать, что в некоторых случаях значение ошибки практически равно прогнозному значению.

    

Рисунок 3.4- Прогноз, реальные данные и коридор ошибок для февраля 2007 г.

    

   Рисунок 3.5- Прогноз, реальные данные и коридор ошибок для марта 2007 г. 

 

3.1.3  Прогноз предпраздничных продаж на 31 декабря 2007г. 

     Исходя  из анализа данных, было установлено, что рост продукции в целом имеет линейный тренд и сезонность. Коэффициент прироста для колбасы составляет 1,27.

     Таким образом, проанализировав данные с 18.12.06 по 31.12.06, можно дать прогноз  на 2007 год. При этом считаем, что общая тенденция развития производства не меняется.

     При прогнозе следует учитывать, что 31 декабря 2006 года – это воскресенье, а в 2007 году – понедельник. При этом необходимо учитывать, что прогнозные значения лежат в интервале  9200.

     Новогодние продажи 2007 года будут иметь вид (рис.3.6).

       
 
 
 
 
 
 
 
 

   Рисунок 3.6- Прогноз и коридор ошибок для декабря 2007 г. 

 

3.2  Недельный прогноз и прогноз по дням месяца  

       Для анализа были использованы данные об объеме проданной продукции, кг. –  дневные данные с 02.01.2006 по 25.04.2007.

Рисунок 3.7- Динамика изменения проданной продукции с 2.01.06 по 25.04.07 (время - в днях, значения - в кг.) 

       Анализируя  динамику, представленную на  рисунке 3.7 видно, что в 2006 году 6 марта и 29 декабря выпадают из общей линии тренда. Это связано с праздниками. В предпраздничные дни продажи увеличиваются, после праздников - уменьшаются. Также если обратить внимание на февраль и март 2007 года, то можно заметить, что на последние дни этих месяцев приходилась усиленная продажа колбасы. Это связано с стремлением выполнением плана продаж. Построим модель, учитывающую эти «особые» точки

       Построим  график выборочной автокорреляционной функции – коррелограмму.

Рисунок 3.8- Коррелограмма продаж колбасы 

     Из  анализа рисунков 3.7 и 3.8 можно сделать вывод о нестационарности временного ряда, так как значение выборочной автокорреляционной функции убывает достаточно медленно с ростом лага. Не трудно заметить, что каждый седьмой день (воскресенье) выделяется на общем фоне. Под не стационарным понимается временной ряд, в котором случайный процесс, равный абсолютным приращениям значений временного ряда с некоторым лагом, не меняет функции распределения, и его параметры не зависят от времени. По рис. 3.8 также можно определить сезонность и недельную цикличность.

     Рассмотрим  некоторые модели. 

     Модель  № 1

     

    где   - время, в днях;

                 - константы уравнения регрессии;

                 - искомое уравнение тренда.

    Для определения коэффициентов и  оценки модели будем использовать программу  “EViews 3.0”. Для определения коэффициентов модели программа проводит расчеты методом наименьших квадратов. 

     Таблица 3.3 Формализованное описание математической модели

     

    На  следующем рисунке показана динамика фактического и модельного значения продаж колбасы для этой модели.

Рисунок 3.9- Динамика фактического и модельного значения продаж для модели №1 (сверху) и график ошибок (снизу)

(время  – в днях, значения – в кг.) 

     Данная  модель отражает только годовые колебания (период 365 дней) и не отражает колебания «внутри» недели.  Поэтому оценка дисперсии имеет большой порядок ( ) и коэффициент детерминации близок к нулю (R²=0,029).

     В следующей модели опишем дневную динамику внутри недели. Введем специальные функции:  f_st , отражающую спад в воскресенье, и косинус с периодом семь дней (одна неделя), отражающий пики в течение недели. 

     Модель  № 2

     

    где   - время, в днях;

                 - константы уравнения регрессии;

                 - искомое уравнение тренда;

                   
 

 

 
 

Рисунок 3.10- Динамика фактического и модельного значения продаж для модели №2 (сверху) и график ошибок (снизу)

(время  – в днях, значения – в кг.)

     Оценка  дисперсии уменьшилась( ) и коэффициент детерминации увеличился (R=0.54), но функция косинус не достаточно отражает пики в течении недели. В следующей модели учтем каждый день недели специальной функцией.